指數函數：
於自然科學、社會科學及經濟學上常建立些數學模式，以探討量之大小與 成長率等相關問題，然而這些數學模式又常與指數函數(exponential function)密不 可分。以下就常見之複利(compound interest)計算，進而說明指數函數之應用。
例：小明存入A 銀行X 元，年利率0 Y，每年複利一次，求 n 年後本利和為多少？
Sol：一年後本利和X(1)為X0 +X0Y = X0(1+Y) 兩年後X(2)為X0(1+Y)+X0(1+Y)Y = X0(1+Y)2
以此類推n 年後本利和為X(n)= X0(1+Y)n 定理：指數律，假設a 為非零實數，
1. 若 n 為正整數，an =a⋅a⋅aLa 2. -n n
a a = 1
3. n=0，a0 = 1 4. anam =an+m 5. m n-m
n
aa =a 6. (an)m =anm
7. n
1
n a =a ，若n 為偶數，則a>0
8. n m
1 n m
) (a a =
指數函數應用：複利
在上一個例題中，本金X 元，年利率 Y，每年複利一次，求 n 年後本利和0
n 0(1 Y) X
X(n)= + ，若改為每年複利k 次，表示一年切成 k 段，每段利率為 k Y ，
k ) (1 Y X k )
X(1 = 0 + ，
而k
2年本利和為
2 0
0
0 )
k (1 Y k X
)Y k (1 Y X k ) (1 Y X k )
X(2 = + + + = +
一年後本利和為
k
0 )
k (1 Y X X(1)= + n 年後本利和為
nk
0 )
k (1 Y X X(n)= +
例：小明存入A 銀行 100,000 元，年利率 8%，每季複利一次(3 個月一次)，求 3 年後本利和為多少？並與每年複利一次相差多少？
Sol：
1. 按季複利，n=3 本利和為
126284.2 02)
100,000(1.
4 ) 100,000(1 0.08
X(3)= + 3×4 = 12 =
2. 按年複利，n=3 本利和為
125971.2 0.08)
100,000(1
X(3)= + 3 =
比季複利少126524.2-125971.2=853 無限多次複利
如上一小節所述，每年複利k 次，1 年後本利和為 0 )nk k (1 Y X X(n)= +
，根據下表得知，X(1)會隨著 k 增加而增加。當 k 增加到很大時 X(1)會逼近於一 固定值。
k：每年複利次數 0 )k k (1 Y (1)
X = + ，Y：年利率
1 1.08 2 1.0816 3 1.082152 10 1.082942 20 1.083114 30 1.083172 40 1.083201 50 1.083218 60 1.083229 70 1.083238 80 1.083244 90 1.083249 100 1.083252 365 1.083278 若將每年之複利次數k 變成無限大，則一年後本利和為
Y Y k 0 k
k 0 k
k
k 0 ) ]
k [(1 Y lim X k )
(1 Y lim X k )
(1 Y X lim
X(1)= + = + = +
∞
→
∞
→
∞
→
令 Y
x= ，上式可改寫成 k
Y 0 Y x
0 x ) ] X e
x [(1 1 lim X
X(1)= + =
∞
→ ，
其中： ) e 2.71828182845 x
[(1 1
lim x
x + = ≈
∞
→
e：尤拉數(Euler’s number)，以 e 為底之指數函數 f(x)= ，稱為自然指數。 ex 兩年後本利和
2Y 0 Y Y 0
Y X e e X e
X(1)e
X(2)= = =
依此類推，t 年後連續複利下之本利和為
Yt 0e X X(t)=
例：小明存入A 銀行 100,000 元，年利率 8%，分別按(1)每季複利一次(2)連續 複利，求5 年後本利和為多少？
Sol：
(1) 每季複利一次，5 年後本利和
148595 02)
100,000(1.
4 ) 100,000(1 0.08
X(5)= + 5×4 = 20 =
(2) 連續複利，5 年後本利和
149183 100,000e
X(5)= 5×0.08 =
例：小明欲建立信託基金，提供500,000 結婚基金，若這金額在 10 年達成，年 利率8%連續複利下，小明現在必須存入多少錢？
Sol：X(10)= X0e10×0.08 =500,000
X0 =500,000×e-0.8 =224,645
例：小明因理財不當，欠銀行信用卡卡費120,000 元。現今遠東商銀推出「減 担償」專案，其方案如下表
方案別 輕鬆償 靈活償 分期償
代償利率 12 個月 10.99%
前六個月1.99%
後6 個月 12.99%
不計利息，每個 月須繳手續費 手續費 每筆399 元 每筆3500 元 每壹萬元每月99
元
(本資料來源為遠東商銀) 試問若選擇該銀行之各方案，各可省下多少錢？
Sol：
(1) 輕鬆償
輕鬆償 一般信用卡 省下金額
12 個月；10.99% 年利率20%
利息： 利息：
120000×(10.99%)=13188 手續費：每筆399 元
120000*20%=24000
(1) 若 12 個月後一次繳清 120000+13188+399=133587
24000-(13188+399)
=10413
(2) 若半年繳一次 利息加手續費
13188+399×2=13986 每次繳交費用
13986/2+60000=66993
24000-13986=10014
(3) 若每個月繳 利息加手續費
13188+399×12=17976 每個月須繳
10000+399+1099=11498
24000-17976=6024
(2) 靈活償方案
靈活償 一般信用卡 省下金額
前6 個月：1.99%
後6 個月：12.99%
年利率20%
利息：
60000×(1.99%)+60000×(12.99%)
=8988
手續費：每筆3500 元
利息：
120000*20%=24000
(1) 若 12 個月後一次繳清 120000+8988+3500=132488
24000-(8988+3500)
=11512
(2) 若半年繳一次
8988+3500×2=15988 每次繳交費用
15988/2+60000=67994 (3) 若每個月繳
利息加手續費
8988+3500×12=50998 每個月須繳
10000+8988/12+3500=14249
24000-50998
=-26988
(3) 分期償方案
分期償 一般信用卡 省下金額
不計利息；每萬元每月99 元 至少12 個月
年利率20%
12 個月手續費：
99×12×12=14256 元
利息：
120000*20%=24000 24000-14256=9744
你不可不知之計算方式(地下錢莊)
1、 甲借 10000 元(實拿 8000 元)，每 7 天繳納 1 次利息 2000 元，而本金須一 次繳清，不然每隔7 天，仍須繳納利息 2000 元，直到本金 10000 元一次 繳完，尚可稱繳清，試問它的計算方式為何?年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/7 天=52.14 次×2000=104285.71/10000=1042.8%
俗稱為1042 分利；一年下來利息為：104285 元
月息=1042.8/12=86.9%俗稱為 86 分利；一個月的利息為：8571 元 2、 甲借 10000 元(實拿 8000 元)，每 10 天繳納 1 次利息 2000 元，而本金必需
一次繳清，不然每隔10 天，仍須繳納利息 2000 元，直到本金 10000 元一 次繳完，尚可稱繳清，試問它的計算方式為何?而年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/10 天=36.5×2000=73000/10000=730%俗稱為 730 分利 一年下來利息為：73000 元
3、 甲借 30000 元(實拿 29000 元)，每天繳 1000 元，連續繳 30 天【俗稱日仔 會】，試問它的計算方式為何?年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/1 天=365×1000=365000/30000=1216%
一年下來利息為：365000 元 月息=1216/12=101.3%
一個月的利息為：30000 元 俗稱為100 分利
看完以上之計算方式你還敢跟地下錢莊借錢嗎？三思而後行。然而指數函 數相關應用方面除基本複利計算外，尚可延伸至投資理財、保險投資方案、購 屋貸款計畫等…..。這些相關延伸部分會在之後課程介紹。
對數函數
由前一小節得知指數函數之定義為 f(x)=ax且a>0。若a≠1且f 為一對一 函數時，其反函數f 必定存在，此時稱-1 f 為【以 a 底之對數函數(logarithm)】-1 ， 定義為 f-1(x)=logax。
對數函數logax，a=10 時稱為常用對數(common logarithm)，通常以log 表x 示；當a=e時，稱為自然對數(natural logarithm) ，通常以logex=lnx表示。
例：
(1). log1000= 3 (2). log(0.001)= -3 (3). log216 =4 (4). log642=-6 (5).
2 -1 8) (1 log64 =
(6). lne3 = 3
根據指數律，可推導下列三式。若x>0，y > ，0 a>0且a≠1，r 為任意 實數，則
1. loga(xy)=logax+logay
3. logaxr =rlogax 例：
(1). ) 9 (81 log3 x Sol：
2x -4 3 2xlog -4 ) (3 log -3 log ) (3 log -3 log 9
log -81
log3 3 x = 3 4 3 2 x = 3 4 3 2x = 3 =
(2). log2(x4⋅8x)
Sol：
3x x 4log
2 3xlog x
4log
2 log x 4log )
(2 log x 4log 8
log x log ) 8 (x log
2
2 2
3x 2 2
x 3 2 2
x 2 4 2 x
4 2
+
=
+
=
+
= +
= +
=
⋅
例：小明3 年前以 100 元買入某一股票，今年以 150 元賣出，若以連續複利計 算，年利率為何？
Sol：150=100e3r 1.5
100 e3r =150 =
lne3r =ln1.5
3r=ln1.5 =0.405465 r =0.135155=13.5155%
貸款利息計算
您是否對於貸款金額之利息計算方是一頭霧水呢？網路上有許多貸款「本息攤 還」試算表，你有了解多少呢?以下就一試算表說明之
假設：年利率：Y% 、月利率 %，每個月要繳 x 元，考慮本金 元，
第一個月後，
本利和為 × (1 + %)，扣掉月繳 x 元，所以剩下 元。
第二個月後，
本利和為 )( )，扣掉月繳 x 元，所以剩下
)( 元。
第三個月後，
本利和為 ，扣掉月繳 x 元，所以剩下
元。
依此推到第 n 年(12n 個月)後，本利和扣掉月繳 x 元要剛好等於零。如此
期次方數，一共要的是 。 而所有減去的數(月繳費 x 元)，
第一個月： ；
第二個月： ；
第三個月： ；
第 12n 個月： ；
將期限內全部加總，依照等比級數算法，首項為 x，公比 ，總 項數 12n，總和為
。 最後因為 12n 期後繳清，剩下 0 元，因此可得：
圖中所顯示，其貸款金額 3600000 元，利率 3.5%，還款年限 20 年，代入上式，
則可獲得
若善用 Excel 中「財務」函數，還款金額之計算將簡單許多，以下就 Excel「財 務」函數中 PMT 做操作說明：
PMT(rate,nper,pv,fv,type)括弧中各變數之說明如下
Rate：為各期的利率。
Nper：為年金的總付款期數。
Pv：為未來各期年金現值的總和。
Fv：為最後一次付款完成後，所能獲得的現金餘額 (年金終值)。如果省略
fv 引數，會自動假定為 0，也就是說，貸款的年金終值是 0。類型：
為 0 或 1 的數值，用以界定各期金額的給付時點。
操作流程
本金及利息償還表如下
期數 攤還本金 攤還利息 每月繳款金額 貸款餘額 0 3600000 1 10379 10500 20879 3589621 2 10409 10470 20879 3579213 3 10439 10439 20879 3568773 4 10470 10409 20879 3558304 6 10531 10348 20879 3537273
輸入數值為
輸入數值為 240
輸入數值為 3600000
上表所顯示為前 10 期及後 10 期所繳交之本金及利息，由表所示不難發現，
前期所付之金額大多為利息，隨著期數之增加，攤還之本金也隨之增加。
若將還款年限及貸款金額調整為下表，您是否能將下表之數字皆算的出來 呢？
8 10592 10286 20879 3516119 9 10623 10255 20879 3505496 10 10654 10224 20879 3494842
期數 攤還本金 攤還利息 每月繳款金額 貸款餘額 231 20279 599 20879 185196 232 20338 540 20879 164857 233 20398 481 20879 144460 234 20457 421 20879 124002 235 20517 362 20879 103485 236 20577 302 20879 82909 237 20637 242 20879 62272 238 20697 182 20879 41575 239 20757 121 20879 20818 240 20818 61 20879 (0)
年利率 每期還款 貸款金額
3.50% -$20,879 $3,600,000 $3,800,000 $4,000,000 $4,500,000 15 -$25,736 -$27,166 -$28,595 -$32,170 18 -$22,488 -$23,737 -$24,986 -$28,110 20 -$20,879 -$22,038 -$23,198 -$26,098 25 -$18,022 -$19,024 -$20,025 -$22,528 償
還 年
限 30 -$16,166 -$17,064 -$17,962 -$20,207
網路購物利息
網路上琳瑯滿目之購物方式，你可知道你買的東西到底付了多少利息嗎？
由上表您可知道 12 期及 24 期的利率是多少嗎？
原價 44800 44800 每期 3994 2053
期數 12 24
總額 47928 49272 利息 3128 4472 月利率 1.05392% 0.77561%
年利率 12.65% 9.31%
上表是利用 excel 之函數RATE所獲得，其流程如下：
1.RATE(nper,pmt,pv,fv,type,guess)，有關 nper、pmt、pv、fv 和 type 等引 數的詳細說明如下：
Nper： 為年金的總付款期數。
2.Pmt：為各期所應給付 (或所能取得) 的固定金額。
3.Pv：為現值，即一系列未來付款的目前總額。
4.Fv： 為最後一次付款完成後，所能獲得的現金餘額 (年金終值)。如果省略 fv 引數，會自動假定為 0 (例如貸款的年金終值是 0)。
本範例中輸入 12
本範例中輸入-3994
本範例中輸入 44800
本範例中輸入 0
5.最後可獲的單月之利率為 1.0539%
6.在乘上 12 個月即可獲的年利率為 1.0539%×12=12.65%
同理你可否運算 24 期之利率為 9.31%呢？