在拋物線的紙筆測驗中，第六大題是屬於「拋物線的應用」的題型，從日常 生活假設性的拋物線問題中，了解學生對拋物線方程式的活用程度。其題目如下：
五、
如下圖圖（三）所示，在街道上有相對的兩大樓，相距 200 公尺，樓高分別為 160 公尺與 90 公尺，今做一電線，電線的兩端為兩大樓之樓頂，電線懸掛於兩 大樓之間並假設呈拋物線，且電線的最低點恰巧碰觸到地面，則電線的最低點離 160 公尺的大樓樓底之距離為何？
【請將您的計算過程詳細列出來】：
一、答題結果分析
在 82 位接受施測的學生當中，只有 7 位學生是完全作答正確的，也就是這 一題的答對率只有8.500。另外，有2900的學生此題是空白的，5200的學生是以 相似三角形的做法來解。
二、試題分析
此題的設計與本研究的研究動機相呼應，題目給的資訊包括兩大樓的樓高、
兩大樓間的距離、以及連接兩大樓樓頂的電線呈拋物線的形狀。
90 160
200 圖（三）
圖 4-5-1 「拋物線的應用」之解說圖一
若我們將圖形上的點標記出來，可以發現題目給的條件就是：AB=90，
=160
DE ，AD=200，以及曲線 BCE 為拋物線。再分析題目最後想找的部分，
其實就是上面圖形中的 CD 。由於拋物線是一個平面幾何的圖形，因此此題若建 立座標系，將點座標化，再根據條件找出 C 點與D點的座標，那就可以進而求出
CD 了。
有了建立座標系的構想後，接下來的第一個步驟便是放置 x 軸、y軸、以及 原點的位置。此題的拋物線為一個不對稱的拋物線，但仍然可以很清楚地看出拋 物線接觸到地面的 C 點即為這個拋物線的頂點。因此，我們不妨以 C 點為此座標 系的原點，而習慣上 x 軸為水平線，y軸為鉛直線，所以我們可以將過 C 點的水 平線當作 x 軸，並將過 C 點的鉛直線當作y軸。
圖 4-5-2 「拋物線的應用」之解說圖二
A B
C(0,0) D
E
x 軸 y軸
A B
C D
E
建立座標系後，接下來就得想辦法找出D點的點座標了。從題目的條件我們 只知道AD=200， CD 是AD的一部分，若只從線段的分割來分析，那麼 CD 會 有很多種可能，也就是 CD 只要是介於 0 到 200 之間的值，都有可能會是所求，
所以光從 x 軸上的線段來分析，顯然條件是不夠的。CD 的值是我們最終想找的，
若從座標來看，因為我們已經將 C 點定為原點了，D點又與 C 點在同一水平線 上，因此只要找出D點的 x 座標就可以知道 CD 了。而DE是一條與y軸平行的 鉛直線，所以E點的 x 座標與D點的 x 座標會相同，而且E點又在拋物線上，可 以透過拋物線的方程式來找出E點的 x 座標。
如果想透過拋物線方程式來找出點座標，那就必須將拋物線上的點座標化。
我們想找的是 CD，若假設CD=a，那麼D點的座標就是( a− ,0)，E點的座標是 )
160 ,
( a− ，同時還可以表示出A點的座標是(200−a,0)，B點的座標(200−a,90)。
座標化圖形中的點後，接下來的步驟就是要透過拋物線方程式來找出相關的點座 標了。這個拋物線是一個開口朝上的拋物線，頂點我們也將他定為原點了，因此 我們可以以高二學過的標準式來假設這個拋物線的方程式：
) 0 ( 4 ) 0
(x− 2 = c y− ，其中的 x 與y分別代表此拋物線上的點的 x 座標與y座標，
而 c 則是代表這個拋物線焦點到頂點的距離。從圖形中，我們並不知道這個拋物 線的焦點在哪裡，因此沒有辦法寫出拋物線方程式中的 c 值。
4-5-3 「拋物線的應用」之解說圖三
三、學生作答錯誤類型
從上述的試題分析中，可以知道學生至少應具備有五個步驟才能順利答對該 題，這五個步驟分別為假設未知數、建立座標係、假設拋物線方程式、將點座標 代入拋物線方程式、以及解出正確答案。研究者經過閱卷後，將學生在該題的作 答表現所對應到的步驟及其人數整理如下表：
表 4-5-1 「拋物線的應用」解題步驟與人數統計表
步驟 人數 百分比
假設未知數 49 60.000 建立座標系 27 32.900 假設拋物線方程式 16 19.500 將點座標代入拋物線方程式 12 14.600
解出正確答案 7 8.500
從上表中可以知道在一開使有60.000會使用假設未知數的方式來表示題目 所要求的線段或與所求線段相關的另一條線段，但卻只有32.900能想到建立座標 系，而到假設拋物線方程式時，只剩下19.500的人能達到這個步驟了，接下來的 第四個及第五個步驟的人又更少了。觀察學生在這五個步驟中落差最大的點，就 是從假設未知數到建立座標系的這一個環節了，也就是大部分的學生在面對這樣 的幾何應用問題，“建立座標系”並不是他們第一個想到的方法，那麼什麼才是 他們最常使用的方法呢？從學生在試卷上的答題方法中，研究者整理出多數學生 針對該題所使用的解題方法。
1、以相似三角形的做法來求解。
在批閱試卷時，研究者發現有5200的學生會以相似三角形的方式來求解。
這些學生的解法主要分為以下兩種類型：
（1）
圖 4-5-4 以相似三角形解「拋物線的應用題」之解說圖一
連接CE與CB，這一類的學生認為 ABC∆ ~ DEC∆ ，假設所求的CD=x，因 此由相似三角形的對應邊成比例可以知道
AC AB DC
DE = ，代入對應的數值後可以得
到 x = −x 200
90
160 ，再經過運算：160(200−x)=90x⇒ x=128，
因此，電線的最低點離160 的大樓樓底之距為128 公尺。 m
（2）
圖 4-5-5 以相似三角形解「拋物線的應用題」之解說圖二
連接AE與 CB ，這一類的學生認為 CBA∆ ~∆AED，假設所求的CD=x，因 A
90
−x x 200
160
B
C D
E
A 90
−x x 200
160
B
C D
E
此由相似三角形的對應邊成比例可以知道
並沒有全等的關係。
至於在第（2）種情形中，其利用 CBA∆ ~∆AED而運算出來的 CD 是 4 350公
尺， 那麼 AC 則是用整個AD減去 CD 來求得，可以得到
4 450 4
200−350= ，也就
是 AC 是 4
450公尺，但這明顯是不合理的，因為就拋物線的對稱性來看，D 點離
頂點 C 的距離比 A 點離頂點 C 的距離還遠，所以CD> AC，但從（2）的情況中
卻得到CD<AC的結論，顯然是一開始在使用相似三角形的步驟是有問題的。
我們除了從答案的合理性中來分析外，其實在一開始列出 CBA∆ ~∆AED的關係 時，並沒有辦法從任何幾何角度上去說明這兩個三角形有對應角上面的相等情 形，因此直接說明這兩個三角形會相似顯然是過於牽強了。
2、誤用梯型的中線公式
這一類型的學生仍未用到“建立座標系”的做法，觀察他們的做法，發現他 們在解題的過程中連接了BE，並過 C 點做一垂線交BE於H點，如下圖：
圖 4-5-7 以梯形的中線公式解「拋物線的應用題」之解說圖
並寫出“ (90 160) 75 2
) 1 2(
1 + = + =
= AB DE
CH ”這樣的式子。很明顯地，這個式
子是錯誤的。從拋物線的對稱性可以知道CD>AC，在梯形ABED中，因為 A
B
C D
E
H
90 160
AC
CD> ，也就是點 C 並不是中點，BE邊上的H點也不會是中點，所以 CH 並 不會等於 ( )
2
1 AB+DE 。
3、不會將點代入拋物線方程式
從前面的方析當中知道，在建立座標系後並座標化圖中相關的點之後，接下 來就是將拋物線上的點代入一開始假設的拋物線方程式當中。然而從批閱試卷的 過程中，發現到有一些學生已經將相關的點都座標化了，也將題目中的拋物線以 方程式假設出來了，但卻不會將拋物線上的點代入拋物線方程式。在這些學生的 計算過程中，發現學生以(x−h)2 =4c(y−k)這樣的拋物線標準式來表示題目中 的拋物線方程式，
圖 4-5-8 建立座標係後的拋物線應用題
而要將拋物中的點（B、C、E）代入方程式時，卻搞不清楚應該要將這些點代入 方程式中的 h 、 k ，還是該將這些點代入方程式中的 x 、y。
四、訪談資料
在此題拋物線應用問題中，除了用文字敘述外，還另外附上了一個圖形，但在這 圖形當中並沒有標示出相關點的代數符號，而以下為了方便研究者整理訪談的資 料，研究者將 90 公尺的大樓樓底以 A 點表示，其樓頂以 B 點表示；並將160 公 尺的大樓樓底以 D 點表示，其樓頂以 E 底表示；令外也將連接兩大樓樓頂的電
A(200−a,0) B(200−a,90)
C(0,0) D( a− ,0)
E( a− ,160)
x 軸 y軸
線（呈拋物線）與地平面所接觸的那一個點以 C 點表示，如下圖：
圖 4-5-9 以英文代號標示拋物線應用題的各相關點
在閱卷時，研究者從學生的答題表現與其對應到的解題步驟分別予以計分，
只要其解題的方法有達到五個步驟中的一個步驟，那麼就會得到 1 分。從評分的 方式可以知道最高分者為 5 分，共有 7 人，研究者便從這 7 人中選 1 人（U1）來 進行訪談。另外，研究者也訪談了一位低分組的學生（U2）。
（一）正確答題的想法 U1（高分組，男）
T：你對這一題的解法有甚麼想法呢？
U1：這個要建立座標系。
T：你要怎麼建立座標系？
U1：把拋物線的頂點假設為原點，這樣子地平面就是 x 軸，通過原點的鉛直線 就是y軸。
T：你怎麼會想要把拋物線的頂點假設為座標系中的原點？
U1：這樣拋物線方程式的樣子才比較漂亮呀！我把頂點定為原點，那麼拋物線方 程式就可以假設為(x−0)2 =4c(y−0)，也就是x2 =4cy。
T：你所假設的拋物線方程式x2 =4cy中， x 、c 、還有y這三個代數代表的是什 麼呢？
U1：(x,y)是拋物線上的點， c 應該就是一個未知數吧！
A B
C D
E
T：假設完拋物線方程式之後，你接下來要怎麼做？
夠透過代數符號將所求的部份表示出來，也能充分運用到“電線呈拋物線”的已 知條件來列出拋物線方程式，並透過拋物線方程式和點坐標之間的關係來列出方 程組，以求出題目所要的部分。而在這些過程中，最關鍵的應該就是 U1 懂得利 用建立坐標系的方式，將幾何圖形代數化，透過代數式找出幾何中的未知部分。
（二）作答錯誤學生的想法 U2（低分組，女）
T：這個題目妳讀完以後，知道題目中最後所要求的是圖形中的那一個部分嗎？
U2：知道，是 CD 。
T：那妳要如何找出這一個線段長呢？
U2：（畫圖）
先過 B 點對DE 作垂線，假設交於 K 點，這樣DK =AB=90，我假設AC= x， 這樣CD=200−x。然後我假設剛剛的BK 和拋物線的交點是M點，再過M
先過 B 點對DE 作垂線，假設交於 K 點，這樣DK =AB=90，我假設AC= x， 這樣CD=200−x。然後我假設剛剛的BK 和拋物線的交點是M點，再過M