全面生產維修策略之理論與實務應用研究---子計畫三：產品保證對最佳維修策略之影響(III)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

子計畫三:產品保證對最佳維修策略之影響(3/3)

計畫類別： 整合型計畫

計畫編號： NSC93-2213-E-011-004-

執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學工業管理系

計畫主持人： 葉瑞徽

計畫參與人員： 張文亮、陳宏達、謝妹圜

報告類型： 完整報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 8 月 25 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 □ 成 果 報 告

□期中進度報告

全面生產維修策略之理論與實務應用研究— 子計劃三：

產品保證對最佳維修策略之影響(3/3)

The Impacts of Product Warranty on the Optimal Maintenance Policies

計畫類別： □個別型計畫

þ

執行期間：93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日

計畫主持人：葉瑞徽 博士

計畫參與人員： 第一年：陳光澄、陳明郁、遲銘璋 第二年：陳慈慧、陳宏達、解文榮 第三年：張文亮、陳宏達、謝妹圜

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告

þ

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立台灣科技大學工業管理系

全面生產維修策略之理論與實務應用研究— 子計劃三：

產品保證對最佳維修策略之影響

The Impacts of Product Warranty on the Optimal Maintenance Policies

目 錄

中文摘要 ... 3

英文摘要 ... 4

第一章 緒論 ... 5

第二章 成果報告(1/3) NSC 91-2213-E-011-091 ... 7

2.1 計畫概要... 7

2.2 成本模式... 8

2.3 演算法...11

2.4 結論與討論 ...12

2.5 參考文獻...12

第三章 成果報告(2/3) NSC 92-2213-E-011-009 ...13

3.1 計畫概要...13

3.2 成本模式...14

3.3 演算法...18

3.4 結論與討論 ...19

3.5 參考文獻...19

第四章 成果報告(3/3) NSC-93-2213-E-011-004 ...21

4.1 計畫概要...21

4.2 成本模式...22

4.3 演算法...24

4.4 結論與討論 ...27

4.5 參考文獻...27

第五章 計畫成果自評...29

中文摘要

本研究計劃探討產品保證對最佳維修策略的影響。無論所採購之產品是否附有保 證，產品使用者為了能有效發揮該產品的功能並避免不當的資源浪費，通常會為該產 品訂定適當的維修策略，以獲致產品的最佳使用效益。傳統維修（保養）策略一般都 是針對未附有保證之產品尋求最佳維修策略，在未附有保證的前提下對於置換、不完 美維修、預防保養、及檢驗等維修策略具有豐富的研究成果。然而實務上賣方提供產 品保證已行之有年，產品保證已經成為買賣雙方不可或缺的交易契約之一，因此有必 要全面性地探討產品保證對維修策略的影響。尤其產品保證對長期累積的維修總成本 影響至鉅，忽略這項成本因素所推導的最佳維修策略可能會造成嚴重偏差。因此本計 劃分三年全面性地分析探討產品保證對最佳維修策略的影響：

第一年：產品保證對不可維修產品之最佳置換策略的影響，

第二年：狀態已知下，產品保證對可維修產品之最佳維修策略的影響，

第三年：狀態未知下，將連續貼現因子納入考量，初步探討考慮時間價值下的最 佳單次檢驗策略，據此發展單次檢驗之數學模式，並推導最佳檢驗時間使得期望 總成本的現值為最小。

針對附有保證之產品建構新的成本模式並推導最佳策略，進而探討產品保證對最佳維 修策略所造成的衝擊，最後針對傳統模式就理論性質及演算法以數值分析進行綜合比 較。各年度研究成果分別發表於國際學術期刊 IEEE Transactions on Reliability, European Journal of Operational Research, 及 International Journal of Operations Research。

Abstract

This study investigates the impacts of product warranty on the optimal maintenance policies. Usually, some proper preventive maintenance and repair are required in order to retain a product or system in a well-operating condition with or without product warranty. There are fruitful research results of various maintenance policies without considering product warranty or assuming no warranty is provided. However, providing or receiving product warranty has become a necessary item in a transaction contract.

Most products are sold with warranty in today’s competitive market. Deriving a maintenance policy by ignoring the important role of product warranty may cause a serious deviation from the optimal policy. Therefore, this study investigates comprehensively the effects of the product warranty on the optimal maintenance policies for the following three main topics:

1. The effects of product warranty on the optimal replacement policies.

2. Under continuous inspection, the effects of product warranty on the optimal maintenance policies.

3. Under periodical inspection, by incorporating a discount factor, a mathematical model is established to take the time value of costs into account. Based on the model, the optimal time epoch for inspection is derived such that the present value of the expected total cost is minimized.

For product with warranty, this study will construct new cost models for various situations and derive the optimal maintenance policies. Furthermore, we will compare the resulting optimal policies with the traditional maintenance policies both theoretically and numerically. The results of this 3-year project have been published in the IEEE Transactions on Reliability, European Journal of Operational Research, and International Journal of Operations Research.

第一章 緒論

隨著近代人類科技與文明的快速發展，產品的多樣化與精緻化的程度亦隨之加劇，以因 應廣大消費群眾之多功能與多目標的使用需求。然而豐富的產品規格，也導致產品本身的使 用壽命分配更趨複雜，讓消費者在操作過程中增加了更多不確定性，連帶衍生出與產品可靠 度相關之消費者使用習慣與便利性等方面的諸多問題。以生產製造商的角度而言，客戶滿意 度成為廠商永續經營的重要關鍵。因此，為了消彌消費者在使用過程中產品功能的不確定 性，並且提升消費者對於產品的信賴程度，遂衍生了產品保證之觀念。

產品保證是買賣雙方明訂的一種契約行為，買賣雙方針對產品可能的使用狀況，確立保 證條款，擬具保證契約，並於契約中所制訂的保證期間內，履行應有的義務並享有應得的權 力。對於製造商或賣方而言，生產銷售具保證的產品，勢必需要投注更高的人力物力成本，

一方面投注於進一步改善產品的品質，一方面則使用於產品失效時的履約支出。然而，這樣 的成本付出，卻有助於加強買方或消費者對該產品品質的信賴程度，增加產品在市場上的銷 售競爭力。反之，對於買方或消費者而言，購買使用具保證的產品，雖須付出較昂貴的代價，

卻能在產品失效時獲得適當的補償或協助，不至於求助無門，或因而中斷重要工作的執行。

附有保證之產品的保證方式，依據產品使用狀況與特徵之不同，可區分為針對不可維修 產品與針對可維修產品之保證策略。其中，不可維修產品的保證可採取置換保證與退費保證 的方式。置換時保證期是否重新計算以及費用的全額、部分、組合負擔方式，將置換保證進 一步細分為若干不同的保證策略。退費保證策略亦可考量全額、折價、組合等不同退費方式。

可維修產品的保證可採取完美修理（或置換）保證與小修保證的方式，除了如同前述之置換 保證的分類方式以外，小修費用亦可採取全額或部分負擔的考量。

本研究計畫的主要目的，是希望針對產品的傳統維修策略之置換、小修、不完美保養、

預防保養與檢驗等措施，結合保證策略的考量，透過兩者的理論架構建立適切合理的成本決 策模式，分析並探討保證策略的引進對傳統維修策略成本模式在最佳策略與最佳解方面的影 響，以制訂更切合實際的方案，提供買（消費使用者）賣（生產製造者）雙方作為擬具訂購 使用與製造銷售策略方面的參考。

國內近年來的經濟發展迅速，正逐漸由開發中國家邁入已開發國家之林。二十一世紀初 又適逢本國加入 WTO 組織，工商業發展方興未艾之際。惟具有保障生產與消費者雙方之產 品保證措施，雖已為業界廣泛地運用，然而相關之規章建立與理論研究，尚未臻完美之境。

尤其是攸關工商業發展之重要產品設施的維護與保養問題，亦缺乏相關之保證策略的探討，

本研究計畫主要研究架構大致可先依產品失效的型態，區分為不可維修產品與可維修產 品兩大類，並透過狀態已知或未知的情況做進一步分類。分別對於失效之不可維修產品，進 行置換或預防性置換的處理，以及對於失效之可維修產品，進行置換、小修、不完美修理或 預防保養的處理。計畫中主要探討的內容是針對傳統維修策略中，不可維修產品之置換策 略、可維修產品之小修策略與兩種產品之檢驗策略等重要成本決策模式，納入保證策略的考 量，由相關理論的探討與數學模式的推演，分析保證策略的引進對成本決策模式之最佳決策 與最佳解的影響或改變程度。

基於上述維修策略之分類架構，本研究計畫將透過「產品保證對不可維修產品之最佳置 換策略的影響」、「產品保證對狀態已知可維修產品之最佳維修策略的影響」與「產品保證對 狀態未知下可維修產品之最佳維修檢驗策略」等三個子目標依序逐年進行研究，以下依各年 度研究成果分章詳述。

第二章 成果報告 1/3

全面生產維修策略之理論與實務應用研究--計劃三 產品保證對最佳維修策略之影響(1/3) NSC 91-2213-E-011-091

2.1 計畫概要

第一年年度之研究內容主要以買方立場探討產品保證對於不可維修產品之最佳置換策 略的影響，相關背景介紹如下。隨著近代人類科技與文明的快速發展，產品發展呈現多樣化 與精緻化的特性。然而豐富的產品規格，也導致產品本身的使用壽命分配更趨複雜，因而造 成消費者在產品使用過程中增加了更多的不確定性，連帶衍生出與產品可靠度相關之消費者 使用習慣與觀感等諸多問題。為因應消費者意識之提昇與使用習慣的改變，具有提升消費者 對產品信賴程度與實質保障之作用的產品保證策略，遂成為直接歸屬於產品本身的重要附加 價值之一。對於保證的策略的型態與成本模式的分析，在 Balcer 與 Sahin [1] 及 Blischke 與 Murthy [4]的論文中對這方面的研究成果有廣泛且完整的調查。

在眾多保證策略中，免費置換保證是一種對於不可維修產品之使用者最直接有效的保證 策略，也是最被廣泛採用的保證策略。Blischke 與 Scheuer [5]在 1981 年藉由更新理論發展免 費置換保證策略的理論基礎，建立分析保證策略的模式。因此，本研究探討買方購買具有免 費置換保證之不可維修產品時，相對應維修策略所要因應的調整。

買方購買具有免費置換保證之不可維修產品後，針對不同產品將有不同的維修策略，由 於年齡置換策略具有決策明確且容易執行的特性，因此成為不可維修產品最被廣泛運用的一 種維修策略。關於年齡置換策略，Barlow 與 Proschan [2] 對於具連續型壽命分配之產品的年 齡置換策略有基本的理論介紹與分析， Berg [3] 、Osaki 與 Nakagawa [6] 及 Osaki [7] 亦分 別驗證年齡置換策略的合理性。因此，本研究著重於推導具有免費置換保證之不可維修產品 的相對應最佳年齡置換策略。

關於保證策略與維修策略的整合方面，Ritchken 與 Fuh [8] 曾經研究折價式保證策略與 不可維修產品之最佳年齡置換策略的模式，而有關年齡置換保證策略與年齡置換策略的整合 研究則付之闕如，因此，本子計劃針對買方的立場，建構並分析免費置換保證下，買方採行 年齡置換策略之整合成本模式，尋求最佳化條件，並與傳統年齡置換策略的結果相互比較驗 證，藉以探討免費置換保證對於傳統年齡置換策略產生之影響。

2.2 成本模式

所謂更新式免費置換保證就是產品在保證期內失效時，均由賣方免費提供每次一個新 的產品做置換，且重新計算該產品之保證期。模式之基本假設如下：

l 保證期內的使用之產品，只在損壞時進行失效性置換，而不會進行預防性置換。

l 保證期內因失效而由賣方免費提供之置換產品，買方不需負擔採購成本。

l 產品採購與置換所需之前置時間均忽略不計。

l 產品失效會造成買方一次當機成本，其中當機成本為一常數。

l 單次訂貨成本與單位產品購買成本亦均為常數。

建構成本模式所使用之數學符號分述於下：

w 單一產品保證期

C 單次採購成本 o

C 產品單位購買成本 b

C 單次當機成本 d

X 產品之壽命 (⋅)

f 產品壽命之機率分配 (⋅)

F 產品壽命之累積機率分配 (⋅)

r 產品壽命之失效率函數 µ 產品壽命之期望值

N 產品在保證期w w內置換的次數 tw 產品之置換年齡

(⋅)

C 更新循環總成本 (⋅)

T 更新循環總時間 (⋅)

CR 單位時間期望總成本

在更新式的免費置換保證下，首先考慮保證期不大於置換年齡（t_w ≥w）的情形。更新 循環內第一個產品的使用，必符合下圖 2.1 中所示的三種狀況之一。

考慮該產品在保證期 w 與置換年齡t 前後之可能的失效狀況，可求得單次更新循環時_w 間為：







≥

<

<

≤

=

w w

w w

t X t

t X w X

w X X

t T

1 1 1

1 1

) (

若 若 若

單次更新循環成本為：







≥ +

<

<

+ +

≤

=

w b

o

w d

b o

d

w

t X C

C

t X w C

C C

w X C

t C

1 1 1

) (

若 若 若

t_w

X₁ w

更 新 循 環

w

X₁

更 新 循 環

w

X₁

更 新 循 環

t_w

t_w

失 效 置 換

（ 具 保 證 ）

失 效 置 換

（ 不 具 保 證 ）

預 防 性 置 換

圖 2.1 更新式免費置換保證示意圖（t_w ≥w）

單位時間期望總成本可透過上述結果計算如下：

]]

| ) ( [ [

]]

| ) ( [ [ )]

( [

)]

( ) [

(

1 1

X t T E E

X t C E E t

T E

t C t E

CR

w w w

w

w = =

dt t F

t F C w F C C

tw

w d b

o

) (

) ( )

( ) (

∫

⋅ +

⋅

= +

將CR(t_w)對t_w做一階微分並令其為 0，可得：

) ( )

( )

( )

( 0 F w

C C t C

F dt t F t

r

d b o w t

w

w − = + ⋅

⋅

∫

分析式(2.1)可得下列定理。

定理 2.1：假設對所有 t_w >0，r′(t_w)>0。 (1) 若 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 F w

C C w C

F dt t F w r

d b w o

+ ⋅

≥

−

⋅

∫

(2) 若 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 F w

C C w C

F dt t F w r

d b w o

+ ⋅

<

−

⋅

∫

d

d b

o

C

C w F C r C

⋅ +

> +

∞ µ

) ( ) ) (

( ，則存在

有 限 且 唯 一 的 t_w^∗ >w 使 得 _{( ) ( ) ( ) ( )}

0 1 1 F w

C C t C

F dx x F t

r

d b o w t

w

w − = + ⋅

⋅ ^∗

∗

∫

) ( )

(t^∗w =Cd ⋅r t^∗w

CR 。

其次，考慮置換年齡不大於保證期（t_w ≤w）的情形。更新循環內第一個產品的使用，

必符合下圖 2.2 所示的兩種狀況之一。

t_w w X₁

更新循環

X₁

更新循環

失效置換

（具保證）

預防性置換

t_w w

圖 2.2 更新式免費置換保證示意圖（t_w ≤w）

考慮更新循環中第一個使用產品壽命，可求得單次更新循環時間與單次更新循環成本為：





>

= ≤

w w

w

w t X t

t X t X

T

1 1

) 1

( 若

若 及





>

+

= ≤

w b

o

w d

w C C X t

t X t C

C

1

) 1

( 若

若

單位時間期望總成本計算結果如下：

)]

( [

)]

( ) [

(

w w

w E T t

t C t E

CR =

dt t F

t F C C C C C

tw

w b

o d b o

) (

) ( )]

( [ ) (

∫

⋅ +

− +

= +

令 CR(t_w) 對 t_w 微分的結果為 0，可知當 C_d >C_o+C_b 時可得

) ) (

( ) ( )

( 0

b o d

b o w

t

w C C C

C t C

F dt t F t

r ^w

+

−

= +

−

⋅

∫

考慮當 t 趨近 0 時，式(2.2) 之等號左側亦趨近於 0。由於 _w r(t_w) 單調遞增的特性，

可以推論對所有 t_w >0，^r'(tw)⋅

∫

0 w

t

w F t dt F t

t

r ⋅

∫

為 t 之單調遞增函數，故當 _w C_d ≤C_o +C_b 時，可得CR′(t_w)<0,∀t_w >0的結果。

再者，當 C_d >C_o+C_b 時，首先考慮

) ) (

( )

( ) ( 0

b o d

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

≤ +

−

⋅

∫

此條件說明了當 t_w <w 時，均可得 CR′(t_w)<0 的結果，因此 CR(t_w) 的最佳解發生在 w

t_w = 時 。 此 外 式 (2.2) 左 側 必 須 大 於

) ( _{o b}

d

b o

C C C

C C

+

−

+ 以 滿 足 t_w^∗ <w 的 限 制 ， 亦 即

) ) (

( )

( ) (

0 d o b

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

> +

−

⋅

∫

) ) ( (

) (

' ^tw ⋅ ^w+

∫

r 的特性，對所有t_w <t_w^∗ ，皆有 CR'(t_w)>0 的結果，如定理 2.2。

定理 2.2：假設對所有 t_w >0，r′(t_w)>0。 (1) 若 Cd −(Co +Cb)≤0，則 t_w^∗ =w. (2) 若

) ) (

( ) ( )

( 0

b o d

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

≤ +

−

⋅

∫

(3) 若

) ) (

( ) ( ) (

0 d o b

b w o

C C C

C w C

F dt t F w

r − +

> +

−

⋅

∫

) ( ( )

( ) ( 0

b o d

b o w

t

w C C C

C t C

F dt t F t

r ^w

+

−

= +

− ^∗

∗

∫

2.3 演算法

根據前述討論，更新式免費置換保證成本模式下之最佳置換年齡 t_w^∗ 的決定，可透過下 列演算法的搜尋步驟來進行：

步驟 1：給定產品之壽命分配 F(⋅) 、免費置換保證期 w 與相關之成本 C 、_o C 與 _b C 。 _d 若 C_d ≤C_o +C_b ，執行步驟 3.

步驟 2：令 ( ) ( ) ( )

1 r w 0 F t dt F w

A = ⋅

∫

b o d

b o d

b o

C C C

C A C

w C F

C C

+

−

≤ +

≤ + ⋅

，得 t_w^∗ =w。

若 ₁ F(w) C

C A C

d b

o + ⋅

< ，執行步驟 3。若

)

1 (

b o d

b o

C C C

C A C

+

−

> + ，執行步驟 5。

步驟 3: 計算 A₂ limr(t)

t→∞

= ，

若

d

d b

o

C

C w F C A C

⋅

+

≤ +

µ ) ( ) (

2 ，得 t^∗_{w =∞}。

步驟 4: 以 t_w =w 為啟始點，利用牛頓法搜尋大於 w 且滿足式(2.1) 之 t^∗_w。 步驟 5: 以 t_w =w 為啟始點，利用牛頓法搜尋小於 w 且滿足式(2.2) 之 t^∗_w。

所得到的最佳置換年齡將如圖 2.3 所示。

(1) t_w^* = w CR(t_w )

t_w^* = w t w

(2) t_w^* > w CR(t_w )

t_w^* t

(3) t_w^* diverge CR(t_w )

t

(4) t_w^* < w CR(t_w )

t CR(w)

CR( )'

2.4 結論與討論

免費置換保證下，買方最佳化的考量如同傳統年齡置換策略，取決於產品的失效率與當 機成本。就買方而言，若當機成本偏低，則免費置換保證所帶來的保證價值（成本率下降的 效果）較為顯著。再者，若存在有限且唯一的 t ，則當 _w^* t_w ≥w 時，此最佳置換年齡 t 將_w^* 小於傳統年齡置換成本模式之 t₀^*。反之，當 t_w ≤w 時， t 將大於 _w^* t₀^*。

2.5 參考文獻

[1] Balcer, Y. and Sahin, I. Replacement costs under warranty: Cost moments and time variability.

Operations Research (1986). Vol. 34-4, pp. 554-559.

[2]Barlow, R. E. and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability, Wiley, New York (1965).

[3] Berg, M., “A proof of optimality for age replacement policies,” Journal of Applied Probability, 13, 751-759 (1976).

[4] Blischke, W. R. and D. N. P. Murthy, Warranty Cost Analysis, Marcel Dekker, New York (1994).

[5] Blischke, W. R. and E. M. Scheuer., “Applications of renewal theory in analysis of the free-replacement warranty,” Naval Research Logistics Quarterly, 28(2), 193-205 (1981).

[6] Osaki, S. and T. Nakagawa, “A note on age replacement,” IEEE Transaction on Reliability, 24(1), 92-94 (1975).

[7] Osaki, S., Applied Stochastic System Modeling, Springer, New York (1993).

[8] Ritchken, P. H. and D. Fuh, “Optimal replacement policies for irreparable warrantied items,”

IEEE Transaction on Reliability, 35(5), 621-623 (1986).

第三章 成果報告 2/3

全面生產維修策略之理論與實務應用研究--計劃三 產品保證對最佳維修策略之影響(2/3) NSC 92-2213-E-011-009

3.1 計畫概要

本子計畫第二年度之研究內容主要以買方立場探討產品保證對於可維修產品之最佳置 換策略的影響。隨著產品設計與功能演進的多元發展，產品保證逐漸演變為消費市場中，直 接歸屬於產品之重要附加價值。Blischke[2]是一篇保證策略相關的回顧文獻，並針對保證成 本分析之數學模式作詳盡探討。Polatoglu 與 Sahin[7]分別以買賣雙方的觀點，探討保證期內 與成本、收益及利潤相關之機率分配。Murthy 與 Djamaludin[5]則詳細記載了產品保證最近 十年來相關的文獻與著作。

就買方的立場而言，透過產品的使用創造更高的價值或效率，往往是產品購買的理由。

使用者重要工作與目標之執行，常牽涉複雜工作系統的運行，故務必仰賴若干關鍵性產品順 利發揮其應有的功能，方能達成系統正常運作的需求。而「維修」是滿足消費者(買方)持續 使用產品，並發揮產品功能以滿足使用需求的基本要素。Barlow 與 Hunter[1]首次針對可維 修產品，建構考慮維修置換和小修觀念的成本架構。接著 Tilquin 與 Cléroux[9]考慮系統失效 時採用小修，並在固定週期置換系統下，求使單位時間期望成本最小之最佳置換策略 。 Nakagawa 與 Yasui[6]則透過數值計算與近似方法，分析產品壽命在服從韋伯分配下，結合小 修考量之區間置換策略。

隨著消費者意識的日益抬頭及產品保證的風行，上述各類型維修策略施行的成本，有 逐漸藉由產品保證轉嫁至賣方的趨勢，因此這些不同維修策略施行的考量，亦和產品保證 的契約內容所規定之權利義務有著密切的關連。要如何結合保證與維修策略，以降低產品 使用的成本及因產品失效引起之損失，以達到資源有效運用與工作效能提升的目標，實是 一個值得深入探討的問題。

關於保證策略與維修策略之整合方面，Ritchken 與 Fuh[8]曾考慮部份負擔置換保證策略 下，不可維修產品之最佳年齡置換策略。Chun[3]將主動維護的觀念，透過定期不完美預防 保養模式的建構，運用在保證策略的研究上，並決定最佳預防保養次數。Jack 與 Schouten[4]

考慮可維修產品以免費置換保證之條件銷售時，製造商之最佳維修置換策略。Yeh 與 Lo[10]

推展主動式的預防保養保證策略，並求產品之最佳預防保養策略。本計畫之第一年度研究報 告及 Yeh 等[11]則針對具免費置換保證之不可維修產品，研究其最佳置換策略。

本子計劃延續第一年度之研究，考慮可維修產品在免費小修保證下，買方採行年齡置換 策略之成本模式，尋求最佳化條件，並與傳統無產品保證下之年齡置換策略的結果相互比較 驗證，藉以探討免費小修保證對於傳統年齡置換策略之影響。

3.2 成本模式

在賣方提供免費小修保證的情況下，當產品在保證期

[ ]

然而產品失效時任務強制性停頓所帶來的損失（當機成本）仍由買方負擔。另外，不論是否 在保證期內，買方皆可自行決定是否置換新產品來替代舊產品，但是買方必須負擔置換所需 費用（置換成本）。

依據以上的描述，模式建構之基本假設如下：

1. 在到達置換年齡前，產品每次失效皆會以小修處理，且產品失效必伴隨當機成本。

2. 產品失效時小修之處理時間，及置換前之前置時間與置換所須之時間可以忽略不計。

3. 每次產品失效之小修成本及當機成本皆為常數，且置換成本亦為常數。

4. 產品失效率為隨時間嚴格遞增之函數。

建構成本模式所使用之數學符號分述於下：

w 產品之保證期 x 產品之壽命 t ^{產品之置換年齡}

*

t0 產品最佳置換年齡，當w=0

*

tw 在保證期 w 下產品之最佳置換年齡 )

(x

f 產品壽命x 之機率密度函數 )

( x

F 產品壽命x 之累積機率分配 )

(x

r 產品在壽命x 時之失效率函數 )

(t

N 產品在時間

[ ]

) (t

R 產品在時間

[ ]

[ ]

∫

C d 當機成本

C m 小修成本 C r 置換成本

)

0(t

C 置換年齡為 t 且w=0時，更新循環內之總成本 )

1(t

C 置換年齡t>w>0時，更新循環內之總成本 )

2(t

C 置換年齡0<t≤w時，更新循環內之總成本 (⋅)

CR 單位時間期望總成本 )

(t

H 判別函數，且H(t)=r(t)t−R(t)

3.2.1 產品未附保證之年齡置換策略

在不附任何產品保證之下，產品之失效過程如圖 3.1 所示。

圖 3.1. 傳統年齡置換策略

由於買方固定於產品年齡t 時作置換，因此單次更新循環時間為₀ t 。在₀ t 之前若有失效，₀ 則買方自行給予小修處理，此時買方需負擔小修成本和當機成本，直到產品年齡到達t ，購₀ 置另一新產品並進行置換為止。因為沒有任何產品保證，所以單次更新循環內期望總成本為

[

]

E ₀(₀) =( + ) (₀)+ ，單位時間期望總成本可透過單次更新循環期望總成本除以更 新循環時間t 得到， ₀

[ ]

0 0 0

0 0 0

) ( ) (

) ) (

( t

C t R C C t

t C t E

CR = = ^d + ^m + ^r 。 (3.1)

根據上述單位時間期望總成本，要求得最佳置換年齡，使得期望總成本最小化，可將式 (3.1)對t 做一階微分如下 ₀

2 0 0

0

0 ( ) ( ) ( )

) (

t

C C t C H C C dt

t

dCR d m

r m

d 



 





− + +

= ， (3.2)

其中H(t₀)=r(t₀)t₀−R(t₀)。

令判別函數H(t)=r(t)t−R(t)，由式(3.2)可看出H(t)為決定最佳置換年齡之關鍵式。在 失效率隨時間遞增時，性質 3.1 可證明H(t)亦為隨時間遞增之函數。

t₀

＊ ＊ . . . ＊ 小修 小修 小修 置換

0 ) ( lim >

∞

→ H t

t .

證 明 ： 若r(t)為 失 效 率 遞 增 函 數 ， 即r′(t)>0,∀t>0， 則將H(t)對 t 做 一 階 微 分 ，可 得 0

, 0 ) ) (

( = ′ > ∀ >

′ r t t t

dt t H

d ， 亦 即H(t)亦 為 t 之 嚴 格 遞 增 函 數。 當 t 趨 近 於 0 時 ，可 得

[

]

lim ) ( lim

0

0 = − =

→

→ H t r t t R t

t

t ，另外，由於H(t)為 t 之遞增函數可知lim ( )>0

∞

→ H t

t 。

¦ 在產品不具任何保證的情況下，令單位時間期望總成本ㄧ階微分為 0，可得

m d

r

C C t C

H( ₀)= + 。 (3.3)

分析式(3.3)可得下列性質。

性質 3.2：在產品失效率為 IFR 的情況下，

1. 若

m d

r

C C H C

< +

∞)

( ，則t^*_{0 =∞}。

2. 若

m d

r

C C H C

> +

∞)

( ，則存在唯一t^*₀滿足上述式(3)且CR(t₀^*)=(C_d +C_m)r(t^*₀)。

3.2.2 免費小修保證下之年齡置換策略

當產品附有免費小修保證時，在保證期 w 內之失效，由賣方負責修理，但買方仍需負擔 當機成本。則置換年齡t和保證期 w 之大小關係，會導致不同的成本結構。因此分為t>w及

w

t≤ 兩種情況來討論。

首先考慮保證期不大於置換年齡(t >w)的情形，則產品之失效過程如圖 3.2 所示。

圖 3.2.置換年齡大於保證期之年齡置換策略

若產品在保證期內失效，買方只需負擔當機成本；若在保證期和置換年齡間失效，則須 負擔當機成本(C )和小修成本(_d C )，直到產品年齡到達 t 時，進行預防性的置換（置換成本_m

C ）r ，此時單次更新循環時間為 t。由於在保證期 w 內產品失效的期望次數為R(w)，而在[w,t] 間產品失效的期望次數為

∫

w t

＊ ＊ . . . ＊

小修 小修 小修 置換