絕對平行重力理論

(Tijk− Tjk

i+ T^kij

) (2.55)

稱為共撓率張量。以上所討論的幾何性質，是以四重軸以及勞倫茲聯絡的形式建 構在黎曼 -卡坦空間 U4(Riemann-Cartan spaceU₄) 中。

2.3.1 絕對平行重力理論

在 T₄ 空間中，只考慮以撓率來描述重力自由度的重力理論，傳統上被稱為

“絕對平行重力理論 (Teleparallel Gravity，簡稱 TG)”。要討論此 T₄ 空間中的規範 變換，必須引入一個規範位 B_i，其符合移動群 (translational group) 關係

Bi = Biα

Pα. (2.56)

對物質場 ψ 的一般微分關係則可寫為

hiψ = ∂iψ + Biα

∂αψ = (∂ix^α+ Biα

) ∂αψ. (2.57)

定義含有規範位 B_i的四重軸場可寫成

h_i^α = ∂_ix^α+ B_i^α, (2.58)

其中 e_i^α= ∂_ix^α，而時空座標中的度規張量可寫成

g_ij = h_i^αh_j^βη_αβ. (2.59)

由式 (2.57) 與式 (2.58) 可得出

h_iψ = h_i^α∂_αψ. (2.60)

在局域勞倫茲轉換下，h_iψ → U(Λ)hiψ，則

h_i^α = ∂ix^α+ ˜Aiβα

x^β+ Biα

, (2.61)

其中 ˜A_iβ^α = Λ^β_γ∂_iΛ_α^γ稱為勞倫茲聯絡或是自旋聯絡 ³。定義勞倫茲協變微分為

D˜ix^α= ∂_ix^α+ ˜A_iβ^αx^β. (2.62)

因此，四重軸場可寫成

h_i^α = ˜Dix^α+ B_i^α, (2.63) 而規範位 B_i^α在規範移動 δx^α = ϵ^α 下的轉換可寫為

δBiα

=− ˜Diϵ^α. (2.64)

一般的線性聯絡定義為

Γ˜ijk

= h^kβ∂ihjβ

+ h^kβA˜iαβ

hjα ≡ h^kβD˜ihjβ

, (2.65)

由 (2.46) 式可知 (2.65) 恆等於

∂_ih_j^β − ˜Γij^kh_k^β+ ˜A_iα^βh_j^α = 0. (2.66)

如果勞倫茲聯絡完全不呈現重力的效應，就像是在慣性系統中一樣，則具有如此 聯絡特性的重力理論就會對應到曲率為零的絕對平行重力。如果直接消除自旋聯 絡或是勞倫茲聯絡的效應，也就是令 ˜A_iα^β 為零，則曲率效應會被完全消除掉。因 此，式 (2.66) 可簡化成

∂_ih_j^β − ˜Γij^kh_k^β = 0, (2.67)

3所有與絕對平行重力聯絡相關的量都標記”∼”

這稱為絕對平行化的條件，也是將具有此特性的重力理論稱為絕對平行重力的原 因。因此，線性聯絡就退化成如下的特殊形式，

Γ˜_ij^k = h^k_β∂_ih_j^β, (2.68)

此種特殊聯絡稱為威正柏克聯絡。威正柏克聯絡會完全消滅曲率張量的效應，

R˜ijkl

= ∂iΓ˜jkl− ∂jΓ˜ikl

+ ˜ΓimlΓ˜jkm− ˜ΓjmlΓ˜ikm

= 0, (2.69)

這正是絕對平行重力理論的目的。威正柏克聯絡與克里斯托菲聯絡的關係為

Γ˜ijk

= ¯Γijk

+ ˜Kijk

, (2.70)

其中共撓率張量為

K˜_ij^k= 1 2

(T˜_ij^k− ˜T_j^k_i+ ˜T^k_ij )

, (2.71)

而威正柏克撓率則定義為

T˜_ij^k = ˜Γ_ij^k− ˜Γjik, (2.72)

或寫成四重軸場的微分形式

T˜_ij^β = ˜Dih_j^β− ˜Djh_i^β. (2.73)

利用去除一般線性聯絡中的自旋聯絡，在本質上就會一併消除空間中以曲率描述 重力的部分，而只留下撓率做為描述重力的自由度。

在動力學性質方面，若考慮質量 m 的自由粒子作用量為

W = −mc

∫ _b

a

u_α [

dx^α+ ˜A_iβ^αx^βdxⁱ+ B_i^αdxⁱ ]

, (2.74)

對 xⁱ+ δxⁱ 變分得到

δW = −mc

∫ b a

[h^αδuα+ uαdδx^α+ uαδ ˜Aiβα

x^βdxⁱ+ uαA˜iβα

δx^βdxⁱ + u_αA˜_iβ^αx^βδdxⁱ+ u_αδB_i^αdxⁱ+ u_αB_i^αδdxⁱ],

(2.75)

其中 h^α = dx^α+ ˜A_iβ^αx^βdxⁱ+ B_i^αdxⁱ。若使用以下條件

h^αδu_α = 0, δx^α= ∂_ix^αδxⁱ, δ ˜A_iβ^α = ∂_kA˜_iβ^αδx^k, δB_i^α = ∂_kB_i^αδx^k, (2.76)

代入 (2.75) 式後可得出

δW =

∫ b a

[ h_i^α

(du_α

ds − ˜A_kα^βu_βu^k )

− ˜T_ik^βu_βu^k ]

δxⁱds. (2.77)

若任意的 δxⁱ 彼此獨立再利用最小作用量原理 (δW = 0)，則得出運動方程式

du_α

ds − ˜A_kα^βu_βu^k = ˜T_αk^βu_βu^k. (2.78) 利用恆等式 [18]

T˜_αk^βu_βu^k =− ˜K_αk^βu_βu^k, (2.79)

運動方程式 (2.78) 可重寫為

duα

ds − ˜A_kα^βu_βu^k = ˜K_kα^βu_βu^k, (2.80) 對應到時空座標下的形式則為

du_i

ds − ˜Γijku_ku^j = ˜T_ij^ku_ku^j. (2.81) 這就是質量為 m 的粒子在重力場中的絕對平行運動方程式，等同於一個由撓率扮 演類似勞倫茲力的力方程式。在絕對平行重力中，重力不再是幾何化的，而是透

過撓率所呈現出 (牛頓意義下) 的交互作用力。由式 (2.80) 可知

du_α ds −(

A˜kαβ − ˜Kkαβ)

uβu^k= 0, (2.82)

再透過式 (2.54) 的關係，可得到

A˜_iα^β− ˜K_iα^β = ¯A_iα^β. (2.83)

將式 (2.83) 代回式 (2.82)，平行重力的運動方程式就會回復到廣義相對論的測地線 方程式

du_α

ds − ¯A_kα^βu_βu^k = 0. (2.84) 但這與廣義相對論有本質上的不同：在廣義相對論中，基於等效原理使得時空曲 率完全等同於重力場，重力的效應由粒子在彎曲空間中的運動軌跡所呈現；因此，

幾何完全取代了重力。但在絕對平行重力中，撓率並不用來幾何化重力，而是以 交互作用力的方式來彰顯重力效應，其力方程式 (2.81) 可類比於電動力學中的勞 倫茲力方程式。所以，絕對平行重力理論可視為一種規範理論 [17, 18, 19, 21]。

一般描述絕對平行重力的作用量寫成

W_TG =

∫

d⁴x ˜LTG = 1 16πG

∫

d⁴x h ˜T , (2.85)

其中 h = det(h_i^α)，而 ˜T 為撓率純量，定義為

T˜ ≡ ˜S^kijT˜_kij. (2.86)

若選擇一適當形式的超級位 (superpotential) ˜S^kij，

S˜^kij =− ˜S^kji = ˜K^ijk− g^kjT˜^mi_m+ g^kiT˜^mj_m, (2.87)

並代入作用量式 (2.85) 中，則拉格朗日量密度可寫成

L˜TG = h 16πG

(1 4

T˜ijkT˜^ijk+ 1 2

T˜kjiT˜^ijk− ˜TikkT˜^ill

)

. (2.88)

因為在絕對平行重力架構下沒有曲率效應，曲率張量必須為零

R˜_ijk^l= ¯R_ijk^l+ ˜Q_ijk^l ≡ 0, (2.89)

其中

Q˜_ijβ^α = ˜DiK˜_βj^α− ˜DjK˜_iβ^α+ ˜K_γj^αK˜_γi^α− ˜K_γi^αK˜_γj^α. (2.90)

經過適當的縮併計算後，可得到

− ¯R = ˜Q≡ (1

4

T˜ijkT˜^ijk+ 1 2

T˜kjiT˜^ijk− ˜TikkT˜^ill

) + 2

h∂i(h ˜T^jij), (2.91) 將此式對照廣義相對論的作用量式 (2.21) 則拉格朗日量

L = ¯˜ L − ∂i

( h 8πG

T˜^jij

)

. (2.92)

其中 ¯L 為愛因斯坦 -希爾伯特拉格朗日量。在作用量變分時，上式中等號右邊

的第二項為全微分項，所以會成為可消去的邊界項而沒有貢獻。因此，在動力 學表現上，絕對平行重力的作用量完全等價於愛因斯坦 -希爾伯特作用量，即 L˜TG = ¯LEH。

將絕對平行重力的作用量對四重軸場 hiα變分，可得出場方程式 [17, 18]

h⁻¹∂_i(eh^k_αS˜_k^ij)− h^lαT˜^k_ilS˜_k^ji− 1

4h^j_αT = 4πG h˜ ^k_αΣ_k^j, (2.93) 其中 Σ_k^j 為能量 -動量張量。

在宇宙學的應用上，若考慮一個平坦的弗里德曼 -羅伯遜 -沃爾克度規 (FRW metric)，其度規張量形式為 g_ij = diag(−1, a(t)², a(t)², a(t)²)。將度規分解，並選

取一組對角化的四重軸場 h_i^α = diag(1, a(t), a(t), a(t)) 。若在作用量 W_TG 中加入宇 宙常數項，再經過變分後可得到含有宇宙常數的場方程式

Λh^j_α+ h⁻¹∂_i(eh^k_αS˜_k^ij)− h^lαT˜^k_ilS˜_k^ji− 1

4h^j_αT = 4πG h˜ ^k_α Σ_k^j (2.94) 然後利用式 (2.68) 及式 (2.86), (2.87) 就可算出撓率張量與超級位的各分量，代入 式 (2.94) 就可得到場方程式中等號左邊幾何的部分。現若考慮理想流體的能量 -動 量分布為

Σij = (ρ + p)uiuj+ pgij, (2.95) 代入場方程式 (2.94)，我們就可得到與廣義相對論完全相同結果：即含有宇宙常 數項的弗里德曼和加速度方程如式 (2.25) 和式 (2.26) [17] 。

經由三種不同方式的討論 — 絕對平行重力的力方程式與廣義相對論中測地線 方程式的比較；特殊選取的拉格朗日量，使得二架構下的作用量等價；以及應用 到宇宙尺度時，動力學結果完全相同 —我們可歸納出一個結論：絕對平行重力理 論完全等價於廣義相對論。因此，絕對平行重力理論又稱做絕對平行化廣義相對 論後的等效理論，簡稱 TEGR。要注意的是，絕對平行重力理論中的撓率效應是 無法直接取代宇宙常數的角色。

在文檔中 絕對平行彭卡瑞宇宙 (頁 35-41)