操場量子彈子球

在操場邊界的彈子球裡，計算出的波函數分佈同樣的也觀察到了 PO 的軌跡，

而些 PO 會隨著量子數增加而不斷的重現。

n = 434 n = 352

n = 336

n = 506 n = 352 n = 1194

圖 4-5 操場形彈子球計算出的結果

由於邊界的對稱性，所計算出的波函數都有很高的對稱性；但在古典裡操場彈子球 是典型的渾沌系統，在這裡我們採取了兩個假設來模擬古典的渾沌現象，第一我們

採用了 SU(2)中將能量相近的本徵態作疊加以期達到渾沌的現象，當僅有兩個本徵 態來作疊加時還會有一定的對稱性存在，因此在這裡我們作三個本徵態的疊加，將 量子數分別為 440、441、442 的本徵態作疊加

(a) (b) 圖 4-6 將本徵態作疊加後所得到的波函數

(a) cos(440 0.1 )⋅ π φ₄₄₀+cos(441 0.1 )⋅ π φ₄₄₁+cos(442 0.1 )⋅ π φ₄₄₂ (b) cos(440 0.3 )⋅ π φ₄₄₀+cos(441 0.3 )⋅ π φ₄₄₁+cos(442 0.3 )⋅ π φ₄₄₂

這樣的想法的確讓我們得到在古典裡的渾沌情形，但也因其是渾沌的情形所以無法 判斷出本徵態配上不同的係數會有怎樣的影響。第二則是將操場形的邊界作一點微 擾變形，使計算出的本徵態波函數即是渾沌的現象

(a) n = 1000 (b) n = 67

(d) n = 1199 (c) n = 1194

當將邊界作了一些微擾後有一些相當有意思的現象，在這裡作的微擾是將操場左半 部圓的上半部，如圖 4-7(b)中虛線所圍起的圓處即是微擾的地方，此處的邊界本來 應是圓弧，我們將此處改乘一直線連結來作微擾，得到的結果如圖 4-7 渾沌的現象，

邊界的微擾的確造成波函數分佈的不對稱，但並不是所有的波函數都會有渾沌的現 象，某些量子數的波函數還是呈現高度的對稱性如圖 4-7(a)，尤其是在量子數越小 時波長愈長的的波函數越不受邊界所影響，僅有少數呈現不對稱的情形如圖 4-7(b) 而當量子數越大波長越短時受邊界的影響相對較大，僅有少部分的波函數仍能維持 其對稱性；在半導體製程中想要形成一完美的操場形彈子球幾乎是辦不到的，所以 列入邊界對稱性的不完美加入計算是一很合理的假設。

(a) (b)

(c) (d)

圖 4-8 (a) (b) 在操場形邊界面射型雷射實驗所觀察到的近場渾沌現象 (c) (d) 和操場中 PO 相關的近場實驗圖

圖 4-8 是在實驗中觀察到的近場圖案，其近場的分佈圖案是渾沌的現象，然而正因 為其波函數分佈的不規則性大大的增加了模擬的困難度；在實驗的裝置裡另外發現 了圖 4-8(c) (d)相當規則的情形，圖案的分佈似乎暗示了其同時存在兩個 PO 模態，一為八 字形的 PO 軌跡而另一 PO 模態即是whispering-gallery mode 兩個模態相疊加，系統同

時選擇這兩個PO 模態。在圖4-8 裡可以發現到很明顯的共同特徵在於邊界附近有很 大的侷限效果以致於形成 whispering-gallery mode，這是由於在邊界處的載子濃度較 高因此折射率較大，因此在底部的位能不再是平的而是在邊界的位能較低，我們將 底部的位能形式以下式表示之

(4-10)

2 2

( , ) ( ) v x y = −k x +y

我們使用一三維的繪圖來瞭解彈子球平台底部的情形，彈子球平台底部會變的像一 個小山丘一樣。

圖 4-9 設計一位能使得彈子球平台底部由平的變成突出的

將這樣假設的彈子球平台底部放入操場形的邊界，再放入 EM 來解出波函數

(a) (b)

在這裡我們展示了一些初步計算的結果，和實驗也得到了一些粗略的對應，由於要 找到適當的 k 值決定其曲率及找出可供對應的波函數是相當困難的，因此在這裡僅 先秀出 k = -1 的結果。而在邊界微擾後所做的模擬，圖 4-11 也得到了和實驗相當類 似的模擬，其和實驗最大的差別在於邊界的疤痕(scar)較弱。

(a) (b)

圖 4-11 底部位能改變後所計算出的結果 (a) 量子數 n = 868 (b) 量子數 n = 898