第三章 控制器設計與理論
3.1 控制系統
控制系統如機械控制系統、電機控制系統、化工程序控制系統等，皆是屬於 平常普遍常見性的控制裝置。在此將先以”輸入訊號-輸出訊號”之間的行為，
來討論控制系統的性質該如何描述。首先須將系統方塊圖簡化如下圖 3-1 所示。
圖 3-1 系統簡圖
其中系統用符號 P 代表、目的用 u 表示、反應結果用 y 表示，其數學方程式表示 為 eq.(3-1)
t P u t
y
(3-1)其中 P 可用轉移函數或狀態方程式加以描述，在本節當中暫時先不考慮數學模型 表示。目前 P 可視為數學上的運算子或映射，其意義可解釋為『對於任一函數 u，
P 將 u 運算成 y 或 P 將 u 映射為 y』
。以下將介紹四種常應用於控制中的物理系統 其輸入與輸出間的數學表示方式。 鬆弛系統(Relaxed system)
鬆弛系統泛指一切不儲存能量的物理系統，對控制系統而言及代表初始值為 零。若系統的輸入、輸出滿足 eq.(3-2)，則可表示為鬆弛系統，反之則為非鬆弛 系統。
t 0 , t t
0, y t P u t 0 , t t
0,
u
(3-2)在鬆弛系統中，其系統輸出將唯一由系統輸入所決定。
33
線性系統(Linear System)
對系統方程式 eq.(3-1)而言，若系統的輸入、輸出訊號滿足方程式 eq.(3-3)、
eq.(3-4)，則定義為線性系統，反之則為非線性系統。
c u t c u t P c u t P c u t c c R
P
1 1
2 2
1 1
2 2, 、
1 2
(3-3) cu t cP u t c R
P ,
(3-4)其 中 eq.(3-3) 代 表 線 性 系 統 特 有 的 加 成 性 (additivity) ， eq.(3-4) 代 表 齊 次 性 (homogenity)。線性系統之特性是具有重疊性質(superposition)。其中需要特別注 意到線性系統的初始值在 t=t0時必須為零，若不為零的系統將不滿足線性系統定 義。
非時變系統(Time-Invariant System)
一控制系統方程式如 eq.(3-1)，其輸入、出訊號滿足方程式 eq.(3-5)，則為非 時變系統，反之為時變系統。即表示輸出訊號隨著輸入訊號之延遲而產生相同的 時間區間延遲。大部分在物理界的系統皆為時變系統，因其對於系統內部的變化 難以得知，因此時變系統常用狀態方程式表示。
t P u t , 0
y
(3-5) 因果系統(Causal System)
若現在的輸出行為只受到現在或過去的輸入所影響，則定義為因果系統，反 之，若系統未來的輸入，並不會影響或改變現在及過去的輸出行為，則稱之為非 因果系統(noncausal system)。
本研究中的受控體鐵心式同步伺服線性馬達，可歸類於具備鬆弛特性的時變 非線性系統。在未被激磁的情況下，馬達內部不存在著任何能量，且由於線性馬 達在使用上有著內部及外部之非線性干擾項，如漣波效應、摩擦力、參數變異等 等。導致線性馬達於精密定位中效能受到影響。這也是本研究所面臨的挑戰之處。
在後續的章節中，將說明如何運用控制器設計補償各種干擾項。
34
3.2 Lyapunov 穩定性理論[16,17]
Lyapunov 穩定性理論其觀念主要源自於古典力學，用以敘述一系統若屬於穩 定，其系統總能量將呈現隨時間的變化連續性地遞減至系統平衡狀態。在此將概 略性介紹其穩定法則。
對於一個非線性自律系統，如下 eq.(3-6)所示，
t x f
x ,
，t 0
(3-6) 對於原點之平衡狀態為穩定，倘若存在一 Lyapunov 正定函數 V，一次微分值會小 於等於零如 eq.(3-7)所示 t , x 0
V
，t 0
， x B
R (3-7) 則能保證系統狀態為有界，若其一次微分小於零，如 eq.(3-8)所示 t , x 0
V
，t 0
， x B
R (3-8) 則將能確保系統狀態會呈現穩定收斂情形，若其一次微分小於等於-2γV，如下方 程式 eq.(3-9)所示 t x V x
V , 2
，t 0
， 0
(3-9) 則能確保系統狀態呈現指數收斂情形，其中γ 為穩定收斂律。
Barbalat 引理主要用以判斷 Lyapunov 函數的一次微分是有界的或是漸進穩 定收斂。當系統只能確保一次微分小於等於零時，而其一次微分小於零又很難證 明。此時則 Barbalat 引理則能應用於判斷其是否為有界。如果 f(t)為可微分且在時 間 t→∞時為有界值，且
f t
一均勻連續函數，則f t 0
當 t→∞。但f t
為連續 函數很難判斷時，則運用f t
是否有界來判斷f t
是否為一均勻連續函數，若 f t
為有界，則f t
為一均勻連續函數。35
3-3 控制器設計-適應性步階迴歸滑模控制器設計
適應性步階滑模控制器(Adaptive backstepping sliding mode controller)為本研 究的主控制器。滑模控制器具有良好對抗匹配式雜訊之功效[19]，而在線性馬達 的控制中，雜訊包含有漣波效應、摩擦力、三相電流訊號非完整正旋波等等。因 此導致線馬在控制中無法達到理想的預設值。滑模控制器能有效克服此種干擾之 問題。然而在滑模控制中，雖然能有效對抗匹配式雜訊，但卻也有著無可避免的 問題為跳切現象及不合理高增益輸入，此兩種問題也是多方學者探討之議題。其 中最常見的改善跳切現象之方式為加入滑膜層概念(Sliding layer)或是將符號函數 修改為飽和函數，以減緩跳切現象。而適應控制的加入其主要目的為補償馬達系 統中的非模型化之干擾，並將其補償回控制器中。因此本研究中之主控制器設計，
結合了兩種不同控制法則之優點，以提高精密控等級。接著將詳細敘述適應性步 階迴歸滑模控制器之設計流程。
首先須考量線性馬達在操作情形中的參數變異、漣波效應、摩擦力、負載重 量之影響，因此將鐵心式同步伺服線性馬達之狀態空間 eq.(2-20)修改為 eq.(3-10)
2
1
X
X
)
( )
( )
(
22
A
mA X B
mB u C
mF
LF
rippleF
fictionX
(3-10)X
1Y
其中變數 X1為馬達動子位移、X2為線性馬達的動子速度、u 為電流控制輸入命令i
q；而 Am=-B/M，Bm=Kt /M，Cm=-1/M 代表系統參數不隨環境干擾而改變之系統參 數(nominal system)；而 ΔA、ΔB 為參數變異項。FL為外部負載之重量、Fripple為漣 波效應之影響、Ffiction為摩擦力干擾之影響。重新定義 eq.(3-10)為 eq.(3-11)2
1
X
X
36
Lyapunov function1 微分將 eq.(3-12)~(3-14)、(3-16)帶入(3-15)整合為 eq.(3-17)
1
在此假設干擾總和
f f
max為有界(bounded)，並定義 Lyapunov function2 與滑動函 數 S 分別如 eq.(3-19)、(3-20)所示37
38
Step 3: 定義 Lyapunov function3 如 eq.(3-29)所示
2 依照 eq.(3-30)式，可將步階滑模控制器之輸入 eq.(3-22)修改為 eq.(3-31)
))]
39
40
圖 3-2 混和型控制器與系統方塊圖
一維小腦模型類神經演算法
小腦模型演算法是模仿人類小腦演算流程，首先在說明之前必須要先建立模 型基礎架構，(1)記憶體空間(Memory)、(2)映射矩陣(Mapping Matrix)，接著將描 述一週期內之演算流程。先將取樣點的狀態變數資訊利用映射技巧平均儲存入映 射矩陣所對應之記憶體空間，將其記憶體資訊加總後輸出並與實際值相比較，可 得到學習誤差，最後將其平均存入回所對應到之記憶體空間中。整體流程可如圖 (3-3)所示。
圖 3-3 小腦演算法之流程圖
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圖 3-4 一維小腦模型輸入狀態與分割方式
接著將利用一例子來說明實際上的運算數學流程。考慮一函數狀態變數 u 如圖 3-4 所示，圖中輸入函數 u 共有十個狀態分別為 u1~u10，而 A、B、C、D、E、F、G、
H、I、J、K、L 代表記憶體空間的第一到最後的儲存位置。而在本例題中，一狀 態變數分別對應到 3 個記憶體位置，如 u1所對應置 A、B、C 記憶體位置，u2對 應至 B、C、D 記憶體位置，以此類推。記憶體空間數目必須要滿足 eq.(3-34)
1 _ size Ne NE
Memory
(3-34)其中 Ne 為一個狀態對應至記憶體數目，NE 為輸入狀態變數總數。本例中 NE=10，
Ne=3，帶入 eq.(3-34)，可得到 10+3-1=12。因此本例題中需要 12 個位置的記憶體
空間。由於一個狀態所對應到的記憶體位置，可用 1 來表示，而未對應的表示為 0。藉由此表示方式，可建立一轉換矩陣(mapping matrix) C 如表 3-142
43
而在本研究中，引用[6]中所提出的改良型誤差倒傳遞公式如 eq.(3-38)，因小 腦模型在實際應用時會有學習過度而導致發散的現象。因此在本研究中，特別加
3.5 干擾估測器(Disturbance Obsever)[20]
干擾估測器為構造簡單的補償系統如圖 3-5 所示，數學原理簡單、清楚，且 已廣泛應用於各種自動化工業設備中。在本研究中，將主控制器 ABSMC 結合干 擾估測器以達到雙重補償之效果，雙重補償之部分分別為(1)主控制器中的適應項
fˆ
，(2)干擾估測器。而在本小節中，將進行簡單的介紹。44
圖 3-5 干擾估測器方塊圖
在圖 3-5 中，d 為實際干擾，P(s)為系統轉移函數，Pn(s)為 nominal plant，
dˆ
為干 擾估測值，Q(s)為低通濾波器，ζ為量測訊號干擾。在此將 Q(s)假設為 1 以利推 導說明。當 Q(s)=1 時，可推導出系統轉移函數為 eq.(3-39)P d P u
d P
n
ˆ ˆ ( 1 ) 1
(3-39)由 eq.(3-39)式中可發現，當 P=Pn時，干擾的估測值
dˆ
會等於實際的干擾 d 值加上 量測雜訊ζ。而當 P 不等於 Pn時，干擾估測值dˆ
不只包含真實的干擾 d 與量測雜 訊ζ，另外還包含了系統的不確定性或是參數變異所造成的影響。而經由干擾估 測器補償後，系統的速度可表示為 eq.(3-40)
P u d d P u
x ( ˆ )
n (3-40)當 Q(s)=1 時，干擾估測器具有迴路增益為 1 的迴路，且 1/Pn(s)並不是一個真分 有理函數(proper rational function)，代表當高頻雜訊的量測訊號ζ進入系統時，將 產生過度放大的效果。因此需加入一低通濾波器 Q(s)將高頻雜訊濾除。而本研究 中，Q(s)被設計為 eq.(3-41)
s s
Q 1
，
λ>0
，τ >0
(3-41)45
利用主控制器結合干擾估測器，可將整體系統方塊圖，表示如圖 3-6 所示
圖 3-6 主控制器結合干擾估測器
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第四章 實驗設備
在本章節中，將詳細介紹實驗機台及周邊設備-其中將分別介紹鐵心式永磁同 步伺服線性馬達、驅動器、光學尺、線性滑軌、資料擷取卡及人機介面程式軟體。
整體實驗機台系統架構方塊圖如圖 4-1 所示
圖 4-1 實驗設備整體系統方塊圖
在圖 4-1 中，開回路的部分:首先電腦送出控制訊號(xd)給所設計之控制器，
控制器負責做數學演算，並將數位控制命令傳送給資料擷取卡(DAQ)，進而將數 位訊號轉換為類比的訊號，而後透過數位類比轉換器(D/A)可將理想電壓值 v*送 給訊號放大器(Amplifier)，最後透過訊號放大器將電壓轉換成三相電流並進行馬 達控制。而在閉迴路的部分:首先光學尺利用光學元件，將動子線圈的移動位置(xP) 的類比資訊傳回至資料擷取卡中(DAQ)，並藉由類比訊號轉換(A/D)將類比位置訊 號轉換為數位訊號，最後與位置命令之參考值相比較，以達到整體的精密運動的 閉迴路伺服控制。接下來將逐一介紹本研究中所使用之設備其原理及特色。
4.1 雙軸式高精密平臺整體結構
雙軸式高精密定位平臺系統之結構圖如圖 4-2 所示。其中 a.為 X 軸鐵心式同 步伺服線性馬達(LMS27)，b.為 Y 軸鐵心式同步伺服線性馬達(LMS13)，c.為真空
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吸附載臺，d.為花崗岩製的精密平臺基座。此花崗岩基座之功用為隔絕外部之輕 微性擾動及可能發生之各種干擾影響，透過加重整體系統總重量使其外部干擾不 易影響系統的控制精度 ex: 聲波、震動、推力等等。
圖 4-2 鐵心式線性伺服馬達平台結構圖
而本研究中所使用的高精密伺服平臺控制系統之實體硬體設備如圖 4-3 所示。
整體平臺之線性馬達各為獨立的單軸系統，其中 X 軸為下軸基底，Y 軸為推疊在 X 軸之上的第二維度線性馬達，此種平臺堆疊方式可達到兩維度的運動控制定位 及動態軌跡追蹤之功效。
圖 4-3 高精密度定位控制系統硬體設備架構
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4.2 鐵心式永磁同步伺服線性馬達
4.2 鐵心式永磁同步伺服線性馬達