類比遷移表現之比較 類比遷移表現之比較 類比遷移表現之比較
研究者提供另一類「表異結似」的標的問題(不只合併 x 項，還須合併 常數項的一元一次方程式)所需的漸進提示，以期能協助學生洞察問題的結 構特徵、摒除表面特徵，歸納一個更一般化的基模，來解決其他結構相似 的問題問題問題。據此，本研究在後測(二)中，設計六個彼此「表異結似」的問題，問題 來評量學生類比品質的層次，並將其結果與後測(一)作比較，來判斷學生 類比品質的層次是否提升。由於後測(一)與後測(二)各題目的相似性、難 易度一一對應，所以，其測驗結果是可以比較的。如果學生在後測(二)中 的表現優於後測(一)，則其基模歸納的表現較佳；反之，則其基模歸納的 表現較差。本小節將就此部分的研究結果，分兩個部分來分析：一、逐題 比較後測(一)、後測(二)各題，以便瞭解學生在後測(二)中的類比遷移表現 是否優於後測(一)。二、比較後測(一)、後測(二)中，類比、擬類比、未類 比三層次的學生人數，以便瞭解在研究者提供另一類「表異結似」的標的 問題所需的漸進提示後，「類比」層次的學生人數是否有增加。我們分析 如下：
一、逐題比較：
(一)「一後 1」與「二後 1」的比較：成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數維持成功地類比解題 為 28 人。
題目 一後1 二後 1
x項的等量加減 x項的等量加減
11 28 29
10 0 0
01 1 0
00 6 6
題目 一後1 二後 1
等量乘除 等量乘除
11 28 ←維持不變→ 28
10 0 0
01 0 0
00 7 7
有一位學生在 x 項的等量加減方面的編碼由”00”變為”11”，但 該生等量乘除方面仍然為”00”，所以能夠成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學 生人數維持為 28 人。
項 人 目
數 編 碼
項 人 目
編 碼 數
1 人
(二)「一後 2」與「二後 2」的比較：成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數由 16 人變為 26 人。
題目 一後2 二後 2
x項的等量加減 x項的等量加減
11 27 28
10 1 0
01 1 0
00 6 7
題目 一後2 二後 2
常數項的等量加 減
常數項的等量加 減
11 17 26
10 4 1
01 1 0
00 13 8
題目 一後2 二後 2
等量乘除 等量乘除
11 22 27
10 4 0
01 0 0
00 9 8
研究者所提供的「來源問題二二二的前測~提示 4」，提示學生如何二 針對「標的二」作類比遷移。其中「標的二」與「一後 2」、「二
項 人 目
編 碼 數
1 人
項 人 目
編 碼 數
3 人
項 人 目
數 編 碼
4 人 6 人
1 人
後 2」「表似結似」，因此，研究者在「來源問題二二二的前測~提示二 4」首次提供常數項的等量加減方面的類比遷移，有效地將成成成成 功地類比解題
功地類比解題 功地類比解題
功地類比解題的學生人數由「一後 2」的 16 人提高為「二後 2」
的 26 人。由此可見，在後測(一)的第一~六題中，由於研究者 尚未尚未
尚未尚未提供常數項的等量加減方面類比遷移的相關經驗，能夠自自自自 行
行
行行將 x 項的等量加減的經驗類比類比類比至常數項的等量加減，並能正類比 確地進行等量乘除的學生只有 16 人；有 10 位學生仍然需要明 確的教學支持(即：明確地提供常數項的等量加減方面的類比經 驗)，方可成功地完成與「一後 2」、「二後 2」「表似結似」的問 題。
(三)「一後 3」與「二後 3」的比較：成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數由 16 人變為 25 人。
題目 一後3 二後 3
x項的等量加減 x項的等量加減
11 23 27
10 2 0
01 1 1
00 9 7
題目 一後3 二後 3
常數項的等量加 減
常數項的等量加 減
11 16 25
10 3 0
01 1 1
00 15 9
項 人 目
數 編 碼
2 人
項 人 目
編 碼 數
2 人
7 人 2 人
題目 一後3 二後 3
等量乘除 等量乘除
11 20 25
10 1 0
01 0 0
00 14 10
「一後 2、二後 2」和「一後 3、二後 3」「表異結似」。它們表它們表它們表它們表 面不相似之處在於
面不相似之處在於 面不相似之處在於
面不相似之處在於「「「「一後一後一後 2、一後 、、、二後二後二後二後 2222」」」的」的的的 xxxx 項係數為等號左邊項係數為等號左邊項係數為等號左邊項係數為等號左邊 較大較大
較大較大；；；；「「一後「「一後一後一後 3、、、、二後二後二後二後 3」」」的」的的的 xxxx 項係數為等號右邊較大項係數為等號右邊較大項係數為等號右邊較大項係數為等號右邊較大；；；；「「「「一後一後一後 2、一後 、、、 二後
二後 二後
二後 2222」」」的」的的常數項數值之大小為等號右邊較大的常數項數值之大小為等號右邊較大常數項數值之大小為等號右邊較大常數項數值之大小為等號右邊較大；；；；「「「「一後一後一後 3、一後 、、、二後二後二後二後 3」」」的」的的的常數項數值之大小為等號左邊較大常數項數值之大小為等號左邊較大常數項數值之大小為等號左邊較大常數項數值之大小為等號左邊較大。。。由下表可知，。 「一後 2」與「一後 3」成功地類比解題的學生人數相等；「二後 2」
與「二後 3」成功地類比解題的學生人數沒有明顯差異，因此，
上述的表面不相似之處對學生的類比表現沒有太大的影響 上述的表面不相似之處對學生的類比表現沒有太大的影響 上述的表面不相似之處對學生的類比表現沒有太大的影響 上述的表面不相似之處對學生的類比表現沒有太大的影響。。。。另 外，在提供了提供了提供了提供了「「「「來源問題來源問題來源問題二來源問題二二的前測二的前測的前測的前測~提示提示提示 4」，提示 」，」，提示學生」，提示學生提示學生提示學生如何針如何針如何針如何針 對
對 對
對「「「標的二「標的二標的二標的二」」」作類比遷移後」作類比遷移後作類比遷移後作類比遷移後，，，，學生獲得了學生獲得了學生獲得了明確的教學支持學生獲得了明確的教學支持明確的教學支持明確的教學支持(即：
明確地提供常數項的等量加減方面的類比經驗)，他們在他們在他們在他們在「「「「二後二後二後二後 2」」」與」與與與「「「「二後二後二後二後 3」」」」成功地類比解題的人數分別增加了成功地類比解題的人數分別增加了成功地類比解題的人數分別增加了成功地類比解題的人數分別增加了 10 人人人、人、、、9 人人
人人。。。。由此可見，仍然有大約 9~10 位學生需要明確的教學支持，
方可完成與「一後 3」、「二後 3」表似結似的問題。
項 人 目
編 碼 數
1 人
5 人
(四)「一後 4」與「二後 4」的比較：成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數由 12 人變為 18 人。
題目 一後4 二後 4
x項的等量加減 x項的等量加減
11 28 28
10 0 0
01 0 0
00 7 7
題目 一後4 二後 4
常數項的等量加 減
常數項的等量加 減
11 12 19
10 0 0
01 0 0
00 23 16
題目 一後4 二後 4
等量乘除 等量乘除
11 27 25
10 0 0
01 0 0
00 8 10
項 人 目
數 編 碼
項 人 目
編 碼 數
項 人 目
編 碼 數
1 人
7 人
1 人
研究者在「來源問題二二二二的前測~提示 4」首次提供常數項的等量 加減方面的類比遷移，有效地將成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數由成功地類比解題
「一後 4」的 12 人提高為「二後 4」的 18 人。由此可見，在 後測(一)的第一~六題中，由於研究者尚未尚未尚未提供常數項的等量加尚未 減方面類比遷移的相關經驗，能夠自行自行自行自行將 x 項的等量加減的經 驗類比類比類比類比至常數項的等量加減，並能正確地進行等量乘除的學生 只有 12 人；有 6 位學生仍然需要明確的教學支持(即：明確地 提供常數項的等量加減方面的類比經驗)，方可成功地完成與
「一後 4」、「二後 4」「表似結似」的問題。值得一提的是，由 於「一後 4」、「二後 4」的常數項為負數負數負數，而研究者在「來源負數 問題二二二的前測~提示 4」所提供的常數項的等量加減方面類比遷二 移之常數項為正數正數正數，因此，正數 「二後 4」成功地類比解題的學生人 數只比「一後 4」提高了 6 人，較「二後 2」所提高的 10 人及
「二後 3」所提高的 9 人低，可見，有一些學生仍然未能將正正正正 常數項的等量加減方面的相關經驗類比類比類比類比至負負負負常數項的等量加 減方面。
(五)「一後 5」與「二後 5」的比較：成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題成功地類比解題的學生人數由 11 人變為 17 人。
題目 一後5 二後 5
x項的等量加減 x項的等量加減
11 26 ←維持不變→ 26
10 1 1
01 0 0
00 8 8
項 人 目
編 碼 數
題目 一後5 二後 5 常數項的等量加
減
常數項的等量加 減
11 11 17
10 13 8
01 1 0
00 10 10
題目 一後5 二後 5
等量乘除 等量乘除
11 21 25
10 3 0
01 1 0
00 10 10
「一後 2、二後 2」和「一後 5、二後 5」「表異結似」。它們表它們表它們表它們表 面不相似之處在於
面不相似之處在於 面不相似之處在於
面不相似之處在於「「「「一後一後一後 2、一後 、、、二後二後二後二後 2」」」」的的的常數項數值皆為正數的常數項數值皆為正數常數項數值皆為正數常數項數值皆為正數，，，， 而而
而而「「「一後「一後一後一後 5、、、二後、二後二後 5二後555」」」」的的的的常數項數值含有負數常數項數值含有負數常數項數值含有負數。常數項數值含有負數。。亦即。亦即亦即亦即，，，，「「一後「「一後一後一後 2、、、、 二後
二後 二後
二後 2」」」等號左邊的常數項為正數」等號左邊的常數項為正數等號左邊的常數項為正數等號左邊的常數項為正數；；；；「「「一後「一後一後一後 5、、、、二後二後二後 5二後555」」」等號左」等號左等號左等號左 邊的常數項為負數
邊的常數項為負數 邊的常數項為負數
邊的常數項為負數。。。。由下表可知，「一後 2」與「一後 5」成功 地類比解題的學生人數相差 5 人；「二後 2」與「二後 5」成功 地類比解題的學生人數相差 9 人，因此，學生的類比表現受到學生的類比表現受到學生的類比表現受到學生的類比表現受到 上述的表面不相似之處的影響
上述的表面不相似之處的影響 上述的表面不相似之處的影響
上述的表面不相似之處的影響，，，，而有不同而有不同而有不同而有不同。。。。另外，在提供了提供了提供了提供了「「「「來來來來 源問題源問題
源問題源問題二二二的前測二的前測的前測的前測~提示提示提示 4」，提示 」」」，，，提示學生如何針對提示學生如何針對提示學生如何針對「提示學生如何針對「「「標的二標的二標的二」標的二」」」作類作類作類作類
源問題源問題二二二的前測二的前測的前測的前測~提示提示提示 4」，提示 」」」，，，提示學生如何針對提示學生如何針對提示學生如何針對「提示學生如何針對「「「標的二標的二標的二」標的二」」」作類作類作類作類