5.3 太陽系測試
5.3.2 檢驗二
因此，當 Λ≪ κ 時，就可滿足太陽系的測試。
其中的 α1,2,..., β1,2,... 表示不同的修正參數。將此度規形式利用 TPGT 的方法，並 選用適當的拉格朗日量與場方程式，試著解出各係數的關係，再對照現有的觀測 數據約束修正項，或許能解出最符合觀測的物理模型，並得出各常數的上下限範 圍。這是我們下一個主要的研究目標。
Chapter 6
結論
這篇論文的主要工作是研究 TPGT 在宇宙尺度上產生的效應。我們利用強迫黎 曼曲率為零產生絕對平行化的空間，並以此約束撓率張量各分量的形式。將絕對 平行化後的撓率張量分量代入場方程式中計算，我們得到一個與廣義相對論中弗 里德曼方程完全等價的絕對平行化彭卡瑞宇宙。而在此架構中，撓率純量T 所產 生的膨脹效應，很自然地對應到宇宙常數 Λ 的角色，及狀態方程 w =−1 的德西 特膨脹宇宙。
與在本質上消除掉勞倫茲聯絡使得曲率為零的絕對平行重力相比較，TPGT 不 會受困於破壞局域勞倫茲對稱性所導致的問題。在 PGT 架構下，強迫曲率為零 的絕對平行化條件在推導計算過程中就像是規範場的約束條件。此約束條件會去 除掉在絕對平行重力中選擇規範場時產生的混淆，克服規範場選擇的爭議，也簡 化許多計算上的困難度。在論文 [26, 27, 49] 中，必須對規範位大費周章地轉換 成 “適宜” 但卻形式複雜的四重軸規範位，才能得到良好的物理結果。我們利用 TPGT 的方法，只要選擇最簡單對角化的四重軸規範位，就可得出可行且實用的 動力學結果。
一般來說，引入絕對平行化條件的方式有二種：一種是直接代換法，另一種 則是拉格朗日乘數法 (Lagragian multipliers)。在我們論文中選擇使用第一種直接代 換的方法，也就是強迫曲率變數為零而產生絕對平行化的限制條件。利用此限制 條件得到撓率張量的確定形式，並直接代回場方程式計算得出不含約束條件的動
力學結果。在本文的第四章中，已經清楚地證明此方法是直接而且有實質上的效 率。而論文 [28, 30] 中討論的拉格朗日乘數的步驟，在推導絕對平行化的動力學 方程式時會有實際上的難度，原因在於此處的拉格朗日乘數並非常數，而是含有 獨立時空座標函數的未知四 -秩張量。
在絕對平行化的架構下，當我們考慮含有可當成彭卡瑞撓率源頭的自旋流體 時，將含有自旋能量密度的自旋角動量張量代入第二場方程式，會重新得到耦合 常數與自旋能量密度的重要關係式。藉由此關係式，可推導出弗里德曼方程中的 總能量密度會含有自旋能量密度。然而，一個塵埃自旋流體含有的自旋能量密度，
雖然對於總能量密度有正的貢獻，但依附在一般塵埃物質上狀態方程 w = 0 的自 旋能量密度，其大小隨著宇宙的演化卻呈現非常快速的衰減 (正比標度因子的負六 次方)。因此，在不考慮狀態方程 w =−1 的真空零點能量的情況下，同樣具有狀 態方程 w =−1 的真空自旋能量密度，就可被認為是造成宇宙後期加速膨脹的源 頭。宇宙學家一直企圖要解決宇宙常數問題或稱為暗能量問題，也就是為什麼暗 能量遠小於已知的任何能量尺度，甚至在某些對稱性情況下的理論預測為零。本 研究的結果，或許為我們提供另一條思考能量形式來源的方向。原本所謂的真空 能量常被想成是真空零點能量的起伏。但是，真空自旋能量應該是考慮成真空自 旋排列分佈所產生的能量密度，這跟零點能量是有相當大的不同。了解真空中微 觀的自旋結構是非常有趣的議題，我們將研究它在宇宙大尺度範圍的各種效應。
更進一步地，希望建構出能自然地產生自旋角動量張量形式的拉格朗日量。
如果 TPGT 要成為一個有效可行的理論，則必須符合觀測資料上的限制與要 求。因此，我們在太陽系尺度範圍利用靜態球狀對稱度規對 TPGT 進行測試，推 導出滿足絕對平行化條件的撓率張量形式，並且得到唯一一組適用的耦合常數，
d1 =−1/κ, d2 = 0, d3 = −2/κ。依此結果，可確定唯一適用於靜態球狀對稱度規 的拉格朗日量形式。從選取已知度規的測試中，我們發現史瓦西 -德西特度規是完 全符合 TPGT 理論的真空精確解。此外，二個由史瓦西 -德西特度規推導出具有修 正項且已通過太陽系測試的度規模型，都是 TPGT 理論的真空近似解。因此，我 們試著想發展出一個適當參數化的度規，期望能符合 TPGT 理論且滿足太陽系觀 測資料的要求。藉由此度規模型，希望可對許多等待決定的常數或是參數找出更
精確的上下限範圍。
附 錄 A
當 i = r 時所有分量：
當 i = θ 時所有分量：
當 i = ϕ 時所有分量：
參 考 文 獻
[1] A. G. Riess et al. Astron. J., 116:1009, 1998.
[2] S. Perlmutter et al. Astrophys. J., 517:565, 1999.
[3] E. Komatsu et al. Astrophys. J. Suppl., 192:18, 2011.
[4] M. Tegmark et al. Phys. Rev. D, 69:103501, 2004.
[5] S. Weinberg. Rev.Mod.Phys., 61:1–23, 1989.
[6] I. Zlatev, L. Wang, and P. J. Steinhardt. Phys.Rev.Lett., 82:896–899, 1999.
[7] T. P. Sotiriou and V. Faraoni. Rev. Mod. Phys., 82:451, 2010.
[8] H. A. Buchdahl. Mon.Not .Roy .Astron. Soc., 150:1, 1970.
[9] G. Bengochea and R. Ferraro. Dark torsion as the cosmic speed-up. Phys. Rev. D, 79:124019, 2009.
[10] E. V. Linder. Phys. Rev. D, 81:127301, 2010.
[11] S. Capozzielo, V. F. Cardone, H. Farajollahi, and A. Ravanpak. Phys. Rev. D, 84:043527, 2011.
[12] K. Bamba, R. Myrzakulov, S. Nojiti, and S. D. Ofinydon.Phys. Rev. D, 85:104036, 2012.
[13] C.-Q. Geng, C.-C. Lee, E. N. Saridakis, and Y.-P. Wu.Phys. Lett. B, 704:384, 2011.
[14] J. Khoury and A. Weltman. Phys. Rev. Lett., 93:171104, 2004.
[15] J. Khoury and A. Weltman. Phys. Rev. D, 63:044026, 2004.
[16] E. Barausse, T. P. Sotiriou, and J. C. Miller. Class. Quant. Grav., 25:105008, 2008.
[17] V. C. de Andrade, L. C. T. Gullien, and J. G. Pereira. Teleparallel gravity: An overview. talk given at the IX Marcel Grossmann Meeting, Rome, Italy, July, 2000.
arXiv:gr-qc/0011087.
[18] R. Aldrovandi and J.G. Pereira. An introduction to teleparallel gravity. http://
www.ift.unesp.br/users/jpereira/tele.pdf.
[19] J. W. Maluf. Annalen der Physik, 525:339, 2013.
[20] T. Sauer. Historia Math., 32:339, 2006. arXiv: physics/0405142.
[21] V. C. de Andrade and J. G. Pereira. Phys. Rev. D, 56:4689, 1997.
[22] H. I. Arcos and J. G. Pereira. Torsion gravity: a reappraisal. Int. J. Mod. Phys. D, 13:2193, 2004.
[23] R. Ferraro and F. Fiorini. Phys. Rev. D, 75:084031, 2007.
[24] B. Li, T. P. Sotiriou, and D. Barrow. Phys. Rev. D, 83:064035, 2011.
[25] T. P. Sotiriou, B. Li, and D. Barrow. Phys. Rev. D, 83:104030, 2011.
[26] N. Tamanini and C. G. Bohmer. Phys. Rev. D, 86:044009, 2012.
[27] N. Tamanini and C. G. Bohmer. arXiv:1304.0672.
[28] F. W. Hehl. Four lectures on poincaré gauge field theory. In P. G. Bergamann and V de Sabatta, editors,Cosmology and Gravitation on Spin, Torsion and Supergravity, page 5. Plenmun, New York, 1980.
[29] P. Baekler and F. W. Hehl. A micro-de sitter spacetime with constant torsion: A new vacuum solution of the poincaré gauge field theory. In K Kikkawa, N. Nakanishi, and H. Nariai, editors, Lecture Notes in Physics: Gauge Theory and Gravitation, page 1. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983.
[30] M. Blagojevic. Three lectures on poincaré gauge theory. SFIN A, 1:147, 2003.
arXiv: gr-qc/0302040.
[31] H. Goenner and F. Müller-Hoissen. Class. Quant. Grav., 1:651, 1984.
[32] H-J. Yo and J. M. Nester. Dynamic scalar torsion and an oscillating universe. Mod.
Phys. Lett. A, 22:2057–2069, 2007.
[33] K-F. Shie, J. M. Nester, and H-J. Yo. Torsion cosmology and the accelerating uni-verse. Phys. Rev. D, 78:023522, 2008.
[34] X.-C. Ao and X.-Z. Li. JCAP, 02:003, 2012.
[35] H.-H. Tseng, C.-C. Lee, and C.-Q. Geng. JCAP, 11:013, 2012.
[36] L. L. Smalley and J. P. Krisch. Class. Quant. Grav., 11:2375, 1994.
[37] F. W. Hehl, P. von der Heyde, G. D. Kerlick, and J. M. Nester. General relativity with spin and torsion: Foudations and prospects. Rev. Mod. Phys., 48:393, 1976.
[38] F. W. Hehl, P. von der Heyde, and G. D. Kerlick. General relativity with spin and torsion and its deviations from einstein’s theory. Phys. Rev. D, 10(4):1066, 1974.
[39] Yu N. Obukhov and V. A. Korotky. Class. Quant. Grav., 4:1633, 1987.
[40] M. Szydłowski and A. Krawiec. Phys. Rev. D, 70:043510, 2004.
[41] Lewis Ryder. Introduction to GENERAL RELATIVITY. Combridge, 2009.
[42] G. J. Olmo. Phys.Rev.D, 77:084021, 2008.
[43] Valerio Faraoni. Class. Quant. Grav., 26:168002, 2009.
[44] Yi Zhang, Hui Li, Yungui Gong, and Zong-Hong Zhu. JCAP, 07:015, 2011.
[45] M. Tsamparlis. Phys. Lett. A, 75A:27–28, 1979.
[46] Planck Collaboration. arXiv:1303.5076.
[47] L. Iorio and E. N. Saridakis. Mon.Not.Roy.Astron.Soc., 427:1555, 2012.
[48] Yi Xie and Xue-Mei Deng. MNRAS, 433(4):3584–3589, 2013.
[49] M.I.Wanas and H.A.Hassan. arXiv:1304.0672.
[50] R. Ferraro. AIP Conf. Proc., 1471:103–110, 2012.
[51] S. Weinberger. Rev. Mod. Phys., 61:1, 1989.
[52] L. Amendola, M. Quartin, S. Tsujikawa, and I. Waga. Phys. Rev. D, 74:023525, 2006.
[53] F. Fiorini and R. Ferraro. Int. J. Mod. Phys. Conf. Ser., 3:227, 2011.