論文組織

在第二章裡所先探討的是古典裡彈子球在不同邊界的表現，第三章則主要探討 在規則系統方形彈子球裡的波函數分佈情形，而後是探討不規則系統的表現倒角和 操場，在第五章裡則引進一有趣的假設利用程式結合粒子和波動的性質來作探討。

2

因此在經過j 次的 PO 之後

4

2.3 古典方形彈子球(square billiards)

我們首先要探討的是矩形彈子球，一般情形下，當給了彈子球任一起始條件（位 置、方向），彈子球在矩形的對應邊，位置會隨著時間不斷的改變，但入射角與反射 角在其對應邊，始終會保持著相同的值。圖2-1 即是在矩形中的一般情形，左右的 對應邊不管碰撞多少次，p 一直維持在 cos(β)和 cos(π/2+β)，同樣的上下的對應邊 cos(α)和 cos(π/2+α)，因此在 phase space 上即會是數條一維的圖案（邊界起點為左 邊界中點）。

驗的關係，我們將焦點放在矩形中的特例方形中。

sin sin sin sin sin sin

sin sin

6

陣皆是相同的，如 (2.12)。 界相同，其PO 的穩定度皆為 neutral stable，這兩種系統稱作 integrable system。

2.4 古典操場彈子球

8

圖2-5(b)(c)(d)(e)所描繪的是隨η變化時的 phase space，彈子球的起始條件均和圖 2-5(a)相同，明顯的可看出，η很小時其行為類似圓中的表現 p=constant，但隨著η

現的行為是規則的，在操場的彈子球表現出的行為是渾沌不規則的，瞭解了古典的

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由圖 2-9 (a)可知 ψ₀+α₀ =ψ α₁− ₁

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第三章 同調波與雷射橫模 加後，發現和古典的PO 有著很好的對應。在實驗中，由於 Schrödinger 和 Helmholtz 方程式的相似，所以面射型雷射(VCSEL)的橫模可視為波函數的解。方形腔中的橫

圖3-1、3-2 分別描述不同參數φ、M、N、p、q 對波函數ψ_{N M}^{p q,}_, ( , ; )x y φ [8]的影響

(a) ψ_60,9^1,1 ( , ; / 2)x yπ ² (b) ψ^1,1_60,9( , ; / 3)x y π ² (c) ψ_60,9^1,1 ( , ; 2 / 3)x y π ²

(f) ψ_50,9^1,1 ( , ;0.55 )x y π ² (e) ψ_50,7^1,1 ( , ;0.55 )x y π ²

(d) ψ_50,5^1,1 ( , ;0.55 )x y π ²

圖 3-1 (a)(b)(c)是φ和ψ_{N M}^{p q,}_, ( , ; )x yφ 的關係，當固定p=1,q=1,N=60,M=9 由圖可明顯看 出，φ決定了PO 的起點；而 (d)(e)(f)則探討了 M 和ψ_{N M}^{p q,}_, ( , ; )x yφ 當M 愈大，其波函 數會越侷限，M=N-2J+1 代表著選取的本徵態的個數。

(b) ψ^1,1_40,7( , ; / 2)x yπ ²

(a) ψ^1,1_20,7( , ; / 2)x yπ ² (c) ψ_60,7^1,1 ( , ; / 2)x yπ ²

圖3-1 (d)(e)(f)是固定 N=50，φ =0.55π ，分別取5-9 個本徵態所描繪出的圖，當所 示，在分離出波函數的z 方向後，Helmholta equation 可以寫為一二維的形式

[7] 同時在邊界由於全反射

(1,2)就有相當明顯的差異，其主要差異在 PO 的交會點所產生的干涉條紋，理論計 算的結果會和x 方向平行(圖 3-2(d))，但實驗的干涉條紋是和 y 方向平行(圖 3-4 (b))。

(b) (c)

(a)

圖 3-4 (a) 30µm×30µm的方形 VCSEL 在溫度為 220K 的近場實驗結果-PO(1,1) (b) 40µm×40µm的方形 VCSEL 在溫度為 276K 的近場實驗結果-PO(1,2) (c)

40µm×40µm的方形 VCSEL 在溫度為 276K 的近場實驗結果-PO(1,2)

要解釋這一矛盾的原因，我們可先由VCSEL 探討起，當將電流灌入 VCSEL 且經過 降溫後，由於VCSEL 在出光方向的超短腔結構，因此只允許在縱模只有單一波長，

而VCSEL 不可避免的還是會有一個頻寬，因此在橫模方向就會允許不只一單一頻 率被鎖住(locking)，對應到 K-space 圖 3-3(a)就不再是四分之一的圓線，而是一個四 分之一的圓環，降低溫度不僅可以減少熱透鏡效應的影響，同時由於半導體的能階 亦會隨著溫度降低而變大，所以K-space 上的圓環半徑也會隨之變大，因此在相同 的元件上，就可以看到更高階的不同行為。當在做SU(2)本徵態的疊加時，PO(1,1) 所選取的本徵態，事實上就是斜率為-1 的線上的本徵態，但實驗中所能擷取到的本 徵態是為一圓環，因此PO(1,1)所選取的本徵態要同時在圓環和斜率為-1 的線上(如 圖3-5(a))，其恰巧和直接用 SU(2)所選取的本徵態是一樣的，故和實驗有著極佳的 對應；而在PO 為(1,2)所選取的本徵態是斜率為-2 直線上的本徵態，其和圓環的交 點如圖3-5(b)所示，其和直接使用 SU(2)所選取的本徵態是不同的，故造成實驗和理 論計算的落差。

n

圖 3-6 (a) 疊加方形彈子球本徵態ϕ_27,16、ϕ_28,14、ϕ_29,12配合相位差π / 2， 標空間經由傅利葉轉換後可以得到動量空間；最近Bäcker 和 Schubert[6]也透過傅利 葉轉換，來獲得本徵函數的遠場分佈情形，以其對彈子球有更佳的瞭解，而透過

(a) (b)

(c)

圖 3-7 (a) 相關於圖 3-4(a)的近場條紋所得到的實驗遠場條紋 (b) 經由圖 3-2(c)座標 空間的波函數所算出的向量空間波函數 (c) (b)圖的三維分佈情形

是PO(1,1)和 PO(1,2)的遠場分佈，圖 3-8(c)是 PO(1,1)和 PO(1,2)互相干涉後的強度分 佈情形，在近場的波函數完全無法給我們任何的資訊，但當將之作傅氏轉換後(圖 3-8(b))，很清楚的可以解析出其是由 PO(1,1)和 PO(1,2)所組成的圖案。

(d) (a) (b)

(c)

圖 3-8 (a) VCSEL 實驗的遠場分佈 (b) 經由(c)作傅氏轉換後理論計算出的遠場分佈 (c) 結合 PO(1,1)和 PO(1,2)的近場分佈情形 (d) (b)圖的三維分佈情形

3.4 PO 和本徵態的糾纏

由於光學的遠場分佈即是量子力學中的動量空間分佈情形，因此可藉由實驗的 遠場分佈，得知 K-space 上所選取的本徵態；圖 3-7(a)的遠場分佈可以清楚的告訴我 們，系統所選取的本徵態會如圖 3-5(a) 中所示在圓環 45°附近；但當圓環上有一個 本徵態的能量和 45°所選取的本徵態能量很接近時，系統就會有機會在其他角度的地 方同時選取這個本徵態，得到的圖案就會介於本徵態和和古典週期性軌道的圖案。

的干涉節點產生，將能量以 m,n 來作表示，在 45°時的能量為 ，而 在大角度本徵態(10,39)能量為 ，由於能量差異很小本徵態

2 2

28 +29 =1625

2 2

10 +39 =1621 ϕ_10,39同時

亦被系統所選取。

(a) (b) (c)

圖 3-9 (a) VCSEL 在 276K 實驗的近場量測結果 (b) PO(1,1)和本徵態ϕ_10,39疊加後理論計 算的結果 (c) PO(1,1)和本徵態ϕ_10,39強度疊加後理論計算的結果

在這裡我們特別也將本徵態和 PO 的強度作疊加，如 圖 3-9(c)，強度相加代表著 PO 和本徵態彼此間相互獨立，並沒有同時為系統所選取。

3.5 方形彈子球中的多個週期性軌道(PO)

在方形的面射型雷射裝置中，近場的實驗圖案中常常可以觀察到不只一個的週 期性軌道，如圖 3-10(a)即是方形面射型雷射同時選取了兩個(1,1)的週期性軌道，實 驗中觀察到的現象甚至可以有多達四個(1,1)的週期性軌道。

(a) (b) (c)

圖 3-10 (a) VCSEL 兩個 PO(1,1)實驗量測結果 (b) VCSE 三個 PO(1,1) 實驗量測結果(c) VCSE 四個 PO(1,1) 實驗量測結果

推測形成多個 PO(1,1)可能的原因有兩種，其一為使用相同的 SU(2)相關的本徵態使 其每一個 PO(1,1)有不同的相位，自然使的每一個 PO(1,1)的起點不同，調控每一個 PO(1,1)的相位即可以調控每一個週期性軌道的相對位置；另一種方法則是雷射系統 在選取本徵態時有機會選取到不只一個的 SU(2)相關本徵態，如圖 3-15 即是雷射系 統同時選取到兩個 SU(2)相關本徵態，我們將在下面的探討分析兩種方法，討論其 不同之處。

當圓環半徑選取適當時，圓環在 45°附近有機會選取到兩個斜率-1 的本徵態如圖 3-15，因此實驗會有機會出現兩個(1,1)，圖 3-11(a)即是實驗中兩個(1,1)的情形，值 得注意的是實驗圖中左上方和右下方波函數分佈的不對稱情形，當選取分別選取 L1 和 L2 上的本徵態形成 PO 產生干涉後，的確也產生了這種不對稱的情形。

(a) (b) (c)

圖 3-11 (a) VCSEL 實驗的近場量測結果 (b) 由 L1 和 L2 分別形成兩個(1,1)互相干涉後 的強度分佈 (c) 選取相同的 SU(2)相關本徵態理論計算結果

圖 3-11(b)和(c)的最大不同之在於，利用相同的SU(2)相關本徵態所計算出來的結果，於 空間上並不會有分佈不對稱的情形，僅有當雷射在 r 方向如圖圖 3-15 選取到兩組SU(2) 相關本徵態，疊加後才會在空間上有如實驗強度分佈不對稱的情形，因此在兩個PO(1,1) 分佈不對稱的情形下，我們可以確信其形成的原因為雷射系統在 r 方向也選取了另 一組的SU(2)相關本徵態。將這些想法同樣的放到四個PO(1,1)的模擬，一樣的，相同的 SU(2)相關本徵態配上四種不同的相位有著很好的對稱性；而在r 方向選取四個SU(2)相關

本徵態，才能在有限的空間可鑑別，而因為選取的本徵態變多在空間的不對稱會不若在兩 個PO(1,1)般，由於選取的本徵態少造成空間上有顯著的不對稱性，觀察圖 3-12(b)，

PO 的軌跡僅有小部分的扭曲。

(a) (b)

圖 3-12 (a) 選取相同的 SU(2)相關本徵態分別配上四個不同相位理論計算結果(b)在 r 方向選取四個(1,1)互相干涉後的強度分佈

多個 PO(1,1)的原因除了我們前面所探討的兩個因素外，在這裡我們另外作了一 個很有趣的探討；由於面射型雷射裡載子濃度的不平均，造成方形彈子球台底部的 不平坦，在第四章我們將會有更詳盡的探討，在這裡我們假設底部的高度分佈像一 小山丘，靠近邊界的地方是較低的地方，將計算出來的本徵態利用 SU(2)選取疊加 後，得到了如圖 3-13 的圖案，讓多個 PO(1,1)同時形成的原因又多了一樣，也就是 彈子球平台底部的不平坦。

圖 3-13 考慮彈子球平台底部 為一類似小山丘的底部經由 SU(2)疊加後所得到的結果

n

10 20 30 40

10 20 30 40

斜率 –1/3

m

圖 3-14 PO(3,1)所選取的本徵態

m L2 n

L1

圖 3-15 兩個 PO(1,1)所選取的本徵態

第四章 量子彈子球(Quantum Billiards)

相關的穩定態可經由和時間無關的 Schrödinger equation 的本徵態解出

2

III

Hamiltonian 的矩陣元素可以定義為

n = 952 n = 1038 n = 995

圖 4-2 圓弧角的方形所計算出的波函數，其和方形彈子球的週期性軌道是一致的

在完美的方形彈子球裡，不管量子數多大都無法見到古典的週期性軌道軌跡，但經 過修飾後形成倒角可以看到在方形彈子球的 PO 軌跡，這種情形在完美方形彈子球 的本徵態不管再高階都是不會見到的；而波函數的遠場分佈和使用 SU(2)所計算出 的遠場分佈，有很高的相似度。

圖 4-3 (a) 圖 4-2(a)中 PO(1,1)相關的動量空間分佈情形 (b) 圖 4-2(b)中 PO(1,2)相關的 動量空間分佈情形

這讓我們可以更確信利用 SU(2)所選取的本徵態，所描繪出的 PO 軌跡是很可靠的。

圖 4-4 圓弧角的方形面射型雷射實驗結果

4.4 操場量子彈子球

在操場邊界的彈子球裡，計算出的波函數分佈同樣的也觀察到了 PO 的軌跡，

而些 PO 會隨著量子數增加而不斷的重現。

n = 434 n = 352

n = 336

n = 506 n = 352 n = 1194

圖 4-5 操場形彈子球計算出的結果

由於邊界的對稱性，所計算出的波函數都有很高的對稱性；但在古典裡操場彈子球 是典型的渾沌系統，在這裡我們採取了兩個假設來模擬古典的渾沌現象，第一我們

採用了 SU(2)中將能量相近的本徵態作疊加以期達到渾沌的現象，當僅有兩個本徵 態來作疊加時還會有一定的對稱性存在，因此在這裡我們作三個本徵態的疊加，將 量子數分別為 440、441、442 的本徵態作疊加

(a) (b) 圖 4-6 將本徵態作疊加後所得到的波函數

(a) cos(440 0.1 )⋅ π φ₄₄₀+cos(441 0.1 )⋅ π φ₄₄₁+cos(442 0.1 )⋅ π φ₄₄₂ (b) cos(440 0.3 )⋅ π φ₄₄₀+cos(441 0.3 )⋅ π φ₄₄₁+cos(442 0.3 )⋅ π φ₄₄₂

這樣的想法的確讓我們得到在古典裡的渾沌情形，但也因其是渾沌的情形所以無法 判斷出本徵態配上不同的係數會有怎樣的影響。第二則是將操場形的邊界作一點微 擾變形，使計算出的本徵態波函數即是渾沌的現象

(a) n = 1000 (b) n = 67

(d) n = 1199 (c) n = 1194

當將邊界作了一些微擾後有一些相當有意思的現象，在這裡作的微擾是將操場左半 部圓的上半部，如圖 4-7(b)中虛線所圍起的圓處即是微擾的地方，此處的邊界本來 應是圓弧，我們將此處改乘一直線連結來作微擾，得到的結果如圖 4-7 渾沌的現象，

邊界的微擾的確造成波函數分佈的不對稱，但並不是所有的波函數都會有渾沌的現 象，某些量子數的波函數還是呈現高度的對稱性如圖 4-7(a)，尤其是在量子數越小 時波長愈長的的波函數越不受邊界所影響，僅有少數呈現不對稱的情形如圖 4-7(b)

邊界的微擾的確造成波函數分佈的不對稱，但並不是所有的波函數都會有渾沌的現 象，某些量子數的波函數還是呈現高度的對稱性如圖 4-7(a)，尤其是在量子數越小 時波長愈長的的波函數越不受邊界所影響，僅有少數呈現不對稱的情形如圖 4-7(b)