成果報告(3/3) NSC-93-2213-E-011-004

全面生產維修策略之理論與實務應用研究--計劃三 產品保證對最佳維修策略之影響(3/3) NSC 93-2213-E-011-004

4.1 計畫概要

本子計畫第三年度之研究內容主要探討產品保證對於狀態未知產品最佳檢驗策略的影 響。前兩年度順利完成「產品保證對不可維修產品之最佳置換策略的影響」與「產品保證對 狀態已知可維修產品之最佳維修策略的影響」之研究，分別針對不可維修及可維修產品探討 最佳維修策略，本年度則針對狀態未知之可維修產品，推導最佳檢驗策略。

關於狀態未知產品之檢驗策略，Barlow[2]首先提出ㄧ個不考慮維修與置換的檢驗模式。

此後，便有針對各種不同狀況下所發展出的檢驗模式。為了簡化在 Barlow 模式裡ㄧ連串檢 驗時間的複雜計算，Munford 與 Shahani [13]藉由引進一個控制變數來簡化計算。隔年，

Munford 與 Shahani[14]更進一步探討產品服從韋伯壽命分配下之近似最佳檢驗策略。Keller [6, 7]則以檢驗密度函數的觀點，求算ㄧ系列的檢驗時間。檢驗密度函數的其它推廣可參見 Kaio 與 Osaki[8,9]以及 Leung[10]。

以上所介紹的文獻有一共同的假設，就是檢驗執行時間很短而可忽略，然而，實務上有 時檢驗需要很長的時間，因此，為了更能符合真實情況，Luss 與 Kander[11]以及 Luss[12] 考 慮檢驗和置換的執行時間不可省略的狀況下，發展檢驗模式並推導最佳檢驗策略。此外，

Chelbi 與 Ait-Kadi[3]則依觀察產品磨損程度所呈現出的訊號，進一步推求產品在檢驗完成後 進行預防性置換所需的時間。

在檢驗策略的研究中包含週期性與非週期性檢驗策略。而在週期性檢驗策略的研究中，

Schneeweiss[21]推導產品發生失效至下一次檢驗之間隔時間的機率密度函數。利用此密度函 數，Nakagawa 與 Yasui[16]進一步推導產品服從韋伯壽命分配下之近似最佳週期性檢驗時 間。Nakagawa[17]接著在預防保養的觀點下，推導產品失效的期望時間以及產品在失效發生 前的期望檢驗次數。此外，Schultz[22] 為了改善 Munford[15]所提的近似值之成本績效，進 一步提出最佳週期性檢驗時間之近似值。

綜合上述所探討的檢驗策略，可發現主要的重點皆放在該如何有效訂定一系列的檢驗時

常為數年，因此應將連續貼現因子納入考量[1,4]。另外，實務上亦存在一些在使用期內只執 行單次檢驗的產品，例如：渦輪機內產生裂縫的零件或是噴射機內受到鳥擊的引擎風扇，這 些實例可以參見 Nelson[18]。因此，本子計畫初步探討考慮時間價值下的最佳單次檢驗策略，

據此發展單次檢驗之數學模式，並推導最佳檢驗時間使得期望總成本的現值為最小。

4.2 成本模式

假設在保固期內，產品將執行單次檢驗以瞭解產品的狀態，檢驗完成後視產品狀態進行 失效置換或預防性置換。因此單次檢驗會產生固定的檢驗與置換成本，若檢驗結果為失效，

則從產品發生失效至檢驗前，每單位時間將有操作失效產品的額外成本，接著進行失效性置 換。若檢驗結果為正常，亦即產品發生失效將在檢驗之後，則進行預防性置換以避免失效的 發生，且每次檢驗與置換將造成停工損失。

根據以上的描述，本模式的基本假設如下：

1. 產品接受檢驗與置換時，需停止運轉，這段期間產品不會老化。

2. 檢驗與置換產品所須時間為不可忽略。

3. 每當檢驗完成後，可正確判定產品是否失效。若檢驗結果為失產品效，則執行失效性置 換；否則執行預防性置換。

4. 保固期內進行單次檢驗，亦即檢驗時間點小於保固期限。

5. 每次的檢驗成本、置換成本、操作失效產品成本、及停工損失皆為已知固定常數。

6. 產品失效時間服從韋伯分配。根據韋伯分配的定義，其機率密度函數(p.d.f.)可表示

α β β

α α

β ( ) 1 ^{( )}

) (

x

x e x

f = ^{− −} , x

≥

0, (4.1)

為其中α

>

0與

β > 0

分別代表韋伯分配的比例參數和形狀參數。

7. 產品失效率會隨著操作時間增加而遞增。

建構模式所使用之數學符號分述如下：

x 產品之壽命

t

產品之檢驗時間 t* 產品之最佳檢驗時間

) (x

f

產品壽命x 之機率密度函數 c 1 單次檢驗成本

c 2 失效性置換成本 c 3 預防性置換成本

δ 1 操作失效產品每單位時間所產生之成本 至新狀態，本研究將建構單次更新內之總期望成本之現值[19,20,23]。

圖 4.1. 產品接受單次檢驗之過程

▲ ◆ ■

檢驗 置換 更新

t t+I t+I+R

本、置換成本、操作失效產品成本、及停工損失，所以藉由現金流量貼現公式，將上述成本

可使

Λ ( t ) = 0

的解，亦即 ( ) 0

Λ

t%

=

。根據以上對

Λ (t )

所做的探討，以下的定理整理出

t

^*的所有 可能結果。

定理 4.2：當韋伯分配的形狀參數大於 1（β >1）時，若

Λ

(tˆ)

<

0，則

t

^*

_{= ∞}

。否則 (i) 當θ₁

−θ

₂

>

0時，將存在唯一的t^*

∈

[0,tˆ)；

(ii) 當θ₁

−θ

₂

≤

0時，若 ~) ( ) (t

<

PV

∞

PV ，則

t

*

= t ~

；否則，

t

^*

= ∞

。

證明：若

Λ

(tˆ)

<

0，則當t

>

0時，可得

Λ ( t ) < 0

。這意味著

PV (t )

為遞減函數。因此，

t

^*

= ∞

。 當θ₁

−θ

₂

>

0時，可知

Λ (t )

只會從負到正變號一次。在這狀況下，

PV (t )

即為凸函數。此時，

將存在唯一的t^*

∈

[0,tˆ)使得

PV (t )

為最小。反之，當θ₁

−θ

₂

≤

0時，可知

Λ (t )

將變號二次，

亦即在[ t 區間，0,ˆ)

Λ (t )

由負變正；在[tˆ,

∞

)區間，

Λ (t )

由正變負。因此，若 ~) ( ) (t

<

PV

∞

PV ，

則

t

*

= t ~

；否則，

t

^*

= ∞

。

根據定理 4.2 的結果，以下將發展一個有效率的演算法，藉以快速地尋求最佳檢驗時間。

4.3 演算法

為了快速地尋求最佳檢驗時間t^* ，可透過下列演算法求得。

4.3.1 演算法

步驟 1：依公式計算θ 、₁ θ 、以及2

PV (∞ ⁾

。

步驟 2：搜尋滿足d log f(t) dt

= −

θ₁的

tˆ

並計算

Λ

(tˆ)。 步驟 3：若

Λ

(tˆ)

<

0，則令

t

^*

_{= ∞}

並停止。

步驟 4：若θ₁

−θ

₂

>

0，則搜尋可使

Λ ( t ) = 0

的~ [0,ˆ) t

t

∈

。令

t

*

= t ~

並停止。

步驟 5：若θ₁

−θ

₂

≤

0，則搜尋可使

Λ ( t ) = 0

的~ [0,ˆ) t

t

∈

並計算 ~)

(t PV 。 若 ~) ( )

(t

<

PV

∞

PV ，則令

t

*

= t ~

；否則，令

t

^*

= ∞

。停止。

4.3.2 數值結果

本節將藉由數值範例觀察相關成本參數與貼現率的變化對於最佳單次檢驗策略的影 響。相關的參數設定呈現於表 4.1。

表 4.1. 參數設定之說明 Parameter Assigned Values α 1.1198, 1.1284

β

2, 3 c 1 0.1 c 2 1 c 3 0.5 δ 1 20 δ 2 1, 4, 40

I

0.01

R

0.02

r

0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.3

利用 Matlab 6.5 軟體採用表 4.1 內的參數值，

t

^*與PV(t^*)的數值結果整理於表 4.2。

表 4.2.

t

^*與PV(t^*)的數值結果

1284 .

=1

α β =2 α =1.1198 β =3

r t^* PV(t^*) r t^* PV(t^*)

0.001 0.0216 0.6302 0.001 0.0214 0.6300

0.01 0.0583 0.6319 0.01 0.0577 0.6297

0.05 0.1105 0.6380 0.05 0.1095 0.6273

0.1 0.1440 0.6438 0.1 0.1428 0.6230

20

2 1δ = δ

0.3 0.2167 0.6559 0.3 0.2149 0.5996

0.001 0.0231 0.7203 0.001 0.0228 0.7200

0.01 0.0616 0.7222 0.01 0.0610 0.7196

0.05 0.1163 0.7289 0.05 0.1153 0.7167

0.1 0.1514 0.7352 0.1 0.1501 0.7116

5

2 1δ = δ

0.3 0.2275 0.7470 0.3 0.2256 0.6835

0.001 0.0344 1.8006 0.001 0.0340 1.7999

0.01 0.0889 1.8049 0.01 0.0881 1.7986

0.05 0.1645 1.8176 0.05 0.1631 1.7883

0.1 0.2127 1.8260 0.1 0.2109 1.7704

5 . 0

2 1δ = δ

0.3 0.3171 1.8167 0.3 0.3145 1.6737

從表 4.2，可獲得以下觀察結果：

1. 當操作失效產品的成本δ 和停工損失₁ δ 的比值降低，最佳檢驗時間₂

t

^*會增加。此ㄧ數值 結果表示：當停工損失相對高於操作失效產品的成本，此時最佳檢驗時間會盡可能延後。

2. 當形狀參數

_β

的數值增加，最佳檢驗時間

t

^*會減少。因為形狀參數的數值越大，產品磨 損速度也越快。因此使得最佳檢驗時間縮短。

3. 當貼現率

r

提高，最佳檢驗時間

t

^*會增加。實務上，貼現率也可表示為利率。若利率越 高，檢驗與置換成本的支付會較晚，原因是可獲得較高利息。因此，最佳檢驗時間也相 對延長。

4.4 結論與討論

當產品的失效率會隨著使用時間的增加而遞增時，此時可發現：當操作失效產品的成本 和停工損失的比值降低、形狀參數的數值減少、或貼現率提高，則最佳檢驗時間會相對延長。

4.5 參考文獻

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在文檔中 全面生產維修策略之理論與實務應用研究---子計畫三：產品保證對最佳維修策略之影響(III) (頁 22-30)