挫屈連桿之彈性挫屈勁度

自然界存在一基本法則，當物理狀態之變化趨勢有不同的可能性 時，物理現象必傾向於最容易發生的途徑。細長柱受制於一種稱為挫 屈（buckling）的結構行為。當軸向受壓桿件的加載較小時，只造成桿 件在軸向的縮短，一但載重達到某一特定的臨界值（挫屈載重）時，

桿件會突然側彎，造成大量的變位，而使桿件破壞；因此挫屈行為乃 壓力桿件在設計上須排除的破壞模式。挫屈並非因材料之應力達到降 伏或極限強度而產生，其應力當挫屈時係受到多重因素影響，包括桿 件尺寸、桿件材料性質及支撐條件等。

柱 在 不 同 邊 界 支 承 條 件 之 臨 界 載 重 可 透 過 有 效 長 度

（effective length）之概念，得到與作為參考標準的鉸接柱臨界載重

（critical load）之的比例關係。茲以利用一底端固接，頂端為自由端之 軸向受壓柱（圖 2.1）的情況來說明。此柱之挫屈變形曲線乃一完全正 弦曲線的四分之ㄧ，若吾人將撓度曲線以固定端為界鏡射，即可看到 該曲線變成一鉸端柱之撓度曲線或半個正弦波。有效長度L 乃是等值 _e 鉸端柱之長度，或撓度曲線中兩反曲點間之長度，因此對於固定−自由

10

端柱而言，其有效長度為L _e

= 2

L，所以其臨界載重柱之ㄧ般式可表示 如下：

2

cr 2

e

P π EI

= L

（

2.1

）

將

L

_e

= 2 L

代入，便能求得固接

-

自由端柱之臨界載重。柱之有效長度

常用有效長度因數K 表示，即L _e

=

KL

（

2.2

） 因此，式（

2.1

）臨界載重之一般式亦可改寫為

( )

2 cr 2

P π EI

=

KL

（

2.3

） 其中底端固接

−

頂端自由柱之K 值為

2

，兩端鉸端柱之K 值等於

1

。

若考慮柱之兩端均為固接（圖

2.2

），假設柱之兩端彼此能作相向 運動，因此當軸壓載重P 是作用在柱頂部時，底端亦產生一大小相等 之反作用力。當挫屈發生時，反作用力矩M 亦會在支承端產生；另一₀ 種挫屈模式（圖

2.2

）之撓度曲線乃一在距兩端距離

L 處具有反曲點4

之三角函數曲線，於兩反曲點間之距離相當有效長度，即 _e 2 L = L 將其代入式得臨界載重為

2

cr 2

4π EI

P

=

L （2.4）

其臨界載重，乃兩端鉸接柱臨界載重之四倍。

各種邊界條件組合之柱有效長度L 及有效長度因數 K 列於圖 2.3。 _e 有關柱之大變形（large deflections）理論，其近似解可利用最小功 能原理（minimization of potential energy）得到，該方法亦可用來處理 具有初始曲率（initial curvature）之幾何連桿的幾何非線性行為。

茲探討挫屈連桿（buckled struts）之非線性理論如後。本研究將分 別考慮兩端鉸接（hinged）與兩端固接（fixed）等兩種形式挫屈連桿的 彈性挫屈勁度。本節所討論之挫屈連桿乃一具有初始曲率的挫屈連 桿，其外觀猶如一拱型元件，其邊界條件分別為一端鉸接一端為滾支

（roller），如圖 2.4 所示；或是兩端均為固接之型式，如圖 2.5 所示；

其全長為L。假設柱軸力引起之軸向變形可忽略不計，則分析時可採用

曲線座標系統 S（s）以簡化計算。無論是鉸接及固接型式，曲線座標 原點均於柱中央（如圖 2.4，及圖 2.5），

2 2

L L

− ≤ ≤ 。另，弧長微小長s

度以ds 表示。連桿之變形狀態則以弦切徑度角θ s 為自由度描述之。

( )

Case 1. 邊界條件為鉸接

吾 人 定 義 兩 端 鉸 接 （ hinge ） 挫 屈 連 桿 之 弦 切 角 函 數

( )

^{= sin πs}

F s L

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，挫屈連桿的變形狀態則以弦切徑度角

^θ ( )

^{s 表示如下：}

^θ ( )

^s

⁼

^{qF s}

( )

（2.5）

其中q 為反曲點之弦切角，而連桿未變形前之初始弦切徑度角

θ 0 ( )

s 可

表示如下：

θ 0 ( )

s

=

q F s

0 ( )

（2.6）

其中q 為反曲點之初始弦切角。此外，由於曲率

₀

κ與曲率半徑ρ之關係

為 1

κ =

ρ，另由幾何關係可得到ds = ρdθ ，因此曲率 κ 與弦切徑度角一

12

次微分

^{θ ′} ( )

^{s 之關係如下：}

^{1 d}

( )

^s

ds

κ θ θ

ρ

^′

= = = （2.7）

分別將式（2.5）與式（2.6）代入式（2.7）中，可得曲率函數如下：

^{κ θ = ′} ( )

^s

⁼

^{qF s}

^′ ( )

（2.8）

κ 0 = θ 0 ^′ ( ) s = q F s 0 ′ ( )

（2.9）

考慮連桿受一軸力

P

作用後，連桿之軸向挫屈位移可計算得：

( ) ^{L 2} 2 ( cos 0 cos )

u q L θ θ ds

= ∫ − −

^{L 2} 2 cos ( 0 ) cos ( )

L q F qF ds

− ⎡ ⎤

= ∫ ⎣ − ⎦

（

2.10

）

連桿所儲存之應變能（

strain energy

）可計算如下：

² 2 ( 0 ) ²

( ) 1 2

B L

U q EI

L θ θ

ds

−

′ ′

=

∫

−

² 2 ( 0 ) ( ) ^{2 2}

1 2

L

EI

L

q q F ds

−

′

=

∫

−

（

2.11

） 其中，

( ^{θ θ ′ − 0 ′} )

^{表示挫屈連桿受軸力}

^P

作用後曲率變化。連桿受軸力

P

作功後所釋出之彈性位能（

elastic potential energy

）為：

U q ^p ( ) = − Pu q ( ) ^{L 2} 2 cos ( 0 ) cos ( )

P L q F − qF ds

− ⎡ ⎤

= − ∫ ⎣ ⎦

^（

^2.12

^）

故連桿之系統總能量（

total potential energy

）

^{V q} ( )

^{可表示為：}

( ) ^B ( ) ^p ( )

V q = U q + U q

（

2.13a

）

( )

V q ^{/ 2} 2 0 ^{2 2 / 2} 2 [ 0 ]

1 ( ) ( ) cos( ) cos( ) 2

L L

L L

EI q q F ds P q F qF ds

−

′

−

=

∫

− −

∫

−

（

2.13b

） 依平衡位能準則，當系統處於平衡狀態時其函數為最小值，滿足

( )

14

sin sin sin sin

L L

1/ 2 2 0

q 4u q L

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

（

2.18c

） 將上式代入式（

2.17

）中，經整理可得

1/ 2 2 1

2 0

0, 0 0

( ) 1 4 1

2 8

cr

u u q

P q u p q q

L L

− −

⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝ − − ⎟ ⎠

（

2.19a

）

彈性挫屈勁度可進一步表示如下：

( ) ( 0 )

0

, , , ,

^cr

cr

P P q u K P q u

= u

（

2.19b

） 式

(2.19a)

考慮不同的初始端點弦切角

q ₀

（

0.10

、

0.15

及

0.30

），其 彈性挫屈勁度曲線如圖

2.6

所示。當

q ₀

愈大時，出力越小，且勁度亦隨 著

q ₀

增大而降低。

Case2. 邊界條件為固接

茲討論挫屈消能元件其兩端為固接（圖

2.5

）之彈性挫屈勁度。假 設軸向變形可忽略不計，可採用曲線座標系統以簡化計算，其座標原 點設於弧長中央（圖

2.5

），

2 2

L s L

− ≤ ≤

。

定 義 固 接 條 件 下 挫 屈 連 桿 之 弦 切 角 變 形 函 數

( ) ^{sin 2 s +}

F s L

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

π π

，其變形同樣可以弦切徑度角

^θ ( ) ^s

^{表示如下：}

( ) ^{s qF s} ( )

θ =

（

2.20

） 其中

q

為反曲點之弦切角，而連桿未變形前之初始弦切徑度角

θ 0 ( ) s

可

16

表示如下：

( ) ( )

0 s q F s 0

θ =

（

2.21

）

其中

q ₀

為反曲點之初始弦切角。此外，由於曲率κ與曲率半徑ρ之關係 式為 1

κ =

ρ，由幾何關係可得到

ds = ρdθ

，因此，曲率

κ

與弦切角之關 係為：

1 ′

( )

s

= =

κ θ

ρ

（

2.22

）

分別將式（

2.33

）與式（

2.34

）代入式（

2.35

）中，可得曲率函數如下：

^{κ θ = ′} ( ) ^{s = qF s ′} ( )

（

2.23

）

κ 0 = θ 0 ^′ ( ) s = q F s 0 ′ ( )

（

2.24

） 考慮挫屈連桿受一軸力

P

作用後，連桿之位移可計算得：

( ) ^{L 2} 2 ( cos 0 cos )

u q L θ θ ds

= ∫ − −

^{L 2} 2 cos ( 0 ( ) ) cos ( ( ) )

L q F s qF s ds

− ⎡ ⎤

= ∫ ⎣ − ⎦

（

2.25

）

連桿所儲存之應變能（

strain energy

）可計算如下：

² 2 ( 0 ) ²

( ) 1 2

B L

U q EI

L θ θ

ds

−

′ ′

=

∫

−

² 2 ( 0 ) ( ) ^{2 2}

1 2

L

EI

L

q q F ds

−

′

=

∫

−

（

2.26

） 其中，

( ^{θ θ ′ − 0 ′} )

^{表示挫屈連桿受軸力}

^P

作用後曲率變化量。連桿受軸 力

P

作用後所釋出之彈性位能（

elastic potential energy

）為：

( ) ( )

U q p = − Pu q ^{L 2} 2 cos ( 0 ( ) ) cos ( ( ) )

P L q F s qF s ds

− ⎡ ⎤

= − ∫ ⎣ ⁻ ⎦

^（

^2.27

^）

故連桿之系統總能量（

total potential energy

）可表示為：

V q ( ) = U q ^B ( ) + U q ^p ( )

（

2.28a

）

18

sin sin sin sin

L L

sin sin sin sin

3! 5!

之關係如下：

20

件下所得。

式

(2.35a)

考慮不同的初始端點弦切角

q ₀

（

0.10

、

0.15

及

0.30

），其 彈性挫屈勁度曲線如圖

2.7

所示。當

q ₀

愈大時出力越小，且勁度亦隨著

q 0

增大而降低。

在文檔中 挫屈型防震消能元件之研發 (頁 36-48)