第四章 第四章
第四章 第四章 研究結果分析與討論 研究結果分析與討論 研究結果分析與討論 研究結果分析與討論
本章擬探討研究對象在本研究中的表現，全部分成五節：第一節 第一節 第一節呈現 第一節 先備知識測驗的結果，以便評估所採樣的有效樣本是否具備進行本研究所 需的先備知識。第二節 第二節 第二節 第二節則呈現學生在解決「標的問題一」時，所需要的漸 進提示特質，以便瞭解國一學生在動態評量的漸進提示下，進行成功的數 學類比遷移時所需要的漸進提示特質。第三節 第三節 第三節呈現學生在解決後測 (一) 第三節 中， 「表異結似」的各類問題時，類比遷移的表現，以便瞭解國一學生進 行類比遷移時的表現，在解決表異結似的各類問題時，有何差異。第四節 第四節 第四節 第四節 呈現學生在解決「標的問題二」時，所需要的漸進提示特質，以便更深入 的瞭解國一學生在動態評量的漸進提示下，進行成功的數學類比遷移時所 需要的漸進提示特質。第五節 第五節 第五節呈現學生在後測 (一) 、後測 (二) 中類比遷 第五節 移表現之比較，以便瞭解提供另一類「表異結似」的標的問題(不只合併 x 項，還須合併常數項的一元一次方程式)所需的漸進提示後，國一學生類比 遷移的表現是否提升。
第一節 第一節 第一節
第一節 先備知識測驗結果 先備知識測驗結果 先備知識測驗結果 先備知識測驗結果
一、先備知識測驗結果：
研究對象本身會因為先備知識的不同而影響其類比遷移的表現
(Kaufmann, 1996) ，因此，在研究進行之前，對研究對象進行先備知識 測驗是必須的。以下為有效樣本 35 人之先備知識測驗結果：
表 4.1：先備知識測驗結果
答對率 人數
1 23
0.95 4
0.9 3
0.85 2
0.75 1
0.35 1
0 1
(一)第五大題第七~九小題學生的答對人數分別為 22、23、23 人，相對 其他題目而言，答對人數較少，但深入探討後，我們發現第五大題 的第七~九小題為正負數加減法中， a－b=?，a<0、b>0 的題型，
在實施本研究的先備知識測驗之前 2 天，研究對象才開始學習此題 型，所以，該班級當時仍處於該題型的初學階段，因而答對人數相 對較少。由於在本研究中所需要解決的所有問題，皆不需要使用此 類型的計算，因此，我們暫時不考慮學生第五大題第七~九小題的 表現。
(二)第一大題第 1 小題~第五大題第 6 小題，學生的答對率為 0.85~1 者，
共 32 人，佔有效樣本 35 人中的 91.4%，因此，認定研究對象大多
數具備學習解一元一次方程式的能力。
第二節 第二節 第二節
第二節 學生在解決 學生在解決 學生在解決「 學生在解決 「 「 「標的問題一 標的問題一 標的問題一 標的問題一」 」 」 」時 時 時 時， ， ， ， 所需要的漸進提示特質
所需要的漸進提示特質 所需要的漸進提示特質 所需要的漸進提示特質
學生在解決「標的問題一」時，所需要的漸進提示特質可以由「標的 問題一」的前測~提示階段 4 之測驗結果來作深入的分析與討論。結果如 下：
表 4.2：「標的問題一」各階段，「成功地類比解題 成功地類比解題 成功地類比解題 成功地類比解題的學生人數」
提示階段 一前 一 0 一 1 一 2 一 3 一 4
成功地類比解題 成功地類比解題 成功地類比解題 成功地類比解題的
學生人數 1 7 8 17 20 29 由上表可知，成功地類比解題的學生人數由「一前」的 1 人增加至「一 4」的 29 人。其中，解決「標的問題一」的解題過程所需的類比遷移表現 可以分為兩個部份來討論。即：一、x 項的等量加減法方面。二、等量乘 除方面。本小節將針對上述兩個部份來討論學生在解決「標的問題一」時，
所需要的漸進提示特質。
一、x 項的等量加減法：
表 4.3：「標的問題一」x 項的等量加減法方面的施測結果(A)
標的一
前測
(簡稱
一前)
標的一
提示 0
(簡稱
一 0)
標的一
提示 1
(簡稱
一 1)
標的一
提示 2
(簡稱
一 2)
標的一
提示 3
(簡稱
一 3)
標的一
提示 4
(簡稱
一 4)
11 1 7 8 17 20 29
10 0 0 0 4 2 0
01 18 13 13 5 5 1
00 16 15 14 9 8 5
提 示 階段
人
數 編
碼
根據上表，我們將各階段學生初次 初次 初次 初次正確類比(x 項的等量加減 項的等量加減 項的等量加減 項的等量加減法方面) 的人數統計如下，並將在本小節作更深入的分析與討論：
表 4.4：「標的問題一」x 項的等量加減法方面的施測結果(B)
一前 一 0 一 1 一 2 一 3 一 4
11 1 7 8 17 20 29
10 0 0 0 4 2 0
01 18 13 13 5 5 1
00 16 15 14 9 8 5
從上表可知，對「標的問題一」而言，各階段的提示，使得學生在 x 項的等量加減
項的等量加減 項的等量加減
項的等量加減方面正確類比的人數，分別增加了 1、6、1、9、3、9 人，
其中，提示 0、提示 2、提示 4 相對其他提示階段，增加較多人。我們詳 細探討如下：
提示階段 人
數 編
碼
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 1 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 6 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 1 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 9 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 3 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ x 項
﹀
：
︿ 共 9 人
﹀
到 此 階 段 為 止 ， 尚 未 正 確 類 比 ︿ x 項 ﹀ ： ( 共 6 人 )
(一)標的問題一的前測階段：
在前測階段，研究者直接請學生演算下面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(前測階段 前測階段 前測階段 前測階段) 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
在此階段，不提供任何提示，希望在學生從未接觸過「標的問題一」
的情況下，評量其獨立解決「標的問題一」的能力。其分析與討論如下：
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 1 人，其特徵如下：
(1)類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 。 學生編號
學生編號 學生編號
學生編號 s10437： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<<
<<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> <<說明 >> << 說明 說明 說明>> >> >> >>
=(11× ×× ×x)+(4× ×× ×x)=(11× ×× ×x)+76 11× ×× ×x=11× ×× ×x
4× ×× ×x=76 x= 76
4 =19
該生先將 15x 拆成 11x+4x，再將等號左右兩邊的 11x 抵銷，
因此所剩的 4x 與 76 又相等，……。由此可見，該生已可以
「憶取」經驗中的”相等”、’’抵銷’的概念，並將之「映射」
至方程式中的”=”、”同減”的概念，在該生的解題思維中，雖 未提及「天平平衡」的原理，但已成功地將日常生活中的經 驗，類比遷移為「等量減等量，其餘量相等」的概念。
15× ×× ×x 分成 分成 分成 11× 分成 ×× ×x+4× ×× ×x
11× ×× ×x 和 和 和 11× 和 ×× ×x+4× ×× ×x 的 的 的 的 11× ×× ×x 抵 抵 抵 抵
銷 銷 銷
銷， ， ，所以剩下 ， 所以剩下 所以剩下 所以剩下 4× ×× ×x 和 和 和 76 和
而它們又相等 而它們又相等 而它們又相等
而它們又相等， ， ， ，所以 所以 所以 所以 x=76÷ ÷÷ ÷
4=19
(2)該生的解題思維並無出現明顯的「調適」 。
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 0 人。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 18 人。
4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 16 人。
(二)標的問題一的提示階段 0：
在提示 0 階段，研究者提供等量公理 等量公理 等量公理 等量公理的靜態圖像 圖像 圖像表徵(請見附錄二)後， 圖像 請學生演算下面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(提示 提示 提示 提示 0 階段 階段 階段) 階段 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
在此階段，研究者提供等量公理 等量公理 等量公理 等量公理的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵作為類比遷移的類比 物，希望幫助學生「憶取」天平平衡的經驗，以協助其類比遷移的進行，
並將測驗的結果，用來測量其類比遷移的潛在發展能力。其分析與討論如 下：
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 7 人，其特徵如下：
一前 一 0
11 1 7
10 0 0
01 18 13
00 16 15
(1)就「初次」於提示 0 階段正確的進行類比遷移的 6 位學生來 討論：類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 、 「調 適」 。
提 示 階 段
人 數 編
碼
4 人
2 人
例如 例如 例如 例如： ： ： ： 學生編號 學生編號 學生編號
學生編號 s10404： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<<
<<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> << >> <<說明 說明 說明 說明>> >> >> >>
15× ×× ×x=15x
11× ×× ×x+76=11x+76 15x-11x=4
76÷ ÷÷ ÷4=19
該生將“等號左右兩邊的量”視為“兩個東西”；“未知數 x”視為“物品”，15×x=15x=“15 個物品”，因此，該生的解 題過程中已成功的「憶取」天平平衡的經驗，並將經驗中“平 衡”、“抵銷”的概念「映射」至方程式中的”=”、“同減”。
該生比較等號兩邊的“東西”後，發現 4×□=76，顯示該生 已成功的進行類比遷移。另外，在「調適」的部份：由於“15
×x”並不完全等同於“15 個 x”或“15 個物品”；“未知數 x”也並不完全等同於“物品”；“76”並不完全等同於“76 c.c 的水”，該生於解題時，建立一個適當的「調適」 ，拋棄 上述具體物與解題無關的屬性(重量、體積、…)，以適切解 決「標的問題一」的需要。
代入驗算---「調適」：由於本研究中的有效樣本皆為初次嘗 試解決「標的問題一」的學生，其解題程序尚未穩固，解題 所需的概念也尚未成熟，所以， 「初次」於提示 0 階段正確
這樣就好像兩個東西都有 這樣就好像兩個東西都有 這樣就好像兩個東西都有
這樣就好像兩個東西都有 x， ， ， ，但一個有 但一個有 但一個有 但一個有
15 個 個 個 x， 個 ， ，一個只有 ， 一個只有 一個只有 11 個 一個只有 個 個 x， 個 ， ，和為了 ， 和為了 和為了平衡 和為了 平衡 平衡 平衡 又加入了 又加入了
又加入了 又加入了 76c.c.的水 的水 的水， 的水 ， ， ，而 而 而 而 x 可以消除 可以消除 可以消除， 可以消除 ， ， ，15
再減去 再減去 再減去
再減去 11=4， ， ， ，這 這 這 這 4×□ ×□ ×□=76 ×□
就 就
就 就=11+4 個 個 個□ 個 □ □， □ ， ， ，所以 所以 所以 76÷ 所以 ÷÷ ÷4 就是 就是 就是 就是□ □ □ □， ， ，而這 ， 而這 而這 而這
個 個 個
個□ □ □ □就是 就是 就是 19 就是
的進行類比遷移的 6 位學生中，高達 6 位有將自己所算出的 答案代入原方程式中驗算，以檢驗該答案是否適切「標的問 題一」的需要。此部份亦為類比遷移中的「調適」階段的一 部份。
(2)就前測階段已正確的進行類比遷移的那 1 位學生來討論：類 比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」、「映射」、「調適」。
在此階段，研究者提供等量公理 等量公理 等量公理 等量公理的圖像 圖像 圖像 圖像表徵作為類比遷移的 類比物。結果顯示，此位學生在解題過程中，已可以進行成 功的類比遷移。例如：
學生編號 學生編號 學生編號
學生編號 s10437： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<<
<<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> <<說明 >> << 說明 說明 說明>> >> >> >>
15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
=(11× ×× ×x)+(4× ×× ×x)=(11× ×× ×x)+76 4x=76
x=76÷ ÷÷ ÷4=19
該生解題思維中的「憶取」 、 「映射」部份與前測階段時的表 現並無明顯的不同，但「調適」的部份，則易觀察得：其解
題時，對方程式產生的心像 (image) 為 15× ×× ×x 11× ×× ×x+76
換言之，該生將「15×x」、「11×x+76」視為擺放於天平左右
15××××x 11××××x+76 11××××x+4××××x 11××××x+76
4××××x 76 4××××x 76
一剛開始 一剛開始
一剛開始一剛開始.平衡平衡平衡平衡 還是一樣還是一樣還是一樣還是一樣
11× ×× ×x 11× ×× ×x
都拿走了 都拿走了
都拿走了都拿走了 11××××x 但還是平衡但還是平衡但還是平衡但還是平衡
76 x 將
將 將
將 76 76 76 76 分成 分成 分成 分成 4 44 4 塊就是 塊就是 塊就是 塊就是 x xx x
=
兩側的具體物，在類比遷移的過程中，該生成功地建立一個 適當的「調適」 ，拋棄上述具體物與解題無關的屬性(重 量、…)，以適切解決「標的問題一」的需要。
(3)進行類比遷移時，隱含於其解題思維中的各元素之映射關 係：
圖 4.1：各元素之映射關係圖(提示 0)
由研究結果可知，在多提供了提示 0 後，成功地協助 6 位學 生獲取提示 0 與標的問題之間的表徵關係，並進而將類比物 與抽象的數學概念進行類比遷移，以解決標的問題。
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 0 人。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 13 人。
4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 15 人。
(三)標的問題一的提示階段 1：
在提示 1 階段，研究者提供方程式 方程式 方程式的靜態圖像 方程式 圖像 圖像 圖像表徵(請見附錄二)後，
請學生演算下面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(提示 提示 提示 提示 1 階段 階段 階段) 階段 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
提示 0：等量公理 等量公理 等量公理 等量公理
的靜態圖像 圖像 圖像 圖像 表徵 標的問題：方程 方程 方程 方程 式
式 式
式的符號 符號 符號表徵 符號 以等量公理解一
元一次方程 式
解決問 題 類比
類比 平衡 抵銷
抽象的數學概念 同減
=
獲取表徵關係
在此階段，研究者提供方程式 方程式 方程式的靜態圖像 方程式 圖像 圖像 圖像表徵，希望藉此呈現某人在 生活情境中所遇到的問題(來源問題一)，並將其解決問題的過程，以方 方 方 方程 程 程 程 式 式
式 式的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵呈現，來幫助學生「憶取」天平平衡的經驗。本階段測 驗的結果，將用來測量其類比遷移的潛在發展能力。其分析與討論如下：
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 8 人。其特徵如下：
一 0 一 1
11 7 8
10 0 0
01 13 13
00 15 14
(1)就「初次」於提示 1 階段正確的進行類比遷移的 1 位學生來 討論：類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 、 「調 適」 。例如：
學生編號 學生編號
學生編號 學生編號 s10413： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<<
<<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> >> >> << >> << << <<說明 說明 說明>> 說明 >> >> >>
=15=11+76 4=76
1=19 1× ×× ×x=19
該生的數學寫作並不符合形式化數學的要求，(例如：該 生將 4x=76 寫成 4=76、將兩個方程式之間以”=”作連 結、.…..等等)，但即便如此，我們也不能抹煞該生已成
同樣 同樣 同樣
同樣 x， ， ，省略 ， 省略 省略 省略 x， ， ， ，再將其分到最簡數 再將其分到最簡數 再將其分到最簡數 再將其分到最簡數
提 示 階 段人 數 編
碼
1 人
功地進行類比遷移的事實。
由解題的最後一個步驟 1×x=19 可知，該生並非真的認為 1=19。在式子 1=19 中，該生將等號左邊的”1”視為” 1×x”；
同理，在式子 4=76 中，該生將等號左邊的”4”視為”4×x”。
代入驗算---「調適」 ： 「初次」於提示 1 階段正確的進行類 比遷移的那 1 位學生並沒有做「代入驗算」的動作。但該 生在下一階段解題結束後有進行「代入驗算」的動作。
(2)就提示 0 階段已正確的進行類比遷移的那 7 位學生來討論：
此 7 位學生的解題思維與提示 0 階段並無明顯的差異。唯「代 入驗算」的部份，由於此 7 位學生已非初次成功地解決「標 的問題一」 ，因此，他們皆不約而同地省略此步驟。
(3)進行類比遷移時，隱含於其解題思維中的各元素之映射關 係：
圖 4.2：各元素之映射關係圖(提示 1) 平衡 抵銷
提示 0：等量公理 等量公理 等量公理 等量公理 的靜態圖像 圖像 圖像 圖像 表徵
提示 1：方程式 方程式 方程式 方程式 的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表 徵
標的問題：方程 方程 方程 方程 式
式 式
式的符號 符號 符號 符號表徵 以等量公理解一
元一次方程 式
解決問 題 類比
類比
天平平衡原理(類比物)
抽象的數學概念
具體的操作程序 同減
=
獲取表徵關係
由研究結果可知，在多提供了提示 1 後，只有成功地協助 1 位學生獲取提示 1 與標的問題之間的表徵關係、將提示 0 的 原理應用於提示 1 的操作程序，並進而將類比物與抽象的數 學概念進行類比遷移，以解決標的問題。
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 0 人。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 13 人。
編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 14 人。
(四)標的問題一的提示階段 2：
在提示 2 階段，研究者提供方程式 方程式 方程式的符號 方程式 符號 符號 符號表徵(請見附錄二)後，請學 生演算下面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(提示 提示 提示 提示 2 階段 階段 階段) 階段 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式 請將式 請將式 請將式子中 子中 子中 子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
在此階段，研究者提供方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵以協助學生進行類比遷移。
由於提示 1 與提示 2 代表的皆是來源問題一，唯該問題所呈現的表徵方式 不同，因此，這兩個提示的解題過程可以一一對應。研究者希望藉此幫助 學生自行 自行 自行 自行進行「映射」 。即：
提示 提示 提示 1 提示 提示 提示 提示 2 提示
(方程式 方程式 方程式 方程式的靜態圖像表徵) (方程式 方程式 方程式的符號 方程式 符號 符號 符號表徵) 步驟一 步驟一
步驟二 步驟二 步驟三 步驟三
…. ….
本階段測驗的結果，將用來測量其類比遷移的潛在發展能力。其分析 與討論如下：
學生自行 自行 自行 自行映射
學生自行 自行 自行 自行映射
學生自行 自行 自行 自行映射
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 17 人，其特徵如下：
一 1 一 2
11 8 17
10 0 4
01 13 5
00 14 9
(1)就「初次」於提示 2 階段正確的進行類比遷移的 9 位學生來 討論：類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 、 「調 適」 。例如：
學生編號 學生編號
學生編號 學生編號 s10416： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<< <<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> << >> <<說明 說明 說明 說明>> >> >> >>
4× ×× ×x=76 4× ×× ×x÷ ÷÷ ÷4=76÷ ÷÷ ÷4 x =19
該生並無明顯「憶取」天平平衡經驗的跡象，但該生提 到”15-11=4”，並將該方程式化簡為 4×x=76，由此可知，
該生將提示 2 中”等號兩邊同減”的概念與提示 1 中”拿走”
的概念做了成功的「映射」 ，以簡化的方式表達出”15×x-11
×x=4×x”。另外，在「調適」的部份：由於提示 2 的解題 步驟 2 將等號的兩邊同減 2×x，但如果要成功的解決「標
15-11=4 這個算試 這個算試 這個算試 這個算試[式 式 式]剩 式 剩 剩 剩 4× ×× ×x=76
在 在
在 在[再 再 再]找 再 找 找 找 76 和 和 和 和 4 的最大公因數 的最大公因數 的最大公因數 的最大公因數 76÷ ÷÷ ÷4=19
4÷ ÷÷ ÷4=1
提 示 階 段人 數 編
碼
4 人
5 人
的問題一」則必須將等號的兩邊同減 11×x，我們可以由 該生的表現可知，該生於解題時，成功地建立一個適當 的「調適」 ，拋棄提示 2 解題過程中的表面屬性(特定數 據，如：2×x) ，以適切解決「標的問題一」的需要(11×
x)。
代入驗算---「調適」：「初次」於提示 2 階段正確的進行 類比遷移的 9 位學生中，有 3 位有將自己所算出的答案 代入原方程式中驗算，以檢驗該答案是否適切「標的問 題一」的需要。此部份亦為類比遷移中的「調適」階段 的一部份。值得注意的是，這個比例--- 3
9 較提示 0 階段 的 6
6 低，顯示這 9 位學生較之前那 6 位學生不易產生「自 我監控」 。
(2)就提示 1 階段已正確的進行類比遷移的那 8 位學生來討論：
此 8 位學生的解題思維與提示 1 階段並無明顯的差異。唯「代 入驗算」的部份，由於此 8 位學生已非初次成功地解決「標 的問題一」 ，因此，除了學生編號 s10413 有進行「代入驗算」
之外，其餘的學生皆不約而同地省略此步驟。
(3)進行類比遷移時，隱含於其解題思維中的各元素之映射關
係：
圖 4.3：各元素之映射關係圖(提示 2)
由研究結果可知，在多提供了提示 2 後，成功地協助 9 位學 生獲取提示 2 與標的問題之間的表徵關係、將提示 1 與提示 2 的各個步驟作一一對應(映射) 、將提示 0 的原理應用於提 示 1 的操作程序，並進而將類比物與抽象的數學概念進行類 比遷移，以解決標的問題。
學生自行 自行 自行 自行映 射 提示 0：等量公理 等量公理 等量公理 等量公理 的靜態圖像 圖像 圖像 圖像 表徵
提示 1：方程式 方程式 方程式 方程式 的靜態圖像 圖像 圖像表 圖像 徵
標的問題：方程 方程 方程 方程 式 式 式
式的符號 符號 符號 符號表徵
提示 2：方程式 方程式 方程式 方程式 的符號 符號 符號表徵 符號
以等量公理解一 元一次方程 式
解決問 題 類比
類比 平衡 抵銷
天平平衡原理(類比物)
抽象的數學概念
具體的操作程序
具體的操作程序
符號化的解題程序 同減
=
獲取表徵關係
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 4 人：
一 1 一 2
11 8 17
10 0 4
01 13 5
00 14 9
此四位學生進行類比遷移過程中，皆未能產生一個適切「標的問題 一」的「調適」 。例如：
學生編號 學生編號
學生編號 學生編號 10410： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
-2××××x -2××××x
<<
<< <<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> << >> <<說明 說明 說明 說明>> >> >> >>
15× ×× ×x-2× ×× ×x =11× ×× ×x+76-2× ×× ×x 15× ×× ×x-2× ×× ×x =13× ×× ×x
11× ×× ×x+76-2× ×× ×x=11× ×× ×x+74[76]
該學生參考了提示 2 後，直接將提示 2 的解題過程(含數據) 原封不動地套用至「標的問題一」的解題過程，由此可知，
該生未能產生一個適切「標的問題一」的「調適」 。亦即，
提示 2 的第 2 步驟” 將等號左、右兩邊各減 2 2 2 2 × ×× ×χ χ χ χ”是為了解 決方程式 5 ×χ＝2 ×χ＋6 所需的步驟，但若要成功地解決
「標的問題一」 ，則必須” 將等號左、右兩邊各減 11 11 11 11 × ×× ×χ χ χ” χ 才能適切「標的問題一」的需要，從該生的解題過程可知，
他顯然未能產生一個適切「標的問題一」的「調適」 。巧合 的是，此階段編碼為”10”的那四位學生解決「標的問題一」
在算式中加入 在算式中加入 在算式中加入
在算式中加入 -2× ×× ×x
這樣算 這樣算 這樣算 這樣算
提 示 階 段人 數 編
碼
3 人
1 人
的過程皆” 將等號左、右兩邊各減 2 2 2 × 2 ×× ×χ χ χ χ”，可見，此四位學 生皆受到提示 2 的影響，從”未類比”提升為”有類比”，但由 於其類比能力較差，所以未能產生一個適切「標的問題一」
的「調適」 ，因而未能成功的進行類比遷移。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 5 人。
4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 9 人。
(五)標的問題一的提示階段 3：
在提示 3 階段，研究者提供口語教學 口語教學 口語教學(請見附錄四)，幫助學生將提示 1 口語教學 的關鍵元素「映射 映射 映射 映射」至提示 2，並請學生演算下面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(提示 提示 提示 提示 3 階段 階段 階段) 階段 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
在先前 先前 先前的階段所提供的提示皆以書面呈現，研究者希望藉由上述提示 先前 幫助學生自行 自行 自行 自行進行「映射」 ，並進行成功的類比遷移。然而，上述提示顯 然無法幫助全體學生自行進行「映射」 ，並進行成功的類比遷移。因此，
在提示 3 階段，研究者提供口語教學 口語教學 口語教學(請見附錄四)，幫助學生將提示 1 的 口語教學 關鍵元素「映射 映射 映射」至提示 2。即： 映射
提示 提示 提示 提示 1 提示 提示 提示 2 提示
(方程式 方程式 方程式 方程式的靜態圖像表徵) (方程式 方程式 方程式的符號 方程式 符號 符號表徵) 符號 關鍵元素 關鍵元素 (盒子□) ( x )
關鍵元素 關鍵元素 (盒子的重量) (x 所代表的數)
關鍵元素 關鍵元素 (泥球●) ( 1 )
…. ….
提示 提示 提示 提示 3： ： ： ：
教師提供口語教學 口語教學 口語教學 口語教學，以幫助學生映射 映射 映射 映射
提示 提示 提示 提示 3： ： ： ：
教師提供口語教學 口語教學 口語教學 口語教學，以幫助學生映射 映射 映射 映射
提示 提示 提示 提示 3： ： ： ：
教師提供口語教學 口語教學 口語教學 口語教學，以幫助學生映射 映射 映射 映射
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 20 人，其特徵如下：
一 2 一 3
11 17 20
10 4 2
01 5 5
00 9 8
(1)就「初次」於提示 3 階段正確的進行類比遷移的 3 位學生來 討論：類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 、 「調 適」 。例如：
學生編號 學生編號 學生編號
學生編號 10425： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<< <<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> << >> <<說明 說明 說明 說明>> >> >> >>
=15× ×× ×x-2× ×× ×x =11× ×× ×x+76-2× ×× ×x
=13× ×× ×x=85
15× ×× ×x-11 =11× ×× ×x+76-11
=4× ×× ×x=76 x =19
該生提到”例如天平兩邊同時拿走一樣重的東西，結果也 是相同的呀”、並將此敘述以圖畫來表示，因此，該生已 成功地「憶取」天平平衡的經驗；另外，該生提到” 因 為同時拿走一樣的數目時，結果也是一樣的，例如天平 兩邊同時拿走一樣重的東西，結果也是相同的呀”，因
提 示 階 段
人 數 編
碼
2 人
1 人
因為同時拿走一樣的數目時 因為同時拿走一樣的數目時 因為同時拿走一樣的數目時 因為同時拿走一樣的數目時， ， ， ，結 結 結 結
果也是一樣的 果也是一樣的 果也是一樣的 果也是一樣的
例如天平拿走一樣重的東西 例如天平拿走一樣重的東西 例如天平拿走一樣重的東西 例如天平拿走一樣重的東西
兩邊同時 兩邊同時 兩邊同時 兩邊同時
結果也是相同的呀
結果也是相同的呀 結果也是相同的呀
結果也是相同的呀
此，該生將”天平平衡---拿走”當作例子，用來驗證”等量 公理---等量減法”，由此可見，該生已成功地將”天平平 衡---拿走”「映射」至”等量公理---等量減法”。最後，在
「調適」的部份：該生在上一階段 上一階段 上一階段(提示 2 階段)的解題過 上一階段 程中，雖然有類比，但未正確類比的原因是在於未能作 適當的「調適」 ，其上一階段的解題過程 上一階段的解題過程 上一階段的解題過程 上一階段的解題過程(提示 提示 提示 2 階段 提示 階段 階段 階段)如 如 如 如 下 下
下 下： ： ： ：
15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
=15× ×× ×x-2× ×× ×x =11× ×× ×x+76-2× ×× ×x
=13× ×× ×x=85
=13× ×× ×x÷ ÷÷ ÷3=85÷ ÷÷ ÷3
在本階段 本階段 本階段(提示 3 階段)的解題過程，原本也沿用上一階段 本階段 的過程，但最後又將該過程打叉，再重新解題，才成功 的進行類比遷移。由此可見，該生意識到上一階段”將等 號兩邊同減 2× ×× ×x”的步驟無法適切「標的問題一」的解題 需要，所以，自行作了適當的「調適」 ，將解題步驟改為”
15× ×× ×x-11 =11× ×× ×x+76-11”，此步驟的數學寫作並不符合形式 化數學的要求，但該生已成功地進行類比遷移。
代入驗算---「調適」：「初次」於提示 3 階段正確的進行 類比遷移的 3 位學生中，有 0 位有將自己所算出的答案 代入原方程式中驗算，以檢驗該答案是否適切「標的問 題一」的需要。值得注意的是，這個比例--- 0
3 較提示 2 階段的 3
9 、提示 0 階段的 6
6 低，顯示這 3 位學生較之前 那些學生不易產生「自我監控」 。
(2)就提示 2 階段已正確的進行類比遷移的那 17 位學生來討
論：此 17 位學生的解題思維與提示 2 階段並無明顯的差異。
唯「代入驗算」的部份，由於此 17 位學生已非初次成功地 解決「標的問題一」 ，因此，除了學生編號 s10436 有進行「代 入驗算」之外，其餘的學生皆不約而同地省略此步驟。
(3)在多提供了提示 3 後，成功地協助 2 位在提示 2 階段”有類 比，但未正確類比”的學生成功地進行類比遷移。
(4)進行類比遷移時，隱含於其解題思維中的各元素之映射關 係：
圖 4.4：各元素之映射關係圖(提示 3) 協助學生映 映 映 映 射 射 射 射
提示 0：等量公理 等量公理 等量公理 等量公理 的靜態圖像 圖像 圖像 圖像 表徵
提示 1：方程式 方程式 方程式 方程式 的靜態圖像 圖像 圖像表 圖像 徵
標的問題：方程 方程 方程 方程 式 式 式
式的符號 符號 符號表徵 符號
提示 2：方程式 方程式 方程式 方程式 的符 符 符號 符 號 號表徵 號
以等量公理解一 元一次方程 式
解決問 題 類比
類比 平衡 抵銷
天平平衡原理(類比物)
抽象的數學概念
具體的操作程序
具體的操作程序
符號化的解題程序 同減
=
提示 3：
口語教學
獲取表徵關係
由研究結果可知，在多提供了提示 3 後，成功地協助 3 位學 生將提示 1 與提示 2 的各個關鍵元素作一一對應(映射)、以 獲取提示 0~2 及標的問題之間的表徵關係、將提示 0 的原理 應用於提示 1 的操作程序，並進而將類比物與抽象的數學概 念進行類比遷移，以解決標的問題。
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 2 人。
一 2 一 3
11 17 20
10 4 2
01 5 5
00 9 8
此 2 位學生進行類比遷移過程中，皆未能產生一個適切「標 的問題一」的「調適」 。此 2 位學生即是提示 2 階段編碼”10”
的那 4 位中的 2 位，即學生編號 學生編號 學生編號 學生編號 10410、 、 、 、學生編號 學生編號 學生編號 10419 ， 學生編號 且其解題思維與他們在上一階段(提示 2 階段)的表現沒有明 顯的差異，因此不再贅述。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 5 人。
4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 8 人。
(六)標的問題一的提示階段 4：
在提示 4 階段，研究者提供口語教學 口語教學 口語教學(請見附錄四)，並請學生演算下 口語教學 面的題目：
標的問題一測驗 標的問題一測驗 標的問題一測驗
標的問題一測驗(提示 提示 提示 提示 4 階段 階段 階段) 階段 下面式子中的
下面式子中的 下面式子中的
下面式子中的χ χ χ代表某一個數 χ 代表某一個數 代表某一個數 代表某一個數， ， ， ，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來 所代表的數算出來。 。 。 。 15 × ×× ×χ χ χ＝ χ ＝ ＝ ＝11 × ×× ×χ χ χ＋ χ ＋ ＋ ＋76
提 示 階 段
人 數 編
碼
2 人
在此階段，研究者提供口語教學 口語教學 口語教學 口語教學(請見附錄四)，以協助學生「調適」：
拋棄先前提示中的表面屬性(重量、形狀、特定的數據，如：2×x、……)，
以適切標的問題的需要。即：
「來源問題一」
的提示 0~3 (見附錄二、
附錄四)
解決
「標的問題一」
拋 棄 表 面 屬 性 (特定數據，如：
2×x)
師：那我為什麼要減 11×x，為什麼不 是減 5×x 或 2×x 或其他的數？
生：這樣才可以 銷掉 11×x 呀
15 ×χ＝11 ×χ＋76
15×χ－11×χ＝11×χ
＋76－11×χ
拋棄表面屬性 (特定數據，如：
除以 3)
師：為什麼要同除以 4？為什麼不是 除以 3 或除以其 他的數？
生：因為 4 倍的 x 是 76 呀，所以 1 倍的 x 就要 把它除以 4 呀
4 ×χ÷ 4＝76 ÷ 4
… … … …
1、編碼”11”：正確進行類比遷移的學生有 29 人，其特徵如下：
一 3 一 4
11 20 29
10 2 0
01 5 1
00 8 5
(1)就「初次」於提示 4 階段正確的進行類比遷移的 9 位學生來 討論：類比遷移隱含於其解題思維中---「憶取」 、 「映射」 、 「調 適」 。例如：
學生編號 學生編號 學生編號
學生編號 10410： ： ： ： 15× ×× ×x=11× ×× ×x+76
<<
<< <<
<<計算過程 計算過程 計算過程 計算過程>> << >> << >> << >> <<說明 說明 說明 說明>> >> >> >>
提 示 階 段
人 數 編
碼
2 人 4 人
3 人
調適
15× ×× ×x-2× ×× ×x 11× ×× ×x+76-2× ×× ×x
15× ×× ×x-11× ×× ×x =4× ×× ×x
11× ×× ×x+76-11× ×× ×x 76× ×× ×x
4× ×× ×x 76× ×× ×x
76÷ ÷÷ ÷4=19
該生並無明顯「憶取」天平平衡經驗的跡象，但該生將 等號左右兩邊同減 11× ×× ×x，由此可知，該生已成功地將“抵 銷”的經驗「映射」至“同減”。至於「調適」的部份，
該生原本沿用上面二個階段(提示 2、提示 3)的過程：
15× ×× ×x-2× ×× ×x 11× ×× ×x+76-2× ×× ×x
但最後又將該過程打叉，再重新解題，才成功的進行類 比遷移。由此可見，該生意識到上面兩個階段”將等號兩 邊同減 2× ×× ×x”的步驟無法適切「標的問題一」的解題需要，
所以，自行作了適當的「調適」 ，將解題步驟改為：
15× ×× ×x-11× ×× ×x =4× ×× ×x
11× ×× ×x+76-11× ×× ×x 76× ×× ×x
此步驟的數學寫作並不符合形式化數學的要求(該生 將”76”寫成” 76×x”)，但該生提到” 因兩個數都一樣，所 以不管我用 11、15、8、2，減出來都是會一樣”，由此可 知，該生已成功地進行類比遷移。
代入驗算---「調適」：「初次」於提示 4 階段正確的進行
因兩 因兩 因兩
因兩個數都一樣 個數都一樣 個數都一樣， 個數都一樣 ， ，所以不管我用 ， 所以不管我用 所以不管我用 所以不管我用
11、 、 、 、15、 、 、 、8、 、 、 、2， ， ，減出來都是會一 ， 減出來都是會一 減出來都是會一 減出來都是會一 樣 樣 樣
樣， ， ，在 ， 在 在 在[再 再 再 再]用剩下來的數去除其 用剩下來的數去除其 用剩下來的數去除其 用剩下來的數去除其
他的數 他的數 他的數
他的數， ， ， ，這樣就可以得到正確的 這樣就可以得到正確的 這樣就可以得到正確的 這樣就可以得到正確的
答案了
答案了 答案了
答案了。 。 。 。
類比遷移的 9 位學生中，有 1 位(學生編號 s10431)有將自 己所算出的答案代入原方程式中驗算，以檢驗該答案是 否適切「標的問題一」的需要。值得注意的是，這個比 例--- 1
9 較提示 2 階段的 3
9 、提示 0 階段的 6
6 低，顯示這 9 位學生較之前那些學生不易產生「自我監控」 。
(2)就提示 3 階段已正確的進行類比遷移的那 20 位學生來討 論：此 20 位學生的解題思維與提示 3 階段並無明顯的差異。
唯「代入驗算」的部份，由於此 20 位學生已非初次成功地 解決「標的問題一」 ，因此，這 20 位學生皆不約而同地省略 此步驟。
(3)在多提供了提示 4 後，成功地協助 2 位在提示 3 階段”有類 比，但未正確類比”的學生成功地進行類比遷移。
(4)進行類比遷移時，隱含於其解題思維中的各元素之映射關
係：
圖 4.5：各元素之映射關係圖(提示 4)
由研究結果可知，在多提供了提示 4 後，成功地協助 9 位學 生拋棄先前提示中的表面屬性(特定的數據，如：2×x、重量、
形狀、……)，以適切標的問題的需要、將提示 1 與提示 2 協助學生映 映 映 映 射 射 射 射
提示 0：等量公理 等量公理 等量公理 等量公理 的靜態圖像 圖像 圖像 圖像 表徵
提示 1：方程式 方程式 方程式 方程式 的靜態圖像 圖像 圖像表 圖像 徵
標的問題：方程 方程 方程 方程 式
式 式
式的符號 符號 符號表徵 符號
提示 2：方程式 方程式 方程式 方程式 的符號 符號 符號表徵 符號
以等量公理解一 元一次方程 式
解決問 題 類比
類比 平衡 抵銷
天平平衡原理(類比物)
抽象的數學概念
具體的操作程序
具體的操作程序
符號化的解題程序 同減
=
提示 3：
口語教學
提示 4：
口語教學 口語教學 口語教學 口語教學，以 協助學生「調 調 調 調 適 適 適
適」 ： 拋棄先前提 示中的表面 屬性，以適切 標的問題的 需要
獲取表徵關係
的各個關鍵元素作一一對應(映射)、以獲取提示 0~2 及標的 問題之間的表徵關係、將提示 0 的原理應用於提示 1 的操作 程序，並進而將類比物與抽象的數學概念進行類比遷移，以 解決標的問題。
2、編碼”10”：有類比，但未能正確進行類比遷移的學生有 0 人。
3、編碼”01”：未類比，但能使用可行的解題方法的學生有 1 人。
4、編碼”00”：未類比，且未使用可行的解題方法的學生有 5 人。
二、等量乘除法：
對「標的問題一：15× ×× ×x=11× ×× ×x+76」而言，若解題者要成功地 成功地 成功地 成功地使用等量 乘除法、再 再 再 再使用等量加減法來解決此問題：15×x=11×x+76，
4 76 4
11 4
15 × +
× x = x
， 4
11 4 76 4
11 4
11 4
15 x x x × x
−
× +
× =
× − ，
4 76 4
4 × x = ， 19
4 76 =
= x
上述方法是可行的方法，但研究結果顯示，有效的 35 個樣本在解決
「標的問題一」時，並沒有任何學生先 先 先 先使用等量乘除法、再 再 再使用等量加減 再 法來解決此問題，因此，沒有出現「等量乘除法編碼”11”，但 x 項的等量 加減法編碼”不是 11”的樣本」。結果如下：
表 4.5 ： 「標的問題一」等量乘除法方面的施測結果 (A)
標的一
前測
(簡稱
一前)
標的一
提示 0
(簡稱
一 0)
標的一
提示 1
(簡稱
一 1)
標的一
提示 2
(簡稱
一 2)
標的一
提示 3
(簡稱
一 3)
標的一
提示 4
(簡稱
一 4)
11 1 7 8 17 20 29
10 0 0 0 2 1 1
01 0 0 0 0 0 0
00 34 28 27 16 14 5
提 示 階 段
人
數 編
碼
根據上表，我們將各階段學生初次 初次 初次 初次正確類比(等量乘除 等量乘除 等量乘除方面)的人數統 等量乘除 計如下，並將作更深入的分析與討論：
表 4.6 ： 「標的問題一」等量乘除法方面的施測結果 (B)
一前 一 0 一 1 一 2 一 3 一 4
11 1 7 8 17 20 29
10 0 0 0 2 1 1
01 0 0 0 0 0 0
00 34 28 27 16 14 5
根據上表，我們作深入的分析後發現，此 此 此 此 35 個樣本 個樣本 個樣本 個樣本， ， ， ， 「 「 「 「初次 初次 初次」 初次 」 」正確地 」 正確地 正確地 正確地 針對 針對
針對 針對 x 項進行等量加減方面類比遷移的同時 項進行等量加減方面類比遷移的同時 項進行等量加減方面類比遷移的同時 項進行等量加減方面類比遷移的同時， ， ， ，亦 亦 亦 亦「 「 「 「初次 初次 初次」 初次 」 」正確地進行等量 」 正確地進行等量 正確地進行等量 正確地進行等量 乘除法方面的類比遷移
乘除法方面的類比遷移 乘除法方面的類比遷移
乘除法方面的類比遷移。 。 。 。會造成此結果的可能原因為：各項係數的最大公 因數為 1。也就是， 「標的問題一：15× ×× ×x=11× ×× ×x+76」中，各項係數的最大公 因數為 1，因此，解題者較不傾向於先進行等量乘除的方式來解題。若研 究者將各項係數的最大公因數不是 1 的題目(例如：12×x=8×x+20)作為標的 問題一，供研究對象解題，則其解題表現是否會出現先將該問題進行等量
提示階段
人 數 編
碼
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 1 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 6 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 1 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 9 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 3 人
﹀
初 次 正 確 地 類 比
︿ 等 量 乘 除
﹀
：
︿ 共 9 人
﹀
到 此 階 段 為 止 ， 尚 未 正 確 類 比
︿
等 量 乘 除 ﹀ ：
( 共 5 人
)
