在拋物線的紙筆測驗中，第五大題是屬於「拋物線的性質」中與正焦弦長有 關的性質，從圖形的關係中探討學生對正焦弦長的瞭解，其試題如下：
四、如下圖圖（二）所示，
若拋物線之準線為L，則在圖（二）的 A,B,C三點中，以那一點為焦點的拋物線 開口會較大？_____，
並請說明您如此判斷的理由：______________________________________________
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一、答題結果分析
表 4-4-1 「拋物線的性質—正焦弦長」答案統計表
作答答案 A B ★C 一樣大 空白
人數百分比 14.700 4.900 70.700 7.300 2.400
從作答的答案來看，大部份的同學是答對的，選擇的 C 點是離準線 L 最遠 的點，但次多的14.700的同學卻選擇了離 L 最近的 A 點。也有同學認為不管選 擇那一個點為焦點，其所形成的拋物線開口都會一樣大。
另外，有53.700的同學在理由論述部分是完全正確的，也就是有1300的學生 雖知道選擇以 C 點為焦點的拋物線開口會較大，但其在理由論述部分卻無法解
•A
•B
•C
圖（二）
準線L
釋清楚。
想從圖形關係來比較拋物線開口大小，就必須先找出通過同一個故定點的的水平
那麼若給予定義式，則應如何比較拋物線的開口大小呢？從前面的分析中，
開口大小與正焦弦長有密不可分的關係，正焦弦長的值愈大，拋物線的開口當然 就愈大。因此，從定義式中讀出拋物線的焦點與準線後，可利用正焦弦長的性質，
即正焦弦的長度為四倍的焦距，或者是正焦弦的長度為焦點到準線距離的兩倍之 關係，就能以正焦弦的長度來比較拋物線的開口大小了。
在這一題中，很明顯的以 C 點為焦點，到準線 L 的距離會是最大的，因此 以 C 點為焦點的正焦弦長會最長，也就是其對應到的拋物線開口會最大。
三、學生作答錯誤類型
給予固定一條準線，分別以三個不同位置當作焦點的拋物線中，比較其開口 大小的題型裡，學生作答的錯誤類型主要有下列幾種情形：
（一）拋物線的開口都一樣大
這一類型的學生認為不管給予什麼條件，或者不管拋物線的開口朝向什麼方 向，都可透過旋轉讓開口朝向同一個方向後，再延長拋物線的兩側使之達到同 寬，如此所有的拋物線開口都會一樣大。如下圖所示：
圖 4-4-2 學生由AB=CD，認為「拋物線的開口都一樣大」
（二）拋物線的開口無限大
在沒有範圍限制的條件下，拋物線的兩側是可以無限延伸的，因此會有學生 認為既然拋物線的兩側可以無限延伸，那麼其開口就應該是無限大。也就是說，
這一類的學生認為所謂的“開口”，指的是拋物線的最外圍兩側的張開範圍。
（三）比較焦點到準線的距離，但結論相反
˙
˙
˙
A ˙ B
C D
CD AB=
比較焦點到準線的距離，就判斷開口的方法而言其實其方向是對的。但是卻 有一些學生在比較完距離後，對開口大小的排列順序剛好是相反的，也就是在這 一題的開口大小順序，應該是以 C 點為焦點的拋物線開口較大，B 點次之，A 點 最小。然而這一部份的學生卻是認為以 A 為焦點的拋物線開口較大，B 點次之，
C 點最小。從這類學生的作圖可以觀察出，以離準線愈遠的點為焦點，其所畫出 的拋物線就愈狹長；以離準線愈近的點為焦點，其所畫出的拋物線就愈寬且短。
如下圖：
圖 4-4-3 學生「以焦點離準線之距」判斷出相反的開口大小關係
四、訪談資料分析
（一）正確答題的想法 S2（高分組，女）
T：在 A、B、C 三點中，妳覺得以那一點為焦點的拋物線開口較大？
S2：是 C 點。
T：為什麼呢？
S2：因為 C 點離準線較遠，所以正焦弦長就會比較長，這樣的拋物線開口當然也 會比較大。
T：為什麼離準線較遠，正焦弦長就會比較長？
S2：因為 C 點離準線的距離是焦距的兩倍，而正焦弦長是焦距的四倍。
•A
•C
L（準線）
（二）作答錯誤學生的想法 S7（低分組，女）
T：在 A、B、C 三點中，妳覺得以那一點為焦點的拋物線開口較大？
S7：應該是 A 點。
T：為什麼妳認為是 A 點？
S7：因為 A 點較接近準線，所以開口會較大；如果離準線較遠，開口會較小。
T：為什麼選擇的焦點愈接近準線，開口就會愈大？
S7：感覺上就是這樣吧！焦點離準線愈近，圖形應該就要愈寬；焦點離準線愈遠，
圖形就會愈細長。
T：是根據妳的感覺嗎？有沒有其它方法可以說明？
S7：不知道耶，就是感覺應該要這樣。
從研究者與 S7 的訪談中，可以知道 S7 是憑著自己對圖形的感覺來回答這樣 的問題，S7 認為焦點離準線愈近，圖形應該就要愈寬，那麼拋物線的開口就會 較大；焦點離準線愈遠，圖形就會愈細長，那麼拋物線的開口就會比較小。
S9（低分組，女）
T：在 A、B、C 三點中，妳覺得以那一點為焦點的拋物線開口較大？
S9：（畫圖）
我覺得應該是 B 點。
T：為什麼妳認為是 B 點？
S9：因為對稱軸垂直準線L，而 B 點距離對稱軸最遠。
T：對稱軸在那裡？
S9：（手指著圖中剛剛畫上去的鉛直線）這條線就是對稱軸。
T：為什麼認為這一條鉛直線是拋物線的對稱軸呢？
S9：應該是這一條沒錯呀！拋物線的對稱軸不是應該就要跟它的準線互相垂直的 嗎？
T：妳認為跟這條準線垂直的直線有幾條呢？
S9：有很多條。
T：那為什麼妳會認為對稱軸是這一條鉛直線呢？
S9：對稱軸不是要在中間嗎？
T：在那裡的中間呢？
S9：我取準線的中間點再作垂線，這個垂線就是對稱軸了。
T：那為什麼以距離對稱軸愈遠的點當焦點，拋物線的開口就會比較大呢？
S9：這個...，好像很自然就是這樣吧，我也不知道怎麼解釋。
從研究者與 S9 的訪談中可以知道，S9 對於對稱軸的找法其實是有問題的。
S9 認為“對稱軸”就是要落在整個圖形的中間部分，因此她選取了圖中準線的 中點後並過此點作垂線，而這條垂線就是她所謂的“對稱軸”。找到了對稱軸之 後，S9 認為焦點離對稱軸愈遠，那麼拋物線的開口就會愈大，但 S9 卻無法說明 她如此判斷的原因。從整個題目的敘述來看，題目是問“圖中 A,B,C三點中，以 那一點為焦點的拋物線開口會較大？”而若我們分別以A,B,C三點為焦點，那麼 畫出來的拋物線應該會有三種情形，且其對應的對稱軸應該會有三條，但 S9 卻 只作了一條對稱軸。此外，焦點應該要落在對稱軸上，而 S9 畫出來的對稱軸並 沒有包含A,B,C三點中的任何一點，可見 S9 對拋物線圖形的中名詞的基本相對 位置關係是模糊不清的。