3-1 區域平均模式基本原理
3-1-1 模型假設條件
區域平均模式的發展【9】、【10】、【11】，使得欲瞭解電漿成分之組成，
無須解流體中複雜的關係，而是利用粒子平衡及能量平衡之觀念求解，此模 型的優點在於能夠快速的了解電漿中各化學物質的組成，並作為配方上的參 考依據，因此在使用區域平均模式時有下列 6 項假設條件：
1、假設各粒子的密度在整個腔體中是均勻分佈，不隨空間變化。
2、假設正離子的密度n 在腔體中式均勻的，但在靠近腔壁的鞘層處驟降為i 鞘層邊緣密度n ，如圖 3-1（a）所示。 is
3、假設電子密度n 在腔體中式均勻，但在鞘層處密度下降；負離子密度e n− 在腔體中呈拋物線分佈，在靠近腔壁的鞘層處密度為零，如圖 3-1（b）
所示。在腔體中ni =ne +n−，而在鞘層中ni =ne =nis。
4、假設忽略離子與其他粒子因碰撞而損失之能量，及電子與正離子或負離 子碰撞損失之能量。因為電漿組成成分中，中性粒子的數目遠大於帶電 粒子。
5、假設電子能量分佈函數（Electron Energy Distribution Function，EEDF）
為馬克斯威爾分佈（Maxwellian Distribution）。 6、假設離子溫度T 為 0.5i eV，中性氣體溫度為 600K。
區域平均模式模型主要是利用解各粒子間的粒子平衡方程式及電子的能量 平衡方程式，來求得腔體內各粒子穩態的平均密度及電子溫度，對單原子氣體的 區域平均模式模型分析中，電子溫度是氣體壓力及有效電漿尺寸乘積之函數，電 子密度則跟電漿吸收功率成正比；分子氣體中，各種粒子密度與電子溫的變化較
單原子氣體更為複雜，不再是簡單的函數關係，且與粒子組成比例有相當的關 係。動態區域平均模式模型分析理論亦是考慮粒子平衡與電子能量平衡方程式。
3-1-2 粒子與能量平衡方程式 a、粒子平衡方程式
1、中性粒子平衡方程式：
輸入腔體內之氣體粒子（source）+在腔體內反應生成之粒子＝
停留在腔體內之粒子+因反應或碰撞腔體壁而損失之粒子+經抽氣系統而排出 之粒子。
其中 source 只有送入腔體的中性氣體粒子，平衡方程式才會出現，其他中性粒子 不會有此項。
2、帶電離子平衡方程式：
在腔體內反應生成之離子＝
停留在腔體內之離子+因碰撞腔體壁而損失之離子+重新結合成中性粒子而消 失之離子+經抽氣系統而排出之離子。
由於電漿相對於腔壁為正高電位，故負離子會被侷限在電漿中，不被抽氣系統所 排掉，且負離子不會因碰撞到腔壁而損失，在等號右邊第二項及第四項不適用於 負離子，負離子唯一的損失途徑只有經由反應。
b、電子能量平衡方程式
電子能量平衡方程式假設電漿的輸入功率完全被電漿所吸收，電漿吸收的能 量為P ，而損失的途徑有三： abs
1、經由電子與中性粒子發生游離、激發、彈性碰撞而損失之能量P 。 ev 2、離子因撞擊腔壁所損失之能量Piw,i。
3、電子因撞擊腔壁所損失之能量P 。 ew
將上述三種能量損失形式整理可用 3-1 式表示：
∑
=+ +
= r
i
ew i iw ev
abs P P P
P
1
, （3-1）
r 表示空間中粒子的種類，而對於因粒子間碰撞而損失之能量與因粒子撞擊腔壁
（Threshold Ionization Energy，單位eV）。對於單原子粒子由 3-2 式可觀察出εL 為電子溫度之函數。歸納上述，對於整個空間電子因與中性分子碰撞所造成之能
3-2 Ar區域平均模式模型建立
3-2-1 穩態模型之推導
在 Ar 的區域平均模式中，因為 Ar 為單原子分子，其電漿組成成分以Ar 及+ 電子為主，其成分較Cl2、H2、O2等分子簡單，此外電漿是呈電中性（quasi neutral），所以在 Lieberman 的研究中考慮的是電子粒子平衡及電子能量平衡之 穩態方程式【22】、【25】，其假設系統到達穩態時，所有對時間的變化量可設 為零。
1、穩態粒子平衡方程式為 3-6 式：
L R n n k RLh h
R u
ne B(2π 2 L +2π R)= iz g eπ 2 （3-6）
在上述等式左邊表示粒子經由腔壁而損失之部分，等號右邊為在腔體內經由游離 反應而產生的粒子。
2、穩態之電子能量平衡方程式為 3-7 式：
L g e iz ew
iw e R L
B
abs eu R h RLh n eVk n n
P = (2π 2 +2π ) (ε +ε )+ ε （3-7）
在上述等式右邊第一項表示粒子經撞擊腔壁而損失之能量，第二項表示產生一電 子離子對損消耗的能量。 R 、 L 分別表示腔體半徑與高度、n 為電子密度，e T 為e 電子溫度，k 為游離速率，iz n 為氬氣密度，g k 為根據電子速度分佈所得之反應iz 速率常數。εiz及εew為離子、電子撞擊腔體表面損失之能量。電漿腔體密度與鞘 層中電漿密度的關係hR、hL是根據 Godyak 與Maximov利用解擴散方程式求得在 鞘層中電漿密度與中心區域電漿密度之比值可以約略分為：
1、低氣壓(λi ≥(R,L))：平均自由徑遠大於腔體半徑以及高度，此時 3-8 式：
D 為 ambipolar diffusion coefficient，而在 TCP 系統為中等操作壓力，故使用第a
二個條件之hL、hR，經整理得 3-6 式得 3-11 式：
) 2
2
( 2 L R
T B
abs
e eu R h RLh
n P
π π
ε +
= （3-13）
對上述二式分析以腔體特徵尺寸，半徑 17.75cm高 15cm進行模擬，結果如 圖 3-2、3-3、3-4 所示，在圖 3-2 中，操作在 5 mTorr之氬氣電子密度，隨電 漿吸收功率呈線性之增加。在 3-3 圖中，固定電漿吸收功率於 250W，改變工作 壓力時，可觀察出隨工作壓力的上升，電子密度亦隨之增加，但並非成線性之增 加，主要是在高工作壓力下，電子能量會降低，而影響游離率。圖 3-4 中，電子 溫度隨工作壓力的增加而遞減，因在高工作壓力下粒子平均自由徑較小，碰撞率 增加，故維持粒子平衡所需要電子溫度會較低。
3-2-2 動態模型之建立
在動態區域平均模式模型中，相同的考慮粒子平衡方程式及能量平衡方程 式，並且重新加入中性氣體、離子、氣體流量於整個模型一起討論，使模型能夠 符合實際狀況。下述的動態模型共包含四個狀態變數，分別為氬氣氣體密度nAr、 氬氣離子密度 +
nAr 、電子密度n 、電子溫度e T ，模型中相關係數在表二、三中描e 述，而模型的敘述如下：
1、粒子平衡：
Ar Ar r
w Ar e iz
Ar q k n n k n k n
dt
dn = − + + − （3-14）
+ +
+ = iz e Ar − w Ar − r Ar
Ar k n n k n k n
dt
dn （3-15）
e r e w Ar e iz
e k n n k n k n
dt
dn = − − （3-16）
2、能量平衡式：
) 體中的時間越長，同理，流量越大則粒子停留的時間則縮短。對 3-14、3-15、
3-16、3-17 式做計算，並對穩態之值繪於圖 3-2、3-3、3-4，並與穩態模型做比 較後可得相同的結果，其中電子密度平均誤差2.43×10−2%，電子溫度平均誤差
+
模擬結果如圖 3-7、3-8、3-9、3-10、3-11、3-12、3-13、3-14，在模擬Cl2 區域平均模型中，模擬圖可分為中性氣體與帶電粒子兩類。第一類在中性氣體
漿吸收功率增加，帶電粒子均有增加的現象。圖 3-12 裡所顯示為電子密度的變 化情形，電子密度隨電漿吸收功率呈線性增加，但在壓力增加下電子密度並未增 加，而是呈現趨降的現象，主要也是因在高操作壓力下電子能量低，影響游離率 所致，且電子與粒子間碰撞是隨壓力上升而增加，故密度隨壓力上升而下降。此 可由圖 3-13 中電子碰撞率觀察此現象，因為在高操作壓力下粒子平均自由徑變 小，粒子間的碰撞增多，故高操作壓力有較多的粒子碰撞機會。此亦影響著電子 溫度的狀況如圖 3-14，一方面在高操作壓力時所需維持粒子平衡的電子溫度不 需如在低操作壓力狀況下高，另一方面則因電子在高操作壓力下碰撞機會變多，
以致平均每電子所帶的能量不如低操作壓力的環境，但電子溫度不同於 Ar 為Cl2 的電子會隨電漿吸收功率而變化，不再只是簡單的壓力函數。此外在帶電粒子中 由模擬結果主要可發現，帶電粒子裡Cl 與+ n 對於電漿吸收功率與操作壓力有相e 同的變化情形，相同的Cl 與2+ Cl 隨電漿吸收功率與壓力變化亦有相同的趨勢，− 此部分與文獻所討論相同【26】、【27】、【28】。因此在高電漿吸收功率、低操作 壓力下，腔體中主要的帶電粒子為Cl 及+ n ，而在蝕刻e Poly-Si 中主要反應物為Cl 及Cl ，故高電漿吸收功率下能增加蝕刻率﹔低工作壓力下能使得粒子間平均自+ 由徑變大，離子通過鞘層時不因與其他粒子間的碰撞而失去垂直性，所以有較佳 的蝕刻輪廓。圖 3-15 所表示的為在不同之再結合係數下對電子密度的影響性，
再結合係數（Rrec）所表示為Cl經由擴散效應，在電漿腔壁發生結合成Cl2的現 象，此係數由環境因素所決定，圖中顯示當Rrec 較大時，電子密度有明顯隨壓 力上升而密度下降的現象，此為腔體中的Cl原子有較多的粒子經由腔壁結合為 Cl2或經蝕刻反應消耗Cl所致，因此相當於增加工作壓力的效果，不過在低壓部 分電子密度隨壓力有上升狀況，此部分為外界提供足夠能量給系統所致。反觀當
Rrec值較小時，電子密度就無明顯的下降現象。
第四章 實驗設計與分析
1、因子效果估計：
以表四為例，y 為實驗結果、ij η1 ~η9為訊號雜訊比，首先計算 A、B、C、
D 的平均反應值填於輔助表表五內，A 的第一水準A1平均反應值
3 ) (1 2 3
1
η η η+ +
A= m
，以此類推。當計算出各參數的反應值後，即可以評估各因子對結果的影響趨勢，
並繪出因子效果圖來判斷最佳的組合方式與因子間的相對重異性。
2、變異數分析表：
以表六為例，依據SN比結果，利用變異數分析表探討各控制因子對品質特 性的影響程度，並分析影響的大小其是否為主要影響因子，藉以掌握最有效的改 良對策並做出正確的分析。首先先求出整個實驗的總平方和 4-4 式：
∑
− ×= i2 9 mean2
Total
SS η η （4-4）
ηmean為所有SN比的平均值，接下來求SSi為因子平方和 4-5 式：
2 3
1
) (m m r
SS Ai
i A
i =
∑
−=
（4-5）
r 表示每一水準下之實驗個數，如A L9表中每一水準下實驗數為三次，得到SSi後 比較各因子的平方和，並將影響較小的因子合併視為誤差。實驗的自由度即有關 獨立參數之個數，一個L9的實驗中就有 9 個自由度，但總平均也又一個自由度，
因此總平均和的自由度 9-1＝8，各因子自由度為水準減一。均方和（MSi）等 於各平方和除以相對應自由度。最後將各因子的均方和分別除以誤差均方和就可
因此總平均和的自由度 9-1＝8，各因子自由度為水準減一。均方和（MSi）等 於各平方和除以相對應自由度。最後將各因子的均方和分別除以誤差均方和就可