5-1 控制理論
5-1-1 順滑模態（Sliding Mode）控制原理【33】、【34】、【35】
順滑模態是可變結構（Variable Structure）控制系統中一個特殊的系統行為，
早在 1950 年代前蘇聯科學家將可變結構系統的技術應用到馬達控制，而現代的 可變結構控制幾乎架構在順滑模態的基礎來設計，由於具有可變結構技術的順滑 模態控制有快速的收斂以及消除匹配式雜訊干擾（Matched Noise）的能力，因此 發展了許多關於順滑模態控制的應用。
順滑模態控制具有三個重要的性質：
1、系統的穩定性與子結構穩定性無關。
2、系統可以具有順滑模態的行為。
3、系統對雜訊具有穩健性（Robustness）。
此外若一系統要擁有順滑模態的行為，則必須要具備兩個條件：
1、必須存在一個順滑模態的超空間，而且所有的系統軌跡在有限的時間裡都會 接觸到此超空間。
2、系統軌跡進入超空間後，必須順著此超空間滑向原點，而這樣的行為稱為順 滑模態。
在上述第一個條件為迫近條件（Approaching Condition），主要是讓系統軌跡 在有限時間內進入所規劃的超空間，而第二條件則稱為順滑條件（Sliding Condition），觀念是系統軌跡必須滑向原點或目標點。所以基本上一個順滑模態 的發生可以有兩個程序，首先當系統在超空間s(x)=0之外時，須確保所有系統 軌跡在有限時間內接觸到此超空間，在這接觸的過程稱為迫近模態。而在系統進 入此超空間後，則要保證不在離開此超空間並朝著平衡點x=0逼近，此過程稱 為順滑模態。如圖 5-1 所示，系統狀態x(0)自t=0被迫推向超空間s(x)=0，並 且在有限時間t 內到達，然後在h t > 的時間裡系統不再脫離此超空間，而朝著th
目標值x(∞)→0移動，此超空間s(x)=0又稱為順滑面（Sliding Surface）。 在著一層關係，這關係由 Filippov 提出等效控制（Equivalent Control）的概念而 獲得解釋，在順滑面s(x)=0中的u可視為連續的等效控制u ，使得 5-5 式： eq
時間內使系統進入順滑面，還可以保證順滑模態的產生，因此稱 5-6 式為迫近順 滑條件（Approaching and Sliding Condition），這是順滑模態設計中最常使用到的 條件之一。根據這兩種模態的特性，在順滑模態設計時通常循著兩個基本步驟： 即所謂的切跳（Chattering）現象，因此Slotine在 1983 年提出以順滑層（Sliding Layer）概念來改進切跳現象，其方法是將sign(s)函數修正為飽和函數： 統的操作點（Operating Point）或平衡點（Equilibrium Point）做區域性線性化的 作法，因此設計出之控制器有其操作區間，且當泰勒展開式中高次項不是微量變
化時，此方法不再適用，且設計出之控制器有其使用上的問題。線性化過程如
b、Feedback Linearization
Feedback Linearization 方法是將非線性系統線性化的另一途徑，其主要概念
為將原非線性系統經過相似轉換的動作，將非線性系統的動態方程部分或全部轉 換為標準模式（Canonical Form），因此線性控制的理論便可應用，或是容易取得 順滑函數的條件，如圖 5-2 所示。不同於Lyapuno ′ method 的是 Feedback vs Linearization 為系統只有輸出可以量測，而系統的狀態則是不可知的。一般而言，
Feedback Linearization 有兩種方法可將原非線性系統作相似轉換:
1、Full-state Linearization（Input-state Linearization）：
其選定之狀態變數可能為不具實際物理量之值，但經由此方法之相似轉換，
轉換後的系統階數與原系統階數相同。
2、Input-output Linearization：
在 Input-output Linearization 方式中，系統輸出狀態可選定為一具物理量之狀 態變數，利用此線性化的方法，尋找出控制輸入與輸出狀態間直接而簡單的關 係，因此輸出可為具物理意義之狀態，但經由此方法所做出之相似轉換階數 r 與 原系統階數n有一階數差（Relative Degree），關係為r≤ ，當n r<n時，表示原 系統有n−r個狀態變數無法經由相似轉換後之關係觀察到（Unobservable），此 部分的狀態稱為 internal dynamic 或 unobservable mode，然而使用 Input-output Linearization 所需考慮的是無法觀測到狀態變數之穩定性（Stability），其判斷方 式為令選定之輸出狀態變數為零，代換至原系統判斷原系統是否穩定，若不穩定 則需另選輸出變數使 internal dynamics 為穩定，此方法稱為 zero dynamics，若在 線性系統，則有系統不能為非極小相位系統（Non-minimum Phase System）之限 制，因為對於一非極小相位系統，雖然輸出可以達到控制目標，但卻在系統內造 成內部不穩定，而導致整個系統癱瘓。
對 Input-output Linearization 方法做一說明，重新考慮一非線性系統，其動態 方程式表示如 5-13、5-14 式：
u ) ( ) (x g x f
x& = + （5-13）
) (x h
y = （5-14）
其運算方式如下，選定輸出狀態變數z1 =h(x)並對z1微分：
u 出狀態為電子密度（n ）做 Input-output Linearization 則： e
3
u
相同的步驟選定電子密度（n ）做 Input-output Linearization，重新表示 5-20、e 5-21、5-22 式為 5-28、5-29、5-30 式：
3
0
1 & & &&
& （5-44）
重新選擇控制輸入u為 5-45 式：
[
(~ ~ ) ~ ( ) ~ ( )]
中，電子密度在有限時間內被帶至目標值上，並且不因外界的干擾而離開目標 值，與先前所述當系統進入順滑平面後，要保證不在離開此超空間並朝著平衡點 逼近相符，然而觀察控制輸入一圖，因為所選取順滑層厚度ε =0.1，此ε 所代表 為要求系統的準確性，越小的ε 穩態誤差越小，但所付出的代價為控制輸入會有 較多的切換來達到此目標，於是控制輸入在模擬中發現有較大的 overshoot 發 生。圖 5-8、圖 5-9 中與前述模擬條件相同，但改變順滑層厚度為ε =1，因為迫 近條件沒有作更改，故在 S 平面一圖裡接觸到順滑面的時間與先前模擬時間相 同，然而改變ε 可以發現電子密度有較明顯的穩態誤差出現，並且是隨著外界干 擾源頻率作變化，此部分為控制器設計中，雖能藉由使用較大的輸入能量壓抑住 干擾源對系統的影響，但對干擾源的頻率卻無法消除，而會在輸出狀態中顯示出 來，不過由於選擇ε =1的原因，所以在控制輸入圖 5-8 中較大的 overshoot 現象 已被消除，整個輸入曲線較ε =0.1為平滑。
圖 5-10 所表示為模型與實際系統間誤差大小，或電漿設備輸入功率與實際 電漿吸收功率間之比例對應電子密度圖，由於此部分實驗數據不足，所以參考文 獻中相同為 TCP 系統，對於氬氣所做之實驗數據與本論文中模擬數據做一估計
【15】，估計在 10mTorr操作壓力下，實驗數據是模型數據中以 53%~58%的電漿 吸收功率範圍所對應，因此以圖 5-5 相同的電漿吸收功率輸入模擬下，電子密度 只有平均5.5×1010cm ，圖中並加入改變步階干擾源為弦波干擾 sin(4t)加上輸入−3 功率 53%~58%的變化做模擬，於圖發現電子密度已無法達到所設定之目標值 上。圖 5-11、圖 5-11 為經控制器設計下，控制輸入與所對應電子密度圖，可以 發現經由不斷改變模擬條件，二圖中仍選擇pole=7、η =1、ε =1作為控制器 設計條件能有較佳的結果，包含控制輸入有較小的 overshoot 行為及狀態被控制 在所設定的目標值上，相同的在觀察電子密度響應圖中發現，對於外界的干擾能 有效的被抑制但仍受其頻率所影響。接下來的圖 5-13、5-14、5-15 為改變工作 壓力於 15mTorr下，持續觀察控制器是否依然能將系統控制在所設定的目標上，
相同的比較實驗數據與模擬數據間的差異，約在 58%~63%間，繼續以 sin(4t)作
為干擾源、輸入功率在 58%~63%間做 cos(2t)的變化，控制器設計中參數設定為
=7
pole 、η =1、ε =1，在不同的操作壓力下控制器仍然可將系統控制在目標 值。模擬圖中雖沒有針對迫近條件大小與極點的位置做圖形討論，在此做一說 明，迫近條件的大小能改變系統進入 S 平面的時間，但過大的η需付出較大的能 量輸入來達成此目標；而當系統進入順滑模態後整個系統的行為便類似於線性系 統，其收斂速度由所選取的極點位置決定，因此改變極點的位置對於控制輸入與 輸出狀態間有性能上的影響，經由不同 pole、η的選取可獲得的不同控制輸入 U 的型態，然而過大的控制輸入 U 並非是一好現象，故由不斷的模擬發現，配合 著極點位置pole=7、迫近條件η =1為一適合的條件。
模擬至此已對氬氣的動態系統有所掌握，然而要進一步設計以氯氣為工作氣 體的控制器發現，因氯氣的動態模型中有七個狀態變數，若以 Input-output Linearization 來化簡系統並做控制器設計的狀況下，系統複雜性將增加，考慮實 現上的問題，狀態迴授將需更多的估測器來彌補感測器不足的現象，以及對於動 態系統所使用的 DAQ 卡要求，另外因為 RF Matching Network 的動態行為尚未 加入模擬一併考慮，所以接下來的氯氣模型控制器設計採取穩態控制器設計，利 用反應曲面法尋求一適合的模型，並設計一適當的控制器，由於目前半導體機台 間的溝通有完善的通訊協定，利用以 RS232-SECS 或 TCP/IP-HSMS 的方式即可 達到穩態控制器的實現問題。
5-3 穩態模型控制器設計與模擬 5-3-1 反應曲面法【13】、【36】、【37】
反應曲面法（Response Surface Method，RSM）是一個有關系統建模和分析 的數學與統計手法，在這些系統中有興趣的反應變數是受到數個變數影響，而目 標是要最佳化這個反應，如 5-49 式：
ε +
= f(x1,x2,....)
Y （5-49）
其中ε 代表在反應Y 中所觀察到的雜音或誤差，如果我們以E(Y)= f(x1,x2,...)=η 來表示期望反應，則由η = f(x1,x2,...) 所代表的曲面就稱為反應曲面。然而為 了有助於看出反應曲面的形狀，通常會以等高線圖來表示，在等高線圖中反應值 為常數的線被劃在x1、x2平面上，每一條等高線對應到一個反應曲面之特定高 度。然而大多數 RSM 問題中，介於反應和獨立變數之間的關係形式未知，因此，
RSM 的第一步驟是對於反應與獨立變數間的真正函數關係，找出一適當的近 似，如果獨立變數的線性函數組合對於問題有好的解釋能力，則所選擇近似函數 就是一階模型（First-order Model）5-50 式：
ε β
β β
β + + + + +
= x x kxk
Y 0 1 1 2 2 ... （5-50）
如果系統中有曲率，則必須利用較高階的多項式，如二階模型（Second-order Model）5-51 式來近似：
∑ ∑ ∑∑
= = <
+ +
+ +
= k
i
k
i i j
j i ij i
ii i
ix x x x
Y
1 1
2
0 β β β ε
β （5-51）
幾乎所有的 RSM 問題都會利用到這兩種模型中的一種或兩種並用。用一階模型
幾乎所有的 RSM 問題都會利用到這兩種模型中的一種或兩種並用。用一階模型