X-Y 雙軸線性馬達之漣波效應估測

漣波效應為線性馬達在控制中的一項干擾項，造成漣波效應之形成的原因有 兩點(1)三相電流換相時的控制誤差 (2)永久磁鐵之磁場並非標準正旋波的形式。

三相電流換相之控制誤差:當變頻器與反向變流器在切換三相電源時，電流內部之 雜訊干擾與切換誤差等現象皆會造成三相電流品質下降，導致線性馬達的磁推力 不穩定。永久磁鐵之分佈並分標準正旋波:在線性馬達之永久磁鐵與電樞線圈之交 互感應磁場當中，由於其磁場形狀並非為標準理想形式，而導致線性馬達在移動 的過程當中，產生顫抖的現象。

由於漣波效應是隨著位置及速度而產生不同的干擾模型，故很難用數學模型 方式加以描述。因此，在本論文中，我們運用線性馬達在定速度控制下的速度曲 線，觀察漣波效應在不同的速度下所產生的干擾關係，如此能有利於後續的高階 控制器設計。

為了達到前述章節所提的速度控制之目的，在此我們設計一變速度控制器 (VSC)，並藉由變速度控制器的切換控制安排，得以使的線性馬達完成加速等速 與減速之目的。接著將說明變速度控制器的設計方式。

變速度控制器包含了三個子速度控制器，而此三個子速度控制器為 VSC 的關 鍵核心，藉由三個子速度控制器，將分別完成加速、等速、減速之速度控制。而 其中 VSC 速度控制的切換過程如圖 2-12 所示

圖 2-12 變速度控制器切換步驟示意圖

25

26

27

接著再考慮此等速度控制階段之系統穩定原則 eq.(2-39)，並整合 eq.(2-32)，則可 得到系統穩定之參數設定範圍，如 eq.(2-40)與 eq.(2-41)示

28

態移動，接下來依然要設定控制系統穩定性之條件，如 eq.(2-44)所示，並整合 eq.(2-32)，則可得到系統穩定之參數設定範圍，如 Eq.(2-45)與 Eq.(2-46)所示，

3 0

29

圖 2-15 等速在 150mm/s 時速度曲線 圖 2-16 等速在 200mm/s 時速度曲線

圖 2-17 等速在 250mm/s 時的速度曲線

圖 2-13 為 X 軸在等速度 50mm/s 控制下速度曲線圖，圖 2-14 為 X 軸在等速度 100mm/s 控制下速度曲線圖，圖 2-15 為 X 軸在等速度 150mm/s 下的等速度曲線，

圖 2-16 為 X 軸在等速度 200mm/s 控制下的速度曲線，圖 2-17 為 X 軸在等速度 250mm/s 控制下的速度曲線。從圖 2-13 中很明顯的可以發現漣波效應對於速度的 干擾影響，原本應該為一等筆直線的等速度控制段，卻因為漣波效應的干擾，而 導致等速度段產生了跳切的現象。在圖 2-13 及 2-14 中發現，漣波效應在慢速前 進時，對於定位的干擾將顯得嚴重，在圖 2-15、2-16、2-17 中，隨著控制速度逐 漸上升，漣波效應的干擾影響越趨近緩和。

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 Y 軸在定速下，漣波效應與速度實驗曲線圖

圖 2-18 等速在 50mm/s 時的速度曲線 圖 2-19 等速在 100mm/s 時的速度曲線

圖 2-20 等速在 150mm/s 時的速度曲線 圖 2-21 等速在 200mm/s 時的速度曲線

圖 2-22 等速在 250mm/s 時的速度曲線

圖 2-18 為 Y 軸在等速 50mm/s 時的速度曲線，圖 2-19 為 Y 軸在等速 100mm/s 時 的速度曲線，圖 2-20 為 Y 軸在等速 150mm/s 時的速度曲線，圖 2-21 為 Y 軸在等

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速 200mm/s 時的速度曲線，圖 2-22 為 Y 軸在等速 250mm/s 時的速度曲線。其中 從圖 2-18~2-22 可發現，Y 軸的漣波效應干擾比起 X 軸的漣波效應干擾將有著更 高頻率的跳切現象，但 Y 軸跳切現象的震幅相對起 X 軸的跳切現象曲線略小了 一些，且不論在低速或是高速的情況下，漣波效應皆呈現此種趨勢。這意味著漣 波效應在不同馬達規格下擁有不同的頻率及震幅的漣波效應干擾存在。

在本章節中，我們設計了一變速度控制器 VSC 並對馬達執行變速度的命令控制，

同時藉由加速、等速度控制執行，得以估測出 X-Y 雙軸線性馬達在不同速度下的 干擾響應圖形。由於漣波效應的存在，將影響著雙軸式高精密伺服控制的精密定 位性能，因此在後續的章節中，我們將藉由高階非線性位置控制器的設計，達成 補償漣波效應及其他非線性干擾項之影響。詳細說明於第三章控制器設計中呈 現。

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第三章 控制器理論及設計

3.1 控制系統[15]

控制系統如機械控制系統、電機控制系統、化工程序控制系統等，皆是屬於 平常普遍常見性的控制裝置。在此將先以”輸入訊號-輸出訊號”之間的行為，

來討論控制系統的性質該如何描述。首先須將系統方塊圖簡化如下圖 3-1 所示。

圖 3-1 系統簡圖

其中系統用符號 P 代表、目的用 u 表示、反應結果用 y 表示，其數學方程式表示 為 eq.(3-1)

  ^{t P}   ^u   ^t

y 

(3-1)

其中 P 可用轉移函數或狀態方程式加以描述，在本節當中暫時先不考慮數學模型 表示。目前 P 可視為數學上的運算子或映射，其意義可解釋為『對於任一函數 u，

P 將 u 運算成 y 或 P 將 u 映射為 y』

。以下將介紹四種常應用於控制中的物理系統 其輸入與輸出間的數學表示方式。

 鬆弛系統(Relaxed system)

鬆弛系統泛指一切不儲存能量的物理系統，對控制系統而言及代表初始值為 零。若系統的輸入、輸出滿足 eq.(3-2)，則可表示為鬆弛系統，反之則為非鬆弛 系統。

  t  0 , t   t

₀

,    y   t  P   u   t  0 , t   t

₀

,  

u

(3-2)

在鬆弛系統中，其系統輸出將唯一由系統輸入所決定。

33

 線性系統(Linear System)

對系統方程式 eq.(3-1)而言，若系統的輸入、輸出訊號滿足方程式 eq.(3-3)、

eq.(3-4)，則定義為線性系統，反之則為非線性系統。

   

 ^{c u t c u t}  ^P  ^{c u}   ^t  ^P  ^{c u}   ^t  ^{c c R}

P

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2}

, 、

_{1 2}



(3-3)

 ^cu   ^t  ^cP   ^u   ^{t c R}

P  , 

(3-4)

其 中 eq.(3-3) 代 表 線 性 系 統 特 有 的 加 成 性 (additivity) ， eq.(3-4) 代 表 齊 次 性 (homogenity)。線性系統之特性是具有重疊性質(superposition)。其中需要特別注 意到線性系統的初始值在 t=t₀時必須為零，若不為零的系統將不滿足線性系統定 義。

 非時變系統(Time-Invariant System)

一控制系統方程式如 eq.(3-1)，其輸入、出訊號滿足方程式 eq.(3-5)，則為非 時變系統，反之為時變系統。即表示輸出訊號隨著輸入訊號之延遲而產生相同的 時間區間延遲。大部分在物理界的系統皆為時變系統，因其對於系統內部的變化 難以得知，因此時變系統常用狀態方程式表示。

 ^{t  }  ^{ P}  ^u  ^{t  }   ^{,   0}

y

(3-5)

 因果系統(Causal System)

若現在的輸出行為只受到現在或過去的輸入所影響，則定義為因果系統，反 之，若系統未來的輸入，並不會影響或改變現在及過去的輸出行為，則稱之為非 因果系統(noncausal system)。

本研究中的受控體鐵心式同步伺服線性馬達，可歸類於具備鬆弛特性的時變 非線性系統。在未被激磁的情況下，馬達內部不存在著任何能量，且由於線性馬 達在使用上有著內部及外部之非線性干擾項，如漣波效應、摩擦力、參數變異等 等。導致線性馬達於精密定位中效能受到影響。這也是本研究所面臨的挑戰之處。

在後續的章節中，將說明如何運用控制器設計補償各種干擾項。

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3.2 Lyapunov 穩定性理論[16,17]

Lyapunov 穩定性理論其觀念主要源自於古典力學，用以敘述一系統若屬於穩 定，其系統總能量將呈現隨時間的變化連續性地遞減至系統平衡狀態。在此將概 略性介紹其穩定法則。

對於一個非線性自律系統，如下 eq.(3-6)所示，

  t x f

x   ,

_，

_{t  0}

(3-6) 對於原點之平衡狀態為穩定，倘若存在一 Lyapunov 正定函數 V，一次微分值會小 於等於零如 eq.(3-7)所示

  t ^, x  ⁰

V

，

t  0

，

 x  B

_R (3-7) 則能保證系統狀態為有界，若其一次微分小於零，如 eq.(3-8)所示

  t , x  0

V

，

t  0

，

 x  B

_R (3-8) 則將能確保系統狀態會呈現穩定收斂情形，若其一次微分小於等於-2γV，如下方 程式 eq.(3-9)所示

  t x V   x

V  ,   2 

_，

t  0

，

  0

(3-9) 則能確保系統狀態呈現指數收斂情形，其中

γ 為穩定收斂律。

Barbalat 引理主要用以判斷 Lyapunov 函數的一次微分是有界的或是漸進穩 定收斂。當系統只能確保一次微分小於等於零時，而其一次微分小於零又很難證 明。此時則 Barbalat 引理則能應用於判斷其是否為有界。如果 f(t)為可微分且在時 間 t→∞時為有界值，且

f   t

一均勻連續函數，則

f    t  0

當 t→∞。但

f   t

為連續 函數很難判斷時，則運用

f    t

是否有界來判斷

f   t

是否為一均勻連續函數，若

 f   t

為有界，則

f   t

為一均勻連續函數。

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3-3 控制器設計-適應性步階迴歸滑模控制器設計

適應性步階滑模控制器(Adaptive backstepping sliding mode controller)為本研 究的主控制器。滑模控制器具有良好對抗匹配式雜訊之功效[19]，而在線性馬達 的控制中，雜訊包含有漣波效應、摩擦力、三相電流訊號非完整正旋波等等。因 此導致線馬在控制中無法達到理想的預設值。滑模控制器能有效克服此種干擾之 問題。然而在滑模控制中，雖然能有效對抗匹配式雜訊，但卻也有著無可避免的 問題為跳切現象及不合理高增益輸入，此兩種問題也是多方學者探討之議題。其 中最常見的改善跳切現象之方式為加入滑膜層概念(Sliding layer)或是將符號函數 修改為飽和函數，以減緩跳切現象。而適應控制的加入其主要目的為補償馬達系 統中的非模型化之干擾，並將其補償回控制器中。因此本研究中之主控制器設計，

結合了兩種不同控制法則之優點，以提高精密控等級。接著將詳細敘述適應性步 階迴歸滑模控制器之設計流程。

首先須考量線性馬達在操作情形中的參數變異、漣波效應、摩擦力、負載重 量之影響，因此將鐵心式同步伺服線性馬達之狀態空間 eq.(2-20)修改為 eq.(3-10)

2

1

X

X





)

( )

( )

(

₂

2

A

m

A X B

m

B u C

m

F

L

F

ripple

F

fiction

X          

_(3-10)

X

1

Y 

其中變數 X₁為馬達動子位移、X₂為線性馬達的動子速度、u 為電流控制輸入命令

i

_q；而 A_m=-B/M，B_m=K_t /M，C_m=-1/M 代表系統參數不隨環境干擾而改變之系統參 數(nominal system)；而 ΔA、ΔB 為參數變異項。F_L為外部負載之重量、F_ripple為漣 波效應之影響、F_fiction為摩擦力干擾之影響。重新定義 eq.(3-10)為 eq.(3-11)

2

1

X

X  

36

Lyapunov function1 微分將 eq.(3-12)~(3-14)、(3-16)帶入(3-15)整合為 eq.(3-17)

1

在此假設干擾總和

f  f

_max為有界(bounded)，並定義 Lyapunov function2 與滑動函 數 S 分別如 eq.(3-19)、(3-20)所示

37

38

Step 3: 定義 Lyapunov function3 如 eq.(3-29)所示

2 依照 eq.(3-30)式，可將步階滑模控制器之輸入 eq.(3-22)修改為 eq.(3-31)

))]

39

40

圖 3-2 混和型控制器與系統方塊圖

 一維小腦模型類神經演算法

小腦模型演算法是模仿人類小腦演算流程，首先在說明之前必須要先建立模 型基礎架構，(1)記憶體空間(Memory)、(2)映射矩陣(Mapping Matrix)，接著將描 述一週期內之演算流程。先將取樣點的狀態變數資訊利用映射技巧平均儲存入映 射矩陣所對應之記憶體空間，將其記憶體資訊加總後輸出並與實際值相比較，可 得到學習誤差，最後將其平均存入回所對應到之記憶體空間中。整體流程可如圖 (3-3)所示。

圖 3-3 小腦演算法之流程圖

41

圖 3-4 一維小腦模型輸入狀態與分割方式

接著將利用一例子來說明實際上的運算數學流程。考慮一函數狀態變數 u 如圖 3-4

接著將利用一例子來說明實際上的運算數學流程。考慮一函數狀態變數 u 如圖 3-4

在文檔中 鐵心永磁同步線性伺服馬達應用於雙軸高精密伺服平臺之運動控制器設計及效能分析 (頁 39-0)