所需要的漸進提示特質所需要的漸進提示特質所需要的漸進提示特質

所需要的漸進提示特質 所需要的漸進提示特質 所需要的漸進提示特質

由後測(一)第一~六題學生的表現可以知道，其類比遷移的表現受到表 面相似與否的影響。因此，研究者又設計了與「標的問題一」表面不相似，

結構相似的「標的問題二」，並提供針對「標的問題二」所設計的另一系 列的「來源問題二的前測~提示 4」，以協助學生進行基模歸納。換言之：

「標的問題一」 「標的問題二」

藉由針對「標的問題二」所設計的另一系列的「來源問題二的前測~

提示 4」，幫助學生注意到幫助學生注意到幫助學生注意到幫助學生注意到：：：：即使表面的特徵相異即使表面的特徵相異即使表面的特徵相異即使表面的特徵相異，，，仍然可以藉由相同的數，仍然可以藉由相同的數仍然可以藉由相同的數仍然可以藉由相同的數 學概念來解決結構特徵相似的各類問題

學概念來解決結構特徵相似的各類問題 學概念來解決結構特徵相似的各類問題

學概念來解決結構特徵相似的各類問題。。。。結果如下：

表 4.22：「標的問題二」各階段，「成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數」

提示階段 二前 二0 二1 二2 二3 二4 成功地類比解

成功地類比解成功地類比解 成功地類比解 題

題 題

題的學生人數 16 16 16 24 24 30

由上表可知，成功地類比解題的學生人數由「二前」的 16 人增加至

「二 4」的 30 人。解決「標的問題二」的解題過程所需的類比遷移表現可 以分為三個部份來討論。即：一、x 項的等量加減法方面。二、常數項的 等量加減法方面。三、等量乘除方面。本小節將針對上述三個部份來討論 學生在解決「標的問題二」時，所需要的漸進提示特質。

表異結似

一、x 項的等量加減方面： 為 s10409、s10410，其中，s10409 在「二前」、「二 0」中，已能 對 x 項作正確的類比，在「二 1」中突然轉變解題策略，改為「代

生在生在

從上表可知，「標的問題二」的提示 0~提示 4 階段，研究者所提供的

邊同減 6)作成功的「映射」至「標的問題二」。至於調適的 部份，由於本研究至今尚未提供關於常數項的等量加減方面 的相關經驗，因此，該生已成功的「調適」---將先前經驗中 對 x 項進行等量加減的經驗類比類比類比類比至常數項的等量加減方面。

2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 4 人。

這些學生進行常數項的等量加減方面的類比遷移過程中，皆未 能產生一個適切「標的問題二」的「調適」。例如

學生編號 學生編號 學生編號

學生編號 s10427：：： ： 5 5

5 5 ××××χχχχ＋＋＋6＋666＝＝＝＝2 2 2 2 ××××χχχ＋χ＋＋＋606060 60

<<

<<

<<

<<計算過程計算過程計算過程計算過程>> <<>> <<>> <<說明>> <<說明說明>>說明>>>>>>

5-2=3 60+6=66 66÷÷÷÷3=22

該生只知道「還有 60，6 要弄」，卻不知要如何「弄」才適 切本題的解題需要，因此，該生本題常數項的等量加減方面 的編碼為”10”。深入探討後，我們發現，該生在「一後 2~6」

中，每一題都只知到要對常數項作處理，卻不知道要如何處 理，所以就「都用加法」，分別將各題的常數項相加；接下 來，在「標的問題二的前測~提示 3 階段」，也如法炮製，「都 用加法」分別將各題的常數項相加，接著，該生在「標的問 題二的提示 4 階段」聽取老師的口語教學後，知道要將 60 減 6，但他仍然不知道為什麼要減 6，於是，接下來的「二

5，，，，2 都有都有都有 x 都有 而而

而而 5-2=3

所以還有 所以還有 所以還有

所以還有 60，，，6 要弄， 要弄要弄要弄

所以就加起來 所以就加起來 所以就加起來

所以就加起來=66 在在在[再在再再再]÷÷÷÷3=22

後 2~6」的常數項方面，他就「都用減法」，分別將各題的常 數項相減，但他仍不知道為何要相減。因此，該生未能作正 確的「調適」，以因應各類「表異結似」問題的需要，該生 仍停留在形式模仿的階段，只知將所聽所聞照本宣科的應 用，尚未能夠獲取解題的深層結構，只求將表面上的相似直 接映射套用。

3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 5 人。

4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 9 人。

(二)標的問題二的提示階段 0：

在提示 0 階段階段階段階段，研究者提供等量公理等量公理等量公理等量公理的靜態圖像表徵(請見附錄三)後，

請學生演算下面的題目：

標的問題二測驗 標的問題二測驗 標的問題二測驗

標的問題二測驗(提示提示提示提示 0 階段階段階段) 階段 下面式子中的

下面式子中的下面式子中的

下面式子中的χχχ代表某一個數χ代表某一個數代表某一個數代表某一個數，，，，請將式子中請將式子中請將式子中請將式子中χχχχ所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來。。。 。 5

5 5

5 ××××χχχχ＋＋＋＋6666＝＝＝＝2 2 2 2 ××××χχχ＋χ＋＋＋60606060

在此階段，研究者提供等量公理等量公理等量公理等量公理的靜態圖像表徵作為類比遷移的類比 物，希望幫助學生「憶取」天平平衡的經驗，以協助其類比遷移的進行。

此提示與先前針對 此提示與先前針對 此提示與先前針對

此提示與先前針對「「「「標的一標的一標的一標的一」」」」所提供的提示所提供的提示所提供的提示所提供的提示 0 完全相同完全相同完全相同。完全相同。。其分析與討論如。 下：

二前 二0

11 17 ←沒有差異→ 17 10 4 ←沒有差異→ 4

01 5 4

00 9 10

1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 17 人，由於此 17 人即

提 示 階 段

人 數 編

碼

為前測階段正確進行類比遷移的那 17 人，因此我們不再贅述。

2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 4 人，

由於此 4 人即為前測階段編碼”10”的那 4 人，因此我們不再贅 述。

3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 4 人。

4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 10 人。

(三)標的問題二的提示階段 1：

在提示 1 階段，研究者提供方程式方程式方程式的靜態圖像表徵(請見附錄三)後，方程式 請學生演算下面的題目：

標的問題二測驗 標的問題二測驗 標的問題二測驗

標的問題二測驗(提示提示提示提示 1 階段階段階段) 階段 下面式子中的

下面式子中的下面式子中的

下面式子中的χχχ代表某一個數χ代表某一個數代表某一個數代表某一個數，，，，請將式子中請將式子中請將式子中請將式子中χχχχ所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來。。。 。 5

5 5

5 ××××χχχχ＋＋＋＋6666＝＝＝＝2 2 2 2 ××××χχχ＋χ＋＋＋60606060

在此階段，研究者提供方程式方程式方程式的靜態圖像表徵，希望藉此呈現某人在方程式 生活情境中所遇到的問題(來源問題二)，並將其解決問題的過程，以方程方程方程方程 式

式 式

式的靜態圖像表徵呈現，來幫助學生「憶取」天平平衡的經驗。此提示較此提示較此提示較此提示較 先前針對先前針對

先前針對先前針對「「「「標的一標的一標的一」標的一」」」所提供的提示所提供的提示所提供的提示所提供的提示 1 對學生所增加的幫助為對學生所增加的幫助為對學生所增加的幫助為「對學生所增加的幫助為「「「提供方程式提供方程式提供方程式提供方程式 中

中 中

中，，，，常數項的等量加減方面的靜態圖像表徵常數項的等量加減方面的靜態圖像表徵常數項的等量加減方面的靜態圖像表徵」，常數項的等量加減方面的靜態圖像表徵」，」，」，其分析與討論如下：

二0 二1

11 17 ←沒有差異→ 17 10 4 ←沒有差異→ 4

01 4 4

00 10 10

提 示 階 段

人 數 編

碼

1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有人，由於此 17 人即為提 示 0 階段正確進行類比遷移的那 17 人，因此我們不再贅述。

2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 4 人，

由於此 4 人即為提示 0 階段編碼”10”的那 4 人，因此我們不再 贅述。

3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 4 人。

4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 10 人。

(四)標的問題二的提示階段 2：

在提示 2 階段，研究者提供方程式方程式方程式方程式的符號符號符號表徵(請見附錄三)後，請符號 學生演算下面的題目：

標的問題二測驗 標的問題二測驗 標的問題二測驗

標的問題二測驗(提示提示提示提示 2 階段階段階段) 階段 下面式子中的

下面式子中的下面式子中的

下面式子中的χχχ代表某一個數χ代表某一個數代表某一個數代表某一個數，，，，請將式子中請將式子中請將式子中請將式子中χχχχ所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來所代表的數算出來。。。 。 5

5 5

5 ××××χχχχ＋＋＋＋6666＝＝＝＝2 2 2 2 ××××χχχ＋χ＋＋＋60606060

在此階段，研究者提供方程式方程式方程式方程式的符號符號符號符號表徵以協助學生進行類比遷 移。由於提示 1 與提示 2 代表的皆是來源問題二，唯該問題所呈 現的表徵方式不同，因此，這兩個提示的解題過程可以一一對 應。研究者希望藉此幫助學生自行自行自行自行進行「映射」。即：

提示提示提示提示 1 提示提示提示提示 2

(方程式方程式方程式方程式的靜態圖像表徵) (方程式方程式的符號方程式方程式 符號符號符號表徵) 步驟一 步驟一

步驟二 步驟二 步驟三 步驟三

…. ….

此提示較先前針對 此提示較先前針對 此提示較先前針對

此提示較先前針對「「「標的一「標的一標的一標的一」」」」所提供的提示所提供的提示所提供的提示 2 對學生所增加的幫所提供的提示 對學生所增加的幫對學生所增加的幫對學生所增加的幫 助為

助為 助為

助為「「「「提供方程式中提供方程式中提供方程式中提供方程式中，，，常數項的等量加減方面的符號表徵，常數項的等量加減方面的符號表徵常數項的等量加減方面的符號表徵常數項的等量加減方面的符號表徵」，」，」，」，其 分析與討論如下：

學生自行自行自行自行映射

學生自行自行自行自行映射

學生自行自行自行自行映射

二1 二2

該生於解題時，成功地建立一個適當的「調適」，拋棄提 示 2 解題過程中的表面屬性(特定數據，如：4) ，以適切 解決「標的問題二」的需要(6)。

另外，我們深入探討該生先前先前先前在「標的問題二提先前

另外，我們深入探討該生先前先前先前在「標的問題二提先前