從答題結果來看，答題率最高的是第 6 小題，即給予“準線為鉛直線”的條
點，L為準線）的定義式中觀察出，等號左邊PF代表的是兩點距離，等號右邊
圖 4-3-2 從
三、學生作答情形
此大題共有 8 個小題，每一小題的答題情形分布如下：
表 4-3-3 「開口方向的判斷」答案統計表
第一小題 ★C D E B A CD AB 人數百分比 75.600 6.100 6.100 4.900 3.700 2.400 1.200
第二小題 ★A E B C D AB CD
人數百分比 65.900 12.200 11.000 4.900 3.700 2.500 1.200
第三小題 ★ C E D B A CD 空白 AB 人數百分比 24.400 35.400 9.800 6.100 11.000 6.100 3.700 1.200
第四小題 ★D A E C CD B
人數百分比 70.800 8.500 8.500 7.300 4.900 1.200 第五小題 ★E A 空白 B C D AD AB CD 人數百分比 69.500 4.900 4.900 6.100 4.900 4.900 1.200 1.200 1.200
第六小題 ★ CD ABCD E 空白 AB 人數百分比 90.200 3.700 2.400 2.400 1.200 第七小題 ★AB A CD ABCD D 空白 AD 人數百分比 75.600 8.500 4.900 3.700 2.400 2.400 1.200 第八小題 ★AB CD ABCD E 空白 B 人數百分比 76.800 11.000 4.900 2.400 2.400 1.200
四、訪談資料分析
（一）正確答題的想法
在接受訪談的學生當中，第四大題開口方向的判斷完全答對的有 S2（高分
組，女）、S3（高分組，男）。另外錯一題的有 S1（高分組，男）、S4（中分組，
T：第 5 小題
5 5 4
2 3
2 + +
=
+ x y
y
x 妳是如何判斷它的開口方向的？
S2：我也是畫圖，跟第 3 小題一樣。
T：還有那些小題妳是用畫圖的方式來判斷開口方向的？
S2：剩下的第 6、7、8 小題都一樣用畫圖的就可以知道了。
（二）作答錯誤學生的想法 1、只看標準式等號右邊的係數 S7（低分組、女）
T：妳覺得第 1 小題−4(y−2)2 =7(x+1)拋物線的開口方向為何？
S7：我覺得是朝右吧！
T：妳怎麼判斷的呢？
S7：因為這個方程式對應的開口方向不是朝左就是朝右，而等號右邊的 7 是正 的，所以開口應該要朝右。
在拋物線標準式(y−k)2 =4c(x−h)中，c>0則拋物線開口朝右，c<0則拋 物線開口朝左。而這一錯誤類型的學生只看標準式等號右邊的係數，對這一小題 的題目−4(y−2)2 =7(x+1)而言，等號右邊的係數是 7 ，而7>0，所以判斷出拋 物線開口朝右。
2、將 x 與y的對應關係搞錯 S9（低分組，女）
所以拋物線開口應該要朝左。
T：妳覺得第 1 小題−4(y−2)2 =7(x+1)拋物線的開口方向為何？
S9：應該是朝下。
T：妳是怎麼判斷的？
S9：因為它可以解出 ( 1) 4 2 7 +
± −
= x
y ，等號左邊只有一個y，等號右邊卻有兩
個 x ，這樣畫出來開口不是朝上就是朝下。
T：那妳為什麼又認為開口是朝下呢？
S9：因為好像有教過用係數的正負號來判斷，這個寫成 ( 1) 4
) 7 2
(y− 2 = − x+ 就可 以知道因為 0
4 7 <
− ，所以開口朝下。
若我們從y2 = x這個方程式來分析，每代入一個 x 值，除了x =0外，必然會有 兩個y值與之對應，例如當x =4時，y就有±2這兩個值與之對應；x =a時，y 就有± a這兩個值與之對應。所以，一個 x 值對應到兩個y值或者是兩個 y 值對 應到一個 x 值，其拋物線圖形畫出來應該是開口朝左或開口朝右的。同理，對於
) ( 4 )
(y−h 2 = c x−h 或是未移項前的α(y−h)2 =β(x−k)這類的方程式而言，拋物 線的開口方向也都有相同的結果，如下圖：
圖 4-3-3 拋物線「一個x值對應到兩個y值」之圖形
0 x 0 x
y y
a
x= x =a
開口朝右 開口朝左
但有某一類型的學生對y2 = x這個方程式的解讀卻剛好相反，他們先將
認為若題目沒有用標準式來表示拋物線方程式，那麼這個拋物線的開口方向就應 該是朝向斜的；然而事實並不然，因為所有的拋物線標準式畢竟是由其定義式推 導出來的，標準式的推導只是利用定義式裡的準線為鉛直線和水平線的特殊情 形，才會對應到拋物線圖形的開口只有朝上、朝下、朝左、朝右這四種。如果用 準線為斜直線的情形來代入拋物線的定義式，則經過平方後會產生xy項而導致 最後無法配方成為像(y−k)2 =4c(x−h)或者是(x−h)2 =4c(y−k)這麼漂亮的標 準式，所以準線為斜直線或者是開口朝向斜的拋物線方程式通常都只會用定義式 表示，但並不代表用定義式表示的拋物線開口方向就一定是朝斜的。
4、對從拋物線方程式與其開口方向的關係毫無概念 S8（低分組，男）
T：你認為第 1 小題−4(y−2)2 =7(x+1)的拋物線開口方向應該朝向那個方向？
S8：我也不知道，應該是朝下吧。
T：你是怎麼判斷的呢？
S8：這個好像背過，但是我忘記了。
T：那你覺得第 2 小題3x2 −9y+1=0的拋物線開口方向應該朝向那裡？
S8：這個應該是朝上吧。
T：你為什麼會覺得它朝上呢？
S8：高一有教過，y =ax2 +bx+c，如果a >0的話，開口就會朝上。
T：這個方程式的a是多少？
S8：它移項後再整理成
9 1 3 1 2 −
= x
y ，所以a是
3 1
T：你覺得第 4 小題x =5y2 +2的拋物線開口應該朝向那裡呢？
S8：這個應該是朝左或朝右的吧，我猜是朝左。
從研究者與 S8 的訪談中，可以發現 S08 對高一所學過的拋物線開口方向的 判斷法則記憶得非常清楚，對於不屬於高一所學的y =ax2 +bx+c的型式的拋物
線方程式，他仍舊憑藉著高二才學過的記憶來作答，也就是這個學生對於方程式 與開口方向的關係不僅不能推導，也沒有舉一反三的能力。
5、焦距的值會影響拋物線的開口方向 S5（中分組，男）
T：你覺得第 7 小題? “對稱軸為鉛直線，焦距為 5”的條件拋物線的開口方向 為何？
S5：我覺得它的開口是朝上。
T：你是怎麼判斷的呢？
S5：這個用畫圖的，對稱軸為鉛直線，畫圖知道它的拋物線開口應該是朝上或者 是朝下。可是題目又說焦距是 5，所以開口是朝上的。
T：你認為焦距的值與開口方向有什麼關係？
S5：焦距如果是正的，c 就會大於 0，那麼拋物線的開口應該是朝上或者是朝右。
T：你的 c 指的是什麼呢？
S5：就是(x−h)2 =4c(y−k)或(y−k)2 =4c(x−h)裡面的 c 呀。
從研究者與 S5 的訪談中可以知道，S5 認為焦距的正負與拋物線的開口方向 有關係，因此從題意中“焦距為 5”的這個條件判讀出拋物線的開口是朝上的結 論。事實上，焦距並無所謂正負之分，因為焦距代表的是焦點到頂點的距離，距 離當然不可能是負的。而 S5 誤將(x−h)2 =4c(y−k)或(y−k)2 =4c(x−h)裡面的
c 當成是焦距，因此產生“焦距的值影響拋物線開口方向”的錯誤觀念。