生活中的數學
本教材僅可用於上課講授，不得印行或做其他任何用途
課程類別：通識核心必修 學 分 數：2
授課對象：日四技一年級
上課教材
目 錄
頁次
單元一、數與函數...1
單元二、阿拉伯數字的由來...2
單元三、四則運算符號...4
單元四、商品條碼...5
單元五、ISBN 條碼 ...9
單元六、身分證字號的規則...12
單元七、信用卡卡號的規則...14
單元八、BMI...18
單元九、黃金比例...20
單元十、棒球場上的數學...27
單元十一、法拍屋...33
單元十二、指數函數與對數函數...35
單元十三、貸款利息計算...43
單元十四、網路購物利息...47
單元十五、單位換算...50
單元十六、樂透中獎機率...65
單元十七、統一發票中獎機率及其期望值...71
單元十八、梭哈...73
單元十九、密鋪的正則圖案...76
單元二十、觀賞展覽品的最佳位置（高度、距離）...78
單元二十一、泡泡的數學...80
單元二十二、時針和分針一天的重合次數...82
單元二十三、田徑場上不同的起跑線...84
單元二十四、相同生日的巧合...86
單元二十五、籃球運動中跳投的命中率...87
單元二十六、颱風何時侵襲我們...89
單元二十七、撞球運動中如何一竿進洞...90
單元二十八、樹枝是按數學規律生長...92
單元二十九、血濃於水多少倍...93
單元 三十 、蚊吱聲知多少...94
單元三十一、地震的震撼性...95
數與函數
何謂實數
數：用來表示一個物體的多寡或大小，例如一個人、兩台電腦、三台電視…
等，也就是自然數(naturalnumbers)(或稱為正整數)。
但實際生活中有許多無法用自然數去描述，例如沒有、負債，基於這些需 求因此加入零與負整數(0、-1、-2…)，自然數加上零與負整數便構成整數 (intergers)。
然而整數仍然無法描述自然界各數量，例如將一個西瓜切成六等份，於是 產生了分數(有理數)的概念。
ex：mn m(分母)、n(分子)均為整數且 m≠0
由於任意整數均可表示成分母為1 之有理數，因此所有整數均為有理數。
此外有限小數及無限循環小數也可以表示成分數，所以有限小數及無限循環小 數均為有理數。
ex： 4 25 1 0. =
9 1 1 0. =
然而有理數能用來表達自然界所有事物嗎？未必，例如圓的面積為πr2、 兩股為1 之等腰直角三角形斜邊為 2。 2及π 並無法用分數去表示，因此將 無法表示成分數之數歸類為無理數，其他如 7、311、π ……。
有理數加上無理數就成為實數(realnumbers)。
實數
有理數 無理數
整數
正整數 負整數及零
阿拉伯數字的由來
日常生活中最常用到的阿拉伯數字，您是否想過阿拉伯數字是怎麼來的 呢？其實阿拉伯數字是由印度人所發明的，而當時印度人數學水平是世界最高 的。現在所使用的阿拉伯數字，是印度人在西元第三世紀發明的。當波斯帝國 征服印度，便傳入阿拉伯。該數字系統又從阿拉伯傳到西班牙。歐洲人以為是 阿拉伯人發明的，故稱做「阿拉伯數字」，不過，現又正名為「印度-阿拉伯數 字」。但大多數人仍習慣稱做阿拉伯數字。
大約在公元七世紀，一位羅馬學者從印度的記數法中發現了「0」這個符號，
他十分高興地把這個好辦法介紹給別人，並且把印度人使用零的方法作了介 紹。但不久之後，此事被羅馬教皇知道了，教皇大發雷霆，說神奇的數是上帝 所創造，而上帝所創造之數字中並無「0」這種異物，誰敢引進來玷污上帝。故 當時人們對這個數字「0」使用是相當抗拒的。
在西元825 年左右，一位波斯數學家寫了一本數學著作，書中用的數系，
便採用這套數字系統。一直到了西元1120 年，這本書有了拉丁文譯本，才令阿 拉伯數字在全歐大為流行，起了取代羅馬數字的作用。不過，一直要到十五世 紀後，阿拉伯數字的寫法才確定下來，與我們今天見到的寫法相同。
相對於把「0」引進到中國卻比較順利，因為中國使用十進位值制記數法的 歷史悠久，所以很早對「0」產生一定的認識。
「0」符號的產生，最初並不是為了表示「無」，而是彌補十進位值制記數 法中的缺位。若沒有「0」的存在，人們可能把數字混淆了。
1、2、3...9、0 這些數字是在公元八世紀從印度傳到阿拉伯去的。到了公 元九世紀又從阿拉伯傳到歐洲，故歐洲人稱它為阿拉伯數字。
阿拉伯數字的前身是印度數碼，在公元八世紀初傳到中國，但當時並沒有 即時採用它。到了十六、十七世紀，西洋曆算書輸入中國，但尚未被普及應用。
直到十九世紀末和二十世紀初，由於大量翻譯國外的數學書籍，並受西方文化、
科學、教育和經濟等多方面影響，阿拉伯數字才逐漸地通行起來。所以，在中 國使用阿拉伯數字的歷史並不太長。
今天所見的阿拉伯數字，是0~9 的符號，共十個符號組成。因排列整齊，
方便於大量及繁複運算。且由於工業革命後，歐洲國力大增，阿拉伯數字廣為 全球使用，並成為全球共通數字系統。早期其他的數系都有一個表示10 的符 號，但卻沒有0。而阿拉伯數字則由 0~9，加上 0 能夠明確標出位數不同的差
異，例如：110 與 101。這使得人們在進行乘除運算時，更為簡單，而且容易檢 查、不易出錯。也因為有了這套數字系統標示法，令數學迅速發展，奠定了今 天的科學基礎。
生活中不同進位制度-六十進位
生活上最常使用六十進位的有時間(1 分鐘 60 秒、1 小時 60 分鐘)、角度(1 度60 分、1 分 60 秒)、天干地支等…，最早使用六十進位制的是「巴比侖人」，
中國人也用六十進位制，至今部分人仍在使用天干地支，它就是六十進位制，
以下就不同文化介紹六十進位來源 燦爛的古巴比侖文化
美索不達米亞的數學（Mathematics in Mesopotamia），亞洲西部的底格里斯 河與幼發拉底河之間的兩河流域，河流經現今敘利亞和伊拉克，向東南方流入 波斯灣。古稱為「美索不達米亞」。古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，
其計算程序是借助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。
目前生活中的「星期制度」是源於古代巴比侖。一年有三百六十五天， 十 二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個星期，一個星期的最後一 天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們現在的禮拜日。
現今一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十秒這種時間分法就是 巴比侖人創立的。在數學上把圓分為三百六十度，每一度有六十分，每一分有 六十秒，這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人的貢獻。
古代巴比侖人的書寫工具很奇特，他們利用處處可見的粘泥，製成一塊塊 長方薄餅，這就是他們所使用的紙。然後用一端磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔 形文字」(cuneiform)，形成泥板書。
中國天干地支使用方式
商朝曆法使用「天干地支」法。天干是由「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸」所組成，地支是「子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥」所組成。從天干的第一個字「甲」和地支的第一個字「子」，開始依序 各取一字組合，配成甲子、乙丑、丙寅、...，直到癸亥，共取六十次。之後 又從甲子開始新的循環。因此所謂經過「一甲子」即代表已經過六十年。
四則運算符號
1. 加法符號(＋)：拉丁文 et（and 的意思）之縮寫，最早出現於 1417 年的手 抄本中。
2. 加、減法符號(＋、－)符號：在西元 1489 年出版、由 Johannes Widmann 所 寫的數學書，第一次出現在正式印刷的書本上面。
3. 乘法符號(×)：使用比較晚，於西元 1631 年倫敦出版，由 William Oughtred 所寫的《數學之鑰》，第一次出現於正式印刷的書。
4. 另一個乘法符號(‧)，則同樣大約於十七世紀初期，由 Thomas Harriot 開 始使用於其所寫知書上（正式出版則在 Thomas Harriot 過世後的 1631 年）。大數學家萊布尼茲在西元1698 年的一封書信上大力提倡以「‧」表 示乘號，因為「×」實在太像英文字母「x」。
5. 除法符號(÷)：則由 Johann Rahn 在西元 1659 年，第一次使用在自己所寫 的書上。
商品條碼
(資料來源：數學王子之家 http://euler.tn.edu.tw/)
何謂「商品條碼」呢？「商品條碼」會出現在那裏？有哪些類型？如何辨 別呢？
所謂「商品條碼」就是商品身份證統一編號，每個商品上都有一個特有的 號碼數字，同時以平行線條的符號來表示，以便能讓裝有掃描閱讀器的機器閱 讀，經過電腦解碼後，可以將「線條符號的號碼」轉變為數字，其主要目的是 作為商品從製造、批發到銷售，這一連串作業過程的自動化管理符號。「商品條 碼」會出現在那裏？舉凡食品、書籍、日常用品、家電等等都有它們的蹤跡。
「商品條碼」的由來
條碼的啟用最早是由美國超級市場公會所推廣，為了在百貨公司或超級市 場應用科技以節省大量人力物力資源，於1973 年正式啟用，並取名為「統一商 品條碼」，適用於美、加等北美洲地區，此即為UPC 碼的由來，由於 UPC 在美 加地區造成一股熱潮，於是歐洲也引進條碼的觀念及技術，訂定了"歐洲商品條 碼由歐洲12 個工業國家共同推廣，在 1977 年簽署草約，成立 EAN 協會，並 將條碼觀念散佈到其他地區，條碼系統因此開始步入國際化領域中。
「商品條碼」類型
隨著商品的大小？是否方便印製條碼？各種的情形，因此條碼分為幾種類 型：
1. EAN-13：應用於零售包裝說明 (1). 號碼意義依序為：
國家代碼(3 碼)、廠商代碼(6 碼)、商品代號(3 碼）及檢核碼(1 碼) (2). 依下圖說明，共有3+6+3+1=13 碼
2. EAN-8：應用於印刷面積小的零售包裝
(1). 號碼意義依序為：國家代碼(3 碼)、商品代號(4 碼）及檢核碼(1 碼) (2). 適用已申請使用國際條碼的廠商。
3. 其他：還有下列幾種類型
EAN-14：應用於非零售包裝（倉儲、運送的包裝）
EAN-128：主要用於非零售包裝 那些國家有利用條碼系統呢？
由於條碼系統的演進有其歷史背景，以下是目前有加入國際性組織國際商 品條碼總會（InternationalArticle NumberingAssociation；簡稱 IANA）的國家，
你可以查詢各會員國家的代號，你就可以知道手上的商品從何而來了。
EAN國際條碼會員國列表http://euler.tn.edu.tw/think40-1.htm#
國碼 國名 國碼 國名 國碼 國名
00-13 美國、加拿大 569 冰島 777 波利維亞
20-29 店內碼 57 丹麥 779 阿根廷
30-37 法國 590 波蘭 780 智利
380 保加利亞 594 羅馬尼亞 784 巴拉圭
383 斯洛丹尼亞 599 匈牙利 786 厄圭多爾
385 克羅埃西亞 600-601 南非 789 巴西
387 波西尼亞、赫塞哥維亞 609 摩里西斯 80-83 義大利
400-440 德國 611 摩洛哥 84 西班牙
45 或 49 日本 613 阿爾及利亞 850 古巴
460-469 俄國 619 突尼西亞 858 斯洛伐克
471 中華民國 621 敘利亞 859 捷克
474 愛沙尼亞 622 埃及 860 南斯拉夫
475 拉脫維亞 625 約旦 867 北韓
476 阿塞拜疆 626 伊朗 869 土耳其
477 立陶宛 628 沙烏地阿拉伯 87 荷蘭
479 斯里蘭卡 64 芬蘭 880 南韓
480 菲律賓 690-692 中國大陸 885 泰國
481 白俄羅斯 70 挪威 888 新加坡
482 烏克蘭 729 以色列 890 印度
484 摩爾多瓦 73 瑞典 893 越南
485 亞美尼亞 740 瓜地馬拉 899 印尼
486 喬治亞共和國 741 薩爾瓦多 90-91 奧地利
487 哈薩克 742 哥斯大黎加 93 澳洲
489 香港 743 尼加拉瓜 94 紐西蘭
50 英國 744 宏都拉斯 955 馬來西亞
520 希臘 745 巴拿馬 977 ISSN 期刊
528 黎巴嫩 746 多明尼加共和國 978 ISBN 書碼
529 塞普路斯 750 墨西哥 979 ISBN+ISMN
531 馬其頓 759 委內瑞拉 980 退款收據
535 馬爾他 76 瑞士 981-982 禮卷
539 愛爾蘭 770 哥倫比亞 99 贈券、折價券
54 比利時、盧森堡 773 鳥拉圭
560 葡萄牙 775 秘魯
「商品條碼」之驗證規則為何呢？若想知道「商品條碼」是否正確只要按 照下列檢驗方法即可知道
1. 將偶數位數字(由右向左位數)相加後再乘上 3 2. 奇數位數字相加(不含檢核碼)
3. 將所得數值相加
4. 10 減掉上一步驟所獲數值之個位數，即為檢查碼。
以下就一範例檢驗其「商品條碼」是否正確
由右向左數值為
4710874837393 1. 將偶數位數字(由右向左位數)相加後再乘上 3
7+0+7+8+7+9=38 38×3=114 2. 奇數位數字相加(不含檢核碼)
4+1+8+4+3+3=23 3. 將所得數值相加
114+23=137
10-7=3，此商品條碼為正確號碼。
ISBN 條碼
閱讀是自我學習的一門重要課程，在你購買一本書籍時，您是否注意到每 一本書上都有一組ISBN 條碼呢？在本單元將介紹 ISBN 的由來及其驗證方法 ISBN 的由來
國際標準書號 ( International Standard Book Number，簡稱 ISBN )，是一種 十位數的號碼，每本書封底及版權頁上，猶如一本書的身分證號碼，這個號碼 用以永久識別一書所屬出版國別（語言）、出版機構、書名、版本及裝訂方法。
編碼方式是一九六○年英國經濟研究院福斯特(F.M.Foster)教授所設計發明的。
英國出版商協會於一九六七年採用，其後，美國、加拿大、澳洲等相繼仿行。
國際標準組織(ISO)再一九七二年正式將這套編碼制度訂為國際標準，並在柏林 設立一個永久性的執行機構，即ISBN 總部，綜理、協調各國有關標準書號的 事宜。參與這項編碼方式的各國，則在國內成立一個ISBN 中心，以與總部聯 繫，並督導、協調各國國內出版業者此項工作之進行。台灣地區於民國七十九 年加入ISBN 的編號，並於國家圖書館成立圖書館成立國際標準書號中心，為 國內出版社分配書號，後來並擴及為出版社從事出版品預行編目(版權頁縮小的 卡片目錄即是)的作業。
ISBN 是為因應圖書出版、管理的需要，並便於國際間出版品的交流與統 計所發展的一套國際統一的編號制度，由一組冠有"ISBN"代號的十位數碼所組 成，用以識別出版品所屬國別地區(語言)、出版機構、書名、版本及裝訂方式。
這組號碼也可以說是圖書的代表號碼。號碼本身結構包括四個部份，每部份之 間用連接符號或空白隔開，分別是
1. 群體識別號（Group Identifier）：第一個號碼段是地區號，又叫組號(Group Identifier)，代表出版者的國家或區域或語言或其他相類組別。最短的是一 位數字，最長的達五位數字，大體上兼顧文種、國別和地區。把全世界自 願申請參加國際標準書號體系的國家和地區，劃分成若干地區，各有固定 的編碼：0、1 代表英語，使用這兩個代碼的國家有：澳大利亞、加拿大、
愛爾蘭、新西蘭、波多黎各、南非、英國、美國、津巴布韋等；2 代表法 語，法國、盧森堡以及比利時、加拿大和瑞士的法語區使用該代碼；3 代 表德語，德國、奧地利和瑞士德語區使用該代碼；4 是日本出版物的代碼；
5 是俄羅斯出版物的代碼；7 是中國出版物使用的代碼；台灣：957。
2. 出版者識別號（Publisher Identifier）：代表出版社代碼(Publisher Identifier)，
由其隸屬的國家或地區ISBN 中心分配，允許取值範圍為 2~5 位數字。出 版社的規模越大，出書越多，其號碼就越短。
規模越大，出書越多，序號越長。用以識別每一種書、每一套書或每一冊 書。第十位是電子計算機的校驗碼(Check Digit)。固定一位，起止號為 0~10，10 由 X 代替。四段數字之間應該用連字符(－)連接。
4. 檢查號（Check Digit）:由單一的數字或英文大寫字母「ｘ」組成，用來核 對ISBN 號碼本身的正誤。標準書號的核對方法是加權法，即用 10 至 2 這 9 個數分別去乘標準書號的前 9 位數，其乘積之和加上校驗碼再除以常數 11，如 得到的餘數是校驗碼，則書號正確；若得到的餘數不是校驗碼，則 書號錯誤。
ISBN 驗證方法
根據之前的介紹，已經了解「國際標準書號(ISBN)」所代表之意涵，但為 何這些號碼可以當成書本的「身份證號碼」呢？這些號碼又存在什麼數學規則？
又該如何辨別是否為一正確編號呢？「國際標準書號(ISBN)」之驗證規則為何 呢？若想知道「國際標準書號(ISBN)」是否正確，只要按照下列檢驗方法即可 知道
1. 將國際標準書號(ISBN)上所有數字由左至右依序寫出(不含最後一碼)
2. 由左至右，第一位乘十，第二位乘九，第三位乘八，第四位乘七以此類推。
3. 將各數字所乘之積相加 4. 所得之和除以 11 求得餘數
5. 11 減去上式所得餘數，即為檢查號。
以下就一案例來說明如何驗證其編號
1. 將國際標準書號(ISBN)上所有數字由左至右依序寫出(不含最後一碼) 047140143
2. 由左至右，第一位乘十，第二位乘九，第三位乘八，第四位乘七以此類推。
3. 將各數字所乘之積相加
0×10+4×9+7×8+1×7+4×6+0×5+1×4+4×3+3×2=145 4. 所得之和除以 11 求得餘數
145/11=13 餘 2
5. 11 減去上式所得餘數，即為檢查號。
11-2=9
練習檢驗下列兩個ISBN 書號
身分證字號的規則
身份證是每位國民的重要證件，而隨身攜帶的習慣，使它成為我們生活的 一部份。但在眾多身份證字號中，我們如何確定別人跟我們說的身份證字號是 正確的呢？
其實我們的身份證字號中的最後一個數字是一個很神奇的數字，它可以用 來做為檢查的功能。而我們身份證的各碼有其不同的意義，在英文字方面，是 代表出生縣市的代號(如下表)，而在數字第一個數字 1 是指男生，2 指女生。
出生縣市 台北市 台中市 基隆市 台南市 高雄市 台北縣 宜蘭縣 桃園縣 嘉義市 新竹縣
英文代號 A B C D E F G H I J
檢驗數字 10 11 12 13 14 15 16 17 34 18 出生縣市 苗栗縣 台中縣 南投縣 彰化縣 新竹市 雲林縣 嘉義縣 台南縣 高雄縣 屏東縣
英文代號 K L M N O P Q R S T
檢驗數字 19 20 21 22 35 23 24 25 26 27
出生縣市 花蓮縣 台東縣 金門縣 澎湖縣 陽明山 連江縣
英文代號 U V W X Y Z
檢驗數字 28 29 30 31 32 33
「身份證字號」之驗證規則為何呢？若想知道「身份證字號」是否正確，
只要按照下列檢驗方法即可知道 1.先將英文字母代號換為數字
2.所有數字由左至右依序寫出(不含最後一碼)
3.由左至右，第一位乘一，第二位乘九，第三位乘八，第四位乘七以此類推 4.將各位相對數字所乘之積相加
5.將上式 4 所得之和除以十求得餘數 6.以十減去上式 5 所得餘數即為檢查號
以下就一案例來說明如何驗證其編號 A123456789
1.先將 A(台北市)換為數字 10
2.所有數字由左至右依序寫出(不含最後一碼) 1012345678
3.由左至右，第一位乘一，第二位乘九，第三位乘八，第四位乘七以此類推 4.將各數字所乘之積相加
1×1+0×9+1×8+2×7+3×6+4×5+5×4+6×3+7×2+8×1=121 5.將上式所得之和除以十求得餘數
121÷10=12 餘 1
6.以十減去上式所得餘數即為檢查號(最後一碼) 10-1=9
同學是否可檢驗上圖之身分證字號為何為A200000003呢？自己個身分證 字號呢？及A100000001 這一組身分證字號真的存在嗎？
信用卡卡號的規則
(圖片資料來源：http://www.cardu.com.tw/card/05_02.htm)
「信用卡」是一種消費支付工具，也是目前僅次於現金、最普遍受歡迎的 塑膠貨幣之一。「信用卡」是由金融機構所發行，發卡單位依據申請人的個人 信用記錄，核發消費信用額度，因此也代表個人的財務信用憑證。以下就常見 的信用卡組織做簡略介紹
種類 卡別介紹
VISA(國 際 卡 )：
由 VISA 國 際 組 織 發 行 ， 是 全 球 最 受 歡 迎 的 信 用 卡 。
MasterCard(國 際 卡 )：
由 MasterCard 國 際 組 織 發 行，全 世 界 使 用 最 方 便 的 信 用 卡 。
JCB(國 際 卡 ） ：
由 日 本 信 用 會 社（Japan Credit Bureau）發 行，以 旅 遊 休 閒 服 務 著 稱，是 日 本、東 南 亞 最 受 歡 迎 的 信 用 卡 。
聯 合 信 用 卡(國 內 卡 )：
由「 聯 合 信 用 卡 處 理 中 心 」發 行 。 使 用 範 圍 僅 限 台 灣 地 區 。
近年來，信用卡的種類是愈來愈多樣化了，同時也增加了消費者的便利性。
但您是否知道您手上的信用卡其卡號是如何組成及其驗證方式為何呢？要檢查 你的信用卡是屬於那一種，同時信用卡號碼是否正確？這些都必須了解隱藏在 信用卡卡號內的編碼秘密。
常見之信用卡其「卡別」判斷方式如下表
卡別 位數 一般規則
Visa Card 16 第一碼為4
Master Card 16 第一碼為5，前二碼介於 51 和 55 中間
信用卡「卡號」判斷方式，驗證規則為何呢？若想知道「卡號」是否正確，
只要按照下列檢驗方法即可知道，其步驟如下
1. 將二個數字分為一組，假設每組數字第一碼為X1，第二碼為Y1，將第一碼 X1乘以2 獲得到另一數字Z1。
(1) 若Z1大於等於10，假設十位數為P1，個位數為Q1。 則R1 =P1+Q1 +Y1 (意思是求出數字和)
(2) 若Z1小於等於10，個位數為Q1。 則R1 =Q1+Y1 (意思是求出數字和)
2. 每一組的「數字和」(Ri)相加後得一數字「總和」(
∑
=
= n
1 i Ri
R )，將「總和」
(
∑
=
= n
1 i Ri
R )除以 10，若餘數為 0，表示卡號正確。
以下兩個案例來說明如何驗證其卡號
(圖片資料來源：http://www.cardu.com.tw/card/05_08.htm)
號碼(兩個一組) 第一個數字×2
若超過 10，
視為兩個數字
第二個數字 和
51 5×2=10
1、0 1 1+0+1=2 56 5×2=10
1、0 6 1+0+6=7 11 1×2=2 2 1 2+1=3 66 6×2=12
1、2 6 1+2+6=9 66 6×2=12
1、2 6 1+2+6=9 66 6×2=12
1、2 6 1+2+6=9 66 6×2=12
1、2 6 1+2+6=9 66 6×2=12
1、2 6 1+2+6=9
總和 57
驗證 57/10=5 餘 7
所以此組信用卡卡號應為錯誤
(圖片資料來源：http://www.cardu.com.tw/card/05_02.htm)
號碼(兩個一組) 第一個數字×2 若超過10，
視為兩個數字 第二個數字 和
40 4×2=8 8 0 8+0=8 00 0×2=0 0 0 0+0=0 12 1×2=2 2 2 2+2=4 34 3×2=6 6 4 6+4=10 56 5×2=10 1、0 6 1+0+6=7 78 7×2=14 1、4 8 1+4+8=13 90 9×2=18 1、8 0 1+8+0=9 10 1×2=2 2 0 2+0=2
總和 53
驗證 53/10=5 餘 3 所以此組信用卡卡號應為錯誤
同學可否自行演練此組號碼 (1)5615-2679-4992-7397 (2)5156-1166-6666-6677 (3)4000-1234-5678-9090
【註】
本文有關信用卡檢查的規則，參考http://www.vbguide.com.tw/之介紹寫成，特 此說明。
BMI
倒底BMI 要多大才是肥胖？體重多重才會太胖，80 公斤嗎?還是 90 公斤 呢?有沒有一定的標準？以下將為您介紹 BMI、計算方式及其標準值為何？
身體質量指數 (Body Mass Index, BMI) 是世界衛生組織(WHO)推薦使用 作為肥胖指標的重要依據，一種以身高及體重的比例來評估體重的一種簡易工 具。
肥胖是指體內的能量代謝失去平衡，脂肪於全身或部位堆積過多，顯著超 過正常人的一般平均量，便導致了肥胖的產生。治療肥胖必須修正能量代謝上 的失衡，也就是減少能量攝入，或是增加能量的消耗。目前大部分是以世界衛 生組織（WHO）建議的身體質量指數（Body Mass Index，簡稱 BMI）方法來 界定肥胖。
BMI(身體質量指數)定義
BMI= 體重／身高的平方 其中體重以公斤為單位，身高公尺為單位，即(kg/m2)
根據美國的一項調查結果，最長壽、最健康的一組指數範圍在20~25 之間；
利用這個指數可以用來調 1.5~1.9 公尺的人的體重範圍，不過不同國家有不同 之判讀標準，但大致上正常值為 21-24。一般而言，BMI 值女性大於 27.3，男 性大於27.8，在醫學上已被定義為肥胖，慢性病的罹患率也大大升高，為了健 康，建議妳向大型醫院的營養室或減重班求診，不要依賴非專業人士的意見自 行減肥.。大致的診斷如下:
1.BMI 介於 25-29 之間，判斷為「體重過重」，
2.BMI 超過 30 則為「肥胖症」。
3.BMI 超過 40 則為「嚴重或病態性肥胖症」。
4.BMI 在 18~20 之間為「體重過輕」。
5.BMI 少於 16 則為「嚴重營養不良」。
理想的身高與體重範圍
身高(公分) 理想體重範圍(公斤) 身高(公分) 理想體重範圍(公斤) 145 44.2 ~ 50.5 166 57.9 ~ 66.1 146 44.8 ~ 51.2 167 58.6 ~ 66.9 147 45.4 ~ 51.9 168 59.3 ~ 67.7 148 46 ~ 52.6 169 60 ~ 68.5 149 46.6 ~ 53.3 170 60.7 ~ 69.4 150 47.3 ~ 54 171 61.4 ~ 70.2 151 47.9 ~ 54.7 172 62.1 ~ 71
153 49.2 ~ 56.2 174 63.6 ~ 72.7 154 49.8 ~ 56.9 175 64.3 ~ 73.5 155 50.5 ~ 57.7 176 65 ~ 74.3 156 51.1 ~ 58.4 177 65.8 ~ 75.2 157 51.8 ~ 59.2 178 66.5 ~ 76 158 52.4 ~ 59.9 179 67.3 ~ 76.9 159 53.1 ~ 60.7 180 68 ~ 77.8 160 53.8 ~ 61.4 181 68.8 ~ 78.6 161 54.4 ~ 62.2 182 69.6 ~ 79.5 162 55.1 ~ 63 183 70.3 ~ 80.4 163 55.8 ~ 63.8 184 71.1 ~ 81.3 164 56.5 ~ 64.6 185 71.9 ~ 82.1 165 57.2 ~ 65.3 186 72.7 ~ 83
您是否可以依據BMI 定義，計算一下自己 BMI 是否已經在正常範圍呢？
黃金比例
穿高跟鞋真會比較美嗎？以下就自然界中，物體形狀比例提供了勻稱與協調 的美感，在數學中稱之為黃金比例。以下就黃金比例介紹其定義，及自然中、生 活上、建築物有哪些與跟黃金比例相關。
最美的矩形
100 多年前一位心理學家，做了一個有趣的實驗，他精心設計出許多個不同 的矩形，然後邀請許多朋友來參觀，請他們選出自認最美的矩形。你也來選選看。
1.第一組的矩形
甲 乙 丙
丁
以上四個矩形，那一個看起來最為勻稱呢？
2.第二組的矩形
以上四個矩形，那一個看起來最為勻稱呢？
3.第三組的矩形
以上四個矩形，那一個看起來最為勻稱呢？
4.第四組的矩形
以上四個矩形，那一個看起來最為勻稱呢？
經過試驗後，其結果如下
1.結果 592 位來賓選出了四個矩形(分別為乙、丙、甲、丙)。
2.這四個矩形看上去協調、勻稱、舒適，確實能給人一種美的享受。
3.分別將其邊長量測後即結果(比例)如下：
0.625
85 = 0.61538
138 = 0.61904
13 =21 0.61764 3421 =
4.這些邊長的比值出乎意料的接近 0.618 5.這是偶然的巧合嗎？
0.618 這個數值其實是無所不在的，0.618 這比率隱藏於古希臘的巴特能神 殿、正五邊形、五角星、費布那西數列、股票價格的波動、生物的生長、美學、
金字塔 、大自然....之中無所不在。以下就各自然界現象作簡略說明 1.畢氏學派的徽章
古希臘的畢達哥拉斯學派應該已發現這個比率，在學派的代表徽章-正五角 星形(如下圖)，連接 AEBGF 就是正五邊形，其中 AC：BC= 0.618
2 1 -
5 =
2.藝術
西元 1509 年 Luca Pacioli( 1445~1517)寫了一本書”De Divina Proportione “，首先 稱它做「黃金比率」(golden ratio)，Luca Pacioli 是文藝復興時代畫家巨匠達文西 的摯友，達文西的畫作就經常運用黃金比率 0.618，如「蒙納麗莎的微笑」和達 文西自畫像。自此在美學與建築上，寬長之比約為0.618 的矩形被認為是最和諧，
最合乎美的造型。其實米勒的「拾穗」人物的安排也是一黃金分割
3.植物與動物
普通樹葉的寬與長之比，蝴蝶身長與雙翅展開後的長度之比也接近 0.618。
如果以牛馬虎的前肢為界作一垂直虛線，將軀體分為兩部分，其水平長度之比恰 符合黃金比率。
4.環境溫度與人體體溫
通常我們在環境溫度為 22℃～24℃時能有最舒適的感覺，身體的新陳代 謝、生理節奏和機能可處在最佳狀態。而人體的正常體溫為 37℃，它和 0.618 的相乘積正好是22℃
5.醫學理論
醫學專家也觀察到，人在精神愉快時的腦電波頻率下限是8 赫茲，而上限是 12.9 赫茲，上下限的比率接近於 0.618，如果我們在這時參加基本學力測驗，一 定會有更好的表現。此外，我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關係;我們正 常睡眠時間與活動時間的比例關係，都足以說明黃金比率扮演和諧美滿的角色是 無所不在的。
6.電視上模特兒的架式十足，其實也是歸功於「黃金分割」。
7.黃金矩形
我們看的書、報、雜誌，其紙張的裁切寬與長之比就接近黃金比率。這樣的 矩形讓人看起來舒服，被稱爲「黃金矩形」。圖畫紙如8 開、16 開、32 開等，
都近似於黃金矩形。
8.金字塔與 0.618
古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的 比率都接近於0.618。
9.埃費爾鐵塔
近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是 0.618。
10.多倫多電視塔
目前世界最高的建築物是加拿大多倫多電視塔,高 553.33 公尺，其觀景樓以 上和樓以下的長度之比率就是0.618。
11.黃金比例的紙扇最美
炎炎夏日，最環保的方法，是以紙扇搧走暑氣。如果從數學的觀點，我們可 以黃金比例(0.618)來設計一把最富美感的扇子。以下就以數學方式，說明為何展 開角度是140 度的紙扇是最美。
根據下圖，假設展開角度為x 之扇形、可從半徑為 r 之圓分割出扇形面積為 (A1)及餘面積(A2)之比值。若此比值等於黃金比例，即可找出展開之角度，其求 解如下
0.618 )
x ( r
x 2r 1 A
A
2
1 =
− π
= 2 2 1 2
2
，則x=0.618(2π−x)
因此x=0.764π=0.764×180=140°
12.在現代生活中，黃金比例也一直被使用著，例如國旗、明信片、報紙、郵票 等等，其長寬之比均接近黃金比，據統計黃金比也是被使用最多的比例。
黃金比例的歷史可以回溯到古希臘時代，當時的人們發現，如果把一條線段 分成長短兩段，而且「全段長：長段長＝長段長：短段長」的話，這種分割方式 叫做「黃金分割」，而分割出來的兩線段長的比，就叫做「黃金比例」。
黃金比例其定義為在已知線段上作一個點，使該點所分線段的其中一部份是 全線段與另一部份的比例中項，這就是黃金分割 。其 0.618 之獲得如下
AB : BC AC :
AB = ，若AC=l、AB=x， 則x:l=l−x:x
x2+lx−l2 =0
x l−x
A B C
解上式得x ( )l 2
5 1±
= − ，捨去負值，得x l 0.618l 2
1 5− ≈
= 。因此黃金分割點的
位置為線長的0.618。在人體軀幹與身高比例上，肚臍是理想黃金分割點位置，
因此若此比例越接近0.618，越給旁人美的感覺。但是一般人的軀幹(腳底至肚臍 的長度)與身高都低於此比例數值，一般而言大部分都介於 0.58~0.60 之間。
至於女性所穿的高跟鞋應該要選多高，1 吋還是兩吋呢？以下就一範例就說 明，假設某女性身高(l)與軀幹(x)比例為 0.59，即l:x=0.59，若所穿的高跟鞋高
度為d，則新的比例值為
d l
d l . d l
d x
+
= + +
+ 059
，身高假設為158 公分，下表顯示了不 同高度之高跟鞋將會如何改變了此比例。
原本軀幹與身高比值 ( l
x) 身高(cm) 高跟鞋高度(cm)
穿了高跟鞋後的比值 ( l d
d l .
+ + 59 0 ) 0.59 158 2.54(1 吋) 0.596486857 0.59 158 5.08(2 吋) 0.602771646 0.59 158 7.62(3 吋) 0.608863664
由上表可見，高跟鞋越高比例越接近黃金比例，但也不可以硬要達成黃金比 例，因為太高的高跟鞋也不行，畢竟安全第一。
棒球場上的數學
斗六棒球場
球場距離：
內野係 90 呎四方，而外野係指在一壘線及三壘線所延長之界外線（FOUL LINE）間之地區。
從本壘沿界線、兩翼之距離須在三二五呎以上，至於中外野之距離以四○
○呎以上為理想。
棒球場規劃
棒球場規劃
90
325 400
325
90 60呎6吋
127呎3又3/8吋
如何決定各壘位置：
當本壘位置已定，則自此點以鋼尺量一二七呎三又八分之三吋之距離決定第 二壘之位置，再以本壘為基點量九○呎，再以二壘為基點量九○呎朝第一壘 方向，其交叉點以決定第一壘位置。然後以本壘為基點量九○呎朝第三壘方 向，再以第二壘為基點朝第三壘量九○呎，其交叉點以決定第三壘。第一壘 至第二壘之距離為九○呎。測量至本壘之距離係指第一壘線及第三壘線之交 叉點而言。
投手板必須高於本壘板一○吋，即自投手板前六吋處朝向本壘板方向六呎之 地點為止以每一呎保持一吋之斜度差，此項傾斜度各球場應力求一致。
自投手板前緣中央至本壘板尖端之距離為六○呎六吋。
將下列長度換算成公尺
九十呎
三二五呎
四○○呎
一二七呎三又八分之三吋
一○吋
六○呎六吋 換算之規則
1 呎=0.305 公尺
1 吋=2.54 公分
1 呎=12 吋
算一下自己的身高?
因此
九十呎（27.431 公尺）
三二五呎（99.058 公尺）
四○○呎（121.918 公尺）
一二七呎三又八分之三吋（38.795 公尺）
一○吋（25.4 公分）
六○呎六吋（18.44 公尺）
國內各球場之基本資料
1. 台中球場
觀眾數：共 10,500，其中內野數：6,000、外野數：4,500
內野：草皮、左外野：310 英呎、中外野：360 英呎、右外野：310 英呎
2. 天母球場
觀眾數：共 10,000，其中內野數：10,000、外野數：0
內野：草皮、左外野：325 英呎、中外野：400 英呎、右外野：325 英呎
3. 澄清湖球場
觀眾數：共 20,000，其中內野數：15,000、外野數：5,000
內野：草皮、左外野：328 英呎、中外野：400 英呎、右外野：328 英呎
4. 斗六棒球場
觀眾數：共 15,000，其中內野數：10,000、外野數：5,000
內野：草皮、左外野：330 英呎、中外野：400 英呎、右外野：330 英呎
若要在各棒球場擊出全壘打，請計算要打超越幾公尺才可能擊出全壘打?
1. 台中球場：
左外野：310 英呎=310×0.305 公尺=94.55 公尺 右外野：310 英呎=310×0.305 公尺=94.55 公尺 2. 天母球場
左外野：325 英呎=325×0.305 公尺=99.125 公尺 右外野：325 英呎=325×0.305 公尺=99.125 公尺 3. 澄清湖球場
左外野：328 英呎=328×0.305 公尺=100.04 公尺 右外野：328 英呎=328×0.305 公尺=100.04 公尺 4. 斗六棒球場
左外野：330 英呎=330×0.305 公尺=100.65 公尺 右外野：330 英呎=330×0.305 公尺=100.65 公尺 王建民的球速
95 英哩到底是多快呢(大約 152 公里)
楊建福的球速 140 公里(大約 87 英哩)到底在美國職棒中算快還是慢呢
1 英哩（mile）=1.61 公里（km）
1 公里（km）=0.621 英哩（mile）
所以時速100 英哩的球 = 時速 161 公里，是超級快的啦
目前日本公認的最快球速記錄，是 1993 年 5 月 3 日 8 局下，伊良部秀輝
塞揚獎左投「大個兒」藍迪強森就有多次球速飆破 100 英哩（相當於 161 公里）
從台北到高雄的自強號時速平均才 130 公里(80.73 英哩)左右。(台灣高鐵 時速則可以高達300 公里，也就是 186.3 英哩喔!)
何謂防禦率
定義：防禦率： 失分 × 9 ÷ 投球局數
小明投3 局失一分防禦率是 3.00，但他之前的防禦率是 5.00，那要怎麼算呢?
他之前防禦率 5.00，設：他之前失了 X 分，投了 Y 局。
則他現在防禦率：
3 Y
9 1) (X
+
× +
何謂打擊率
定義：打擊率 = 安打數÷打數
打數 = 打席 - 四死球 - 犧牲打 - 妨礙打擊
計算門檻：打席數必須達到所屬球隊之出賽數的 3.1 倍 例:小明投 5 局責任失分 3 分請問投手防禦率為何?
例:小華上場打擊 5 次獲得一次四壞球一次三振一次犧牲打兩支二壘安打請問小 華的打擊率為何?
打者反應時間為多久
例：王建民最快球速是在2A 投出 99mph(159.32km/hr)，升上大聯盟後最快 98mph，快速直球一般在 90~95mph 上下。請問球速在 99mph(159.32km/hr)、
98mph、95mph，打者反應時間為多久?
球速(mph) 99 98 95 90.1 93.2
球速(km/hr) 159.32 157.7107 152.8828 145 150 球速(m/sec) 44.25556 43.80853 42.46745 40.27778 41.66667 投手板距本壘距離
六○呎六吋(18.44 公尺) 反應時間(sec)
0.416671 0.420923 0.434215 0.457821 0.44256 註：1mile=5280 英呎；1 英呎=12 吋
法拍屋
法拍屋就是遭法院查封拍賣的房子。一般來說法拍屋的來源有兩種：
1.屋主欠債不還：債權人向法院提出民事訴訟，經判決勝訴後，債務人仍 不還 錢或無力還錢時，債權人再向法院聲請強制執行，將債務人之房子查封並拍 賣抵債。
2.抵押債務不還：某甲向銀行借錢並向房子抵押給銀行，但到還錢期限時 仍無 法還清債務，銀行就向法院聲請將抵押之房子拍賣 來抵債。
法拍屋的特色
1.產權清楚：得標人得標之後繳清尾款，法院即給您房屋的所有權。
2.物超所值：標的物每經一次拍賣，底價即打８折、連降三次就腰斬成一半。
3.多重選擇：全省有法拍屋案件多達上萬件，包含公寓、華廈、辦公室、大樓、
店面、套房、樓房、新的、舊的、通通都有、任您挑選 。
標購法拍屋前的準備工作
1. 需取得標的物的各種資訊，例如：何時開標、建物的類型（公寓、華廈、大 樓或透天）、建物的地坪和建坪的權利範圍、建物地址以及底價和保證金各 多少、目前的使用情形等等。
2. 到法院閱覽查封筆錄，它是有關建物在查封時的使用情形。
3. 投標的當日投標人應準備個人身分證正本及印章，如投標人無法親自到場可 寫具委任狀委託第三人代到場投標，委任狀應註明委任、受任關係，如委任 者並非律師，法律禁止委任之第三人因代理投標而收取報酬的。
投標步驟 一、投標保證金 二、投標方法
強制執行法第八十七條規定，投標人應以書件密封，投入執行法院所設 之標櫃， 其書件應載明左列事項：
1. 投標人之姓名、年齡、住址及職業。
2. 願買之不動產。
3. 願出之價額。
三、開標 依強制執行法第八十八條之規定，開標應由執行推事當眾開示，並朗 讀之。
四、得標人 投標拍賣不動產，經開標後以超過拍賣最低價額之願出最高價額者
注意事項
一、如何計算面積
二、將平方公尺與坪做轉換 三、如何計算每坪之單價 四、請查出住家之地號為何 五、如何得知土地之公告地價
內政部地政司全球資訊網
www.moiland.gov.tw 單位轉換
一坪＝3.305 平方公尺
１平方公尺＝0.3025 坪
一坪大約 1 個雙人床墊大或 1 間浴室的大小
1 坪約 180 公分寬 180 公分長
1 坪=6 台尺寬 6 台尺長=36 才
一坪＝六台尺見方＝36 平方台尺
指數函數與對數函數
指數函數：
於自然科學、社會科學及經濟學上常建立些數學模式，以探討量之大小與 成長率等相關問題，然而這些數學模式又常與指數函數(exponential function)密不 可分。以下就常見之複利(compound interest)計算，進而說明指數函數之應用。
例：小明存入A 銀行X 元，年利率0 Y，每年複利一次，求 n 年後本利和為多少？
Sol：一年後本利和X(1)為X0 +X0Y = X0(1+Y) 兩年後X(2)為X0(1+Y)+X0(1+Y)Y = X0(1+Y)2
以此類推n 年後本利和為X(n)= X0(1+Y)n 定理：指數律，假設a 為非零實數，
1. 若 n 為正整數，an =a⋅a⋅aLa 2. -n n
a a = 1
3. n=0，a0 = 1 4. anam =an+m 5. m n-m
n
aa =a 6. (an)m =anm
7. n
1
n a =a ，若n 為偶數，則a>0
8. n m
1 n m
) (a a =
指數函數應用：複利
在上一個例題中，本金X 元，年利率 Y，每年複利一次，求 n 年後本利和0
n 0(1 Y) X
X(n)= + ，若改為每年複利k 次，表示一年切成 k 段，每段利率為 k Y ，
k ) (1 Y X k )
X(1 = 0 + ，
而k
2年本利和為
2 0
0
0 )
k (1 Y k X
)Y k (1 Y X k ) (1 Y X k )
X(2 = + + + = +
一年後本利和為
k
0 )
k (1 Y X X(1)= + n 年後本利和為
nk
0 )
k (1 Y X X(n)= +
例：小明存入A 銀行 100,000 元，年利率 8%，每季複利一次(3 個月一次)，求 3 年後本利和為多少？並與每年複利一次相差多少？
Sol：
1. 按季複利，n=3 本利和為
126284.2 02)
100,000(1.
4 ) 100,000(1 0.08
X(3)= + 3×4 = 12 =
2. 按年複利，n=3 本利和為
125971.2 0.08)
100,000(1
X(3)= + 3 =
比季複利少126524.2-125971.2=853 無限多次複利
如上一小節所述，每年複利k 次，1 年後本利和為 0 )nk k (1 Y X X(n)= +
，根據下表得知，X(1)會隨著 k 增加而增加。當 k 增加到很大時 X(1)會逼近於一 固定值。
k：每年複利次數 0 )k k (1 Y (1)
X = + ，Y：年利率
1 1.08 2 1.0816 3 1.082152 10 1.082942 20 1.083114 30 1.083172 40 1.083201 50 1.083218 60 1.083229 70 1.083238 80 1.083244 90 1.083249 100 1.083252 365 1.083278 若將每年之複利次數k 變成無限大，則一年後本利和為
Y Y k 0 k
k 0 k
k
k 0 ) ]
k [(1 Y lim X k )
(1 Y lim X k )
(1 Y X lim
X(1)= + = + = +
∞
→
∞
→
∞
→
令 Y
x= ，上式可改寫成 k
Y 0 Y x
0 x ) ] X e
x [(1 1 lim X
X(1)= + =
∞
→ ，
其中： ) e 2.71828182845 x
[(1 1
lim x
x + = ≈
∞
→
e：尤拉數(Euler’s number)，以 e 為底之指數函數 f(x)= ，稱為自然指數。 ex 兩年後本利和
2Y 0 Y Y 0
Y X e e X e
X(1)e
X(2)= = =
依此類推，t 年後連續複利下之本利和為
Yt 0e X X(t)=
例：小明存入A 銀行 100,000 元，年利率 8%，分別按(1)每季複利一次(2)連續 複利，求5 年後本利和為多少？
Sol：
(1) 每季複利一次，5 年後本利和
148595 02)
100,000(1.
4 ) 100,000(1 0.08
X(5)= + 5×4 = 20 =
(2) 連續複利，5 年後本利和
149183 100,000e
X(5)= 5×0.08 =
例：小明欲建立信託基金，提供500,000 結婚基金，若這金額在 10 年達成，年 利率8%連續複利下，小明現在必須存入多少錢？
Sol：X(10)= X0e10×0.08 =500,000
X0 =500,000×e-0.8 =224,645
例：小明因理財不當，欠銀行信用卡卡費120,000 元。現今遠東商銀推出「減 担償」專案，其方案如下表
方案別 輕鬆償 靈活償 分期償
代償利率 12 個月 10.99%
前六個月1.99%
後6 個月 12.99%
不計利息，每個 月須繳手續費 手續費 每筆399 元 每筆3500 元 每壹萬元每月99
元
(本資料來源為遠東商銀) 試問若選擇該銀行之各方案，各可省下多少錢？
Sol：
(1) 輕鬆償
輕鬆償 一般信用卡 省下金額
12 個月；10.99% 年利率20%
利息： 利息：
120000×(10.99%)=13188 手續費：每筆399 元
120000*20%=24000
(1) 若 12 個月後一次繳清 120000+13188+399=133587
24000-(13188+399)
=10413
(2) 若半年繳一次 利息加手續費
13188+399×2=13986 每次繳交費用
13986/2+60000=66993
24000-13986=10014
(3) 若每個月繳 利息加手續費
13188+399×12=17976 每個月須繳
10000+399+1099=11498
24000-17976=6024
(2) 靈活償方案
靈活償 一般信用卡 省下金額
前6 個月：1.99%
後6 個月：12.99%
年利率20%
利息：
60000×(1.99%)+60000×(12.99%)
=8988
手續費：每筆3500 元
利息：
120000*20%=24000
(1) 若 12 個月後一次繳清 120000+8988+3500=132488
24000-(8988+3500)
=11512
(2) 若半年繳一次
8988+3500×2=15988 每次繳交費用
15988/2+60000=67994 (3) 若每個月繳
利息加手續費
8988+3500×12=50998 每個月須繳
10000+8988/12+3500=14249
24000-50998
=-26988
(3) 分期償方案
分期償 一般信用卡 省下金額
不計利息；每萬元每月99 元 至少12 個月
年利率20%
12 個月手續費：
99×12×12=14256 元
利息：
120000*20%=24000 24000-14256=9744
你不可不知之計算方式(地下錢莊)
1、 甲借 10000 元(實拿 8000 元)，每 7 天繳納 1 次利息 2000 元，而本金須一 次繳清，不然每隔7 天，仍須繳納利息 2000 元，直到本金 10000 元一次 繳完，尚可稱繳清，試問它的計算方式為何?年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/7 天=52.14 次×2000=104285.71/10000=1042.8%
俗稱為1042 分利；一年下來利息為：104285 元
月息=1042.8/12=86.9%俗稱為 86 分利；一個月的利息為：8571 元 2、 甲借 10000 元(實拿 8000 元)，每 10 天繳納 1 次利息 2000 元，而本金必需
一次繳清，不然每隔10 天，仍須繳納利息 2000 元，直到本金 10000 元一 次繳完，尚可稱繳清，試問它的計算方式為何?而年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/10 天=36.5×2000=73000/10000=730%俗稱為 730 分利 一年下來利息為：73000 元
3、 甲借 30000 元(實拿 29000 元)，每天繳 1000 元，連續繳 30 天【俗稱日仔 會】，試問它的計算方式為何?年息?月息為何?
Sol：年息=365 天/1 天=365×1000=365000/30000=1216%
一年下來利息為：365000 元 月息=1216/12=101.3%
一個月的利息為：30000 元 俗稱為100 分利
看完以上之計算方式你還敢跟地下錢莊借錢嗎？三思而後行。然而指數函 數相關應用方面除基本複利計算外，尚可延伸至投資理財、保險投資方案、購 屋貸款計畫等…..。這些相關延伸部分會在之後課程介紹。
對數函數
由前一小節得知指數函數之定義為 f(x)=ax且a>0。若a≠1且f 為一對一 函數時，其反函數f 必定存在，此時稱-1 f 為【以 a 底之對數函數(logarithm)】-1 ， 定義為 f-1(x)=logax。
對數函數logax，a=10 時稱為常用對數(common logarithm)，通常以log 表x 示；當a=e時，稱為自然對數(natural logarithm) ，通常以logex=lnx表示。
例：
(1). log1000= 3 (2). log(0.001)= -3 (3). log216 =4 (4). log642=-6 (5).
2 -1 8) (1 log64 =
(6). lne3 = 3
根據指數律，可推導下列三式。若x>0，y > ，0 a>0且a≠1，r 為任意 實數，則
1. loga(xy)=logax+logay
3. logaxr =rlogax 例：
(1). ) 9 (81 log3 x Sol：
2x - 4 3 2xlog - 4 ) (3 log - 3 log ) (3 log - 3 log 9
log - 81
log3 3 x = 3 4 3 2 x = 3 4 3 2x = 3 =
(2). log2(x4⋅8x)
Sol：
3x x 4log
2 3xlog x
4log
2 log x 4log )
(2 log x 4log 8
log x log ) 8 (x log
2
2 2
3x 2 2
x 3 2 2
x 2 4 2 x
4 2
+
=
+
=
+
= +
= +
=
⋅
例：小明3 年前以 100 元買入某一股票，今年以 150 元賣出，若以連續複利計 算，年利率為何？
Sol：150=100e3r 1.5
100 e3r =150 =
lne3r =ln1.5
3r=ln1.5 =0.405465 r =0.135155=13.5155%
貸款利息計算
您是否對於貸款金額之利息計算方是一頭霧水呢？網路上有許多貸款「本息攤 還」試算表，你有了解多少呢?以下就一試算表說明之
假設：年利率：Y% 、月利率 %，每個月要繳 x 元，考慮本金 元，
第一個月後，
本利和為 × (1 + %)，扣掉月繳 x 元，所以剩下 元。
第二個月後，
本利和為 )( )，扣掉月繳 x 元，所以剩下
)( 元。
第三個月後，
本利和為 ，扣掉月繳 x 元，所以剩下
元。
依此推到第 n 年(12n 個月)後，本利和扣掉月繳 x 元要剛好等於零。如此
期次方數，一共要的是 。 而所有減去的數(月繳費 x 元)，
第一個月： ；
第二個月： ；
第三個月： ；
第 12n 個月： ；
將期限內全部加總，依照等比級數算法，首項為 x，公比 ，總 項數 12n，總和為
。 最後因為 12n 期後繳清，剩下 0 元，因此可得：
圖中所顯示，其貸款金額 3600000 元，利率 3.5%，還款年限 20 年，代入上式，
則可獲得
若善用 Excel 中「財務」函數，還款金額之計算將簡單許多，以下就 Excel「財 務」函數中 PMT 做操作說明：
PMT(rate,nper,pv,fv,type)括弧中各變數之說明如下
Rate：為各期的利率。
Nper：為年金的總付款期數。
Pv：為未來各期年金現值的總和。
Fv：為最後一次付款完成後，所能獲得的現金餘額 (年金終值)。如果省略
fv 引數，會自動假定為 0，也就是說，貸款的年金終值是 0。類型：
為 0 或 1 的數值，用以界定各期金額的給付時點。
操作流程
本金及利息償還表如下
期數 攤還本金 攤還利息 每月繳款金額 貸款餘額 0 3600000 1 10379 10500 20879 3589621 2 10409 10470 20879 3579213 3 10439 10439 20879 3568773 4 10470 10409 20879 3558304 6 10531 10348 20879 3537273
輸入數值為
輸入數值為 240
輸入數值為 3600000
上表所顯示為前 10 期及後 10 期所繳交之本金及利息，由表所示不難發現，
前期所付之金額大多為利息，隨著期數之增加，攤還之本金也隨之增加。
若將還款年限及貸款金額調整為下表，您是否能將下表之數字皆算的出來 呢？
8 10592 10286 20879 3516119 9 10623 10255 20879 3505496 10 10654 10224 20879 3494842
期數 攤還本金 攤還利息 每月繳款金額 貸款餘額 231 20279 599 20879 185196 232 20338 540 20879 164857 233 20398 481 20879 144460 234 20457 421 20879 124002 235 20517 362 20879 103485 236 20577 302 20879 82909 237 20637 242 20879 62272 238 20697 182 20879 41575 239 20757 121 20879 20818 240 20818 61 20879 (0)
年利率 每期還款 貸款金額
3.50% -$20,879 $3,600,000 $3,800,000 $4,000,000 $4,500,000 15 -$25,736 -$27,166 -$28,595 -$32,170 18 -$22,488 -$23,737 -$24,986 -$28,110 20 -$20,879 -$22,038 -$23,198 -$26,098 25 -$18,022 -$19,024 -$20,025 -$22,528 償
還 年
限 30 -$16,166 -$17,064 -$17,962 -$20,207
網路購物利息
網路上琳瑯滿目之購物方式，你可知道你買的東西到底付了多少利息嗎？
由上表您可知道 12 期及 24 期的利率是多少嗎？
原價 44800 44800 每期 3994 2053
期數 12 24
總額 47928 49272 利息 3128 4472 月利率 1.05392% 0.77561%
年利率 12.65% 9.31%
上表是利用 excel 之函數RATE所獲得，其流程如下：
1.RATE(nper,pmt,pv,fv,type,guess)，有關 nper、pmt、pv、fv 和 type 等引 數的詳細說明如下：
Nper： 為年金的總付款期數。
2.Pmt：為各期所應給付 (或所能取得) 的固定金額。
3.Pv：為現值，即一系列未來付款的目前總額。
4.Fv： 為最後一次付款完成後，所能獲得的現金餘額 (年金終值)。如果省略 fv 引數，會自動假定為 0 (例如貸款的年金終值是 0)。
本範例中輸入 12
本範例中輸入-3994
本範例中輸入 44800
本範例中輸入 0
5.最後可獲的單月之利率為 1.0539%
6.在乘上 12 個月即可獲的年利率為 1.0539%×12=12.65%
同理你可否運算 24 期之利率為 9.31%呢？
單位換算
長度單位：
您知道公制與英制單位差異嗎？您應該聽過美式足球吧，轉播員都會說這 次進攻前進幾碼？那您是否知道一碼代表幾公尺嗎？在台灣常見長度單位如下 表，您是否想知道彼此之間關係呢？本章將介紹在台灣常見單位彼此之間換算 方式。
公 分 公 尺 公 里 市 尺 台 尺
吋 呎 碼 哩 國際浬(海浬)
公制單位：
國際間以往在度量衡單位使用上，以英制與公制為二大主流，其他依國家 之不同，尚有日制、台制、中國標準制與市用制…等之分別，致在國際間形成 十分紛繁。英制約有一千年的使用歷史，但自十九世紀以後漸漸減少採用，至 今僅有美國及少數英國昔日屬地尚在採用。
公制約有二百年的使用歷史，目前尚有七、八十個國家採用。國際SI 單位 新制係於1960 年 10 月國際度量衡局(The International Bureau of Weights and Measures)召開之第 11 屆度量衡會議中決議，將 1866 年 7 月 8 日所制訂的公制 改為「國際SI 單位新制(The International System of Units)」，簡稱「SI 單位制」，
訂定一公尺為光於1/299792458 秒的時間內在真空中所經路程的長度，並公佈 實施，以求國際間度量衡單位之統一，以方便國際間之交流與更具科學化。
如今，英國、加拿大、南非、紐西蘭及原採用英制或公制的歐洲國家與世 界許多國家亦開始採用，美國與前述已採用SI 單位國家交流時，亦不得不被驅 策而採用；預料進入公元2000 年以後，將是「國際 SI 單位」普遍化年代。
SI 單位的基本單位，長度為公尺(m)，質量為公斤(kg) ，時間為秒(s) ，力 為牛頓(N)；常見長度單位換算如下
1. 1 公里(km)=1000 公尺 2. 1 公尺(m)=100 公分 3. 1 公分(cm)=10 公釐(mm)
