(3.70) 雖然這二組場方程式看起來非常的複雜，但是我們仍然必須利用這二組場方程 式，直接地推導各種物理或是宇宙模型的動力學性質。
3.3 撓率張量的對稱性與分量
在彭卡瑞規範重力理論中，撓率張量的定義如式 (3.11)，也就是說撓率張量可 由四重軸場經協變微分後得出。然而，給定一度規張量後雖然可適當地拆解出 一組四重軸場{eiα}，但是我們仍然無法完全決定出另一組規範位 − 勞倫茲聯絡 {Γiαβ}
。雖然式 (3.19) 似乎給出勞倫茲聯絡的關係，但是其中卻仍含有未知的撓 率張量。換句話說，如果能確定勞倫茲聯絡就能得出撓率張量；或是確定撓率張 量的各個分量，也可反過來得到勞倫茲聯絡或是線性聯絡。這是一個雞生蛋、蛋 生雞的問題。因為場方程式的數目 (10 條第一場方程式 + 40 條第二場方程式) 大 於撓率張量的獨立分量數目 (40 個獨立分量)，所以理論上可以將撓率張量的各 個分量都當成未知函數，代入二組場方程式中就可以完整地解出撓率張量的各分 量。然而，實際上這是非常複雜的工作甚至有可能無法成功。幸好，我們可以藉 由討論空間對稱性的性質，來化簡撓率張量不為零的分量數目並了解各分量之間 的關聯性。
若考慮四維空間具有球對稱的特性，並且在同一點上只有座標軸轉動，則轉動 前的座標可標示為{t, r, θ, ϕ}，轉動後的座標可標示為 {t′ = t, r′ = r, θ′ = θ′(θ, ϕ),
ϕ′ = ϕ′(θ, ϕ)}。二座標之間的轉換矩陣 aij 可寫成
aij = ∂xi
∂yj =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos ξ − sin ξ 0 0 sin ξ cos ξ
, (3.71)
其中 ξ 為 θ, ϕ 的函數可標為 ξ = ξ(θ, ϕ)。若一個具有球對稱的張量，在上述的矩 陣轉換後應該要保持原來的形式，即 (T···...)′ = (T···...)。因此，此種張量不能為 (θ, ϕ)的函數，而只能是 (t, r) 的函數為 T···...(t, r)。以一個 3-秩張量為例 (撓率張 量為 3-秩張量)，其座標間的轉換關係則是
Tijk′ = ∂xa
∂x′i
∂xb
∂x′j
∂xc
∂x′kTabc. (3.72) 我們可分為幾種情形來探討不為零的分量數目及形式：
1.) 不包含 (θ, ϕ) 指標的分量，則下標有 (t, r) 兩種選擇如
Tt′t′t′ = Tttt, Tt′t′r′ = Tttr, Tt′r′t′ = Ttrt, Tr′t′t′ = Trtt, Tt′r′r′ = Ttrr, Tr′t′r′ = Trtr, Tr′r′t′ = Trrt, Tr′r′r′ = Trrr,
(3.73)
因此，有 8 個不為零的分量。
2.) 若只包含一個 θ 或是 ϕ，則張量的轉換為
Tijθ′ = cos ξ Tabθ− sin ξ Tabϕ = Tabθ, (3.74)
其中下標 a, b 或是 i, j ，各代表 t 或 r。若三個下標是循環的並對任意的 ξ 都成立，
則
Tabθ = Tabϕ= Taθb = Taϕb = Tθab = Tϕab= 0, (3.75)
共有 24 項為零。
3.) 若包含 θθ, ϕϕ, θϕ 時，以 θθ 為例轉換關係可寫成
Taθ′θ′ = cos2ξTaθθ − cos ξ sin ξTaθϕ+ sin ξ cos ξTaϕθ+ sin2ξTaϕϕ= Taθθ, (3.76)
其中 a 代表 t 或 r 。我們可得到
Taθθ = Taϕϕ, Tθaθ = Tϕaϕ, Tθθa = Tϕϕa, Taθϕ=−Taϕθ, Tθaϕ =−Tϕaθ, Tθϕa=−Tϕθa,
(3.77)
共有 12 項不為零。
4.) 完全不包含 (t, r) 指標者，以 Tθθθ 為例
Tθ′θ′θ′ = cos3ξTθθθ − cos2ξ sin ξ(Tθθϕ+ Tθϕθ) + cos ξ sin2ξTθϕϕ
− sin3ξTϕϕϕ+ sin2ξ cos ξ(Tϕϕθ+ Tϕθϕ)− sin ξ cos2ξTϕθθ,
(3.78)
則得 Tθθθ = 0, Tϕϕϕ = 0，且
Tθθϕ+ Tθϕθ+ Tϕθθ= 0 Tϕθϕ + Tϕθθ+ Tϕϕθ = 0
(3.79)
同理，對其他分量也有類似關係，由此可歸納出
Tmmm = Tmmn = Tmnm = Tnmm= 0, (3.80)
其中 m, n 各代表 θ 或是 ϕ，則共有 8 項為零。因此，對於球對稱的 3-秩張量而 言，則有 32 個不為零的分量，其中具有 20 個獨立分量。若再考慮撓率張量的反 對稱關係 Fαβγ =−Fβαγ，即下標 α, β 為反對稱，則
Tttt= Tttr = Trrt = Trrr = Tθθt= Tϕϕt = Tθθr = Tϕϕr = 0. (3.81)
對於具有球對稱以及反對稱性質的 3-秩張量而言，只剩下 8 個獨立項和 24 個不為 零的分量，其形式為
Ttrt =−Trtt, Ttrr =−Trtr, Tθϕt =−Tϕθt, Tθϕr=−Tϕθr, Ttθθ = Ttϕϕ =−Tθtθ =−Tϕtϕ, Trθθ = Trϕϕ =−Tθrθ =−Tϕrϕ, Ttθϕ = Ttϕθ =−Tθtϕ =−Tϕtθ, Trθϕ= Trϕθ =−Tθrϕ=−Tϕrθ.
(3.82)
若再加上反射對稱的關係，即從 z 軸換到−z 軸，則 θ′變成 π− θ 。因此，張量就 不會具有單一的 θ 與 ϕ 或是三個都是 θ 及 ϕ 的指標，則
Ttθϕ = Trϕθ = Tθϕt = Tθϕr = 0. (3.83)
因此，如果考慮空間球對稱的特性加上反射對稱以及張量本身前二個下標反對稱 的情形，3-秩張量只存在 4 個獨立項以及 12 個不為零的分量，其形式如下：
Ttrt =−Trtt, Ttrr =−Trtr,
Ttθθ = Ttϕϕ=−Tθtθ =−Tϕtϕ, Trθθ = Trϕϕ =−Tθrθ =−Tϕrϕ.
(3.84)
這個結果與 Baekler 及 Hehl 在 1983 年的論文 [29] 中，所採用的撓率張量分量形式 是一樣的。