方形彈子球的干涉模擬

PO(1,1)低階和高階的模擬情形，其中高階即是以第三章 3-4(a)實驗圖的模擬，令人 驚訝的是如此簡單的假設，卻和我們在面射型雷射所看到的實驗圖案是如此一致，

尤其是在邊界上因為反射所產生的干涉圖案，不但和實驗一致更滿足邊界條件的限 制。但當彈子球不斷的在週期性軌道上運動時，每當重新經過一次 PO 軌跡後，產 生的干涉圖案會隨時間改變，要使干涉的圖案不隨時間改變需設計波長使其整數倍 為行走一次 PO 的長度 L，因為彈子球和邊界作了 4 次的碰撞相位增加了 4π，當為 半波長偶數倍則干涉圖案不會隨時間而改變，而在奇數倍時，彈子球在行走下一次 PO 後會形成完全破壞性干涉。

(a) (b)

圖 5-2 結合波性與粒子性在方形 PO(1,1)的模擬 (a) 低階的模擬結果 (b) 高階的模擬結果

同樣的想法，我們將這個模擬放進方形彈子球中的 PO(1,2)、PO(3,1)，在這兩種週 期性軌道的模擬也獲得相當大的成功，使的這樣的一個假設模擬可信度大大的增高。

(a) (b)

圖 5-3 (a) PO(1,2)軌跡的模擬結果 (b) PO(3,1)軌跡的模擬結果

當我們將k的值一直增大也就是在高階的情況時，粒子性會較明顯因此隨著k值增 加，適量的增加α 值使其在橫向波的性質也減少，在這個情況下就會非常接近古典 的情況，經過的軌跡因為交錯區域趨近於零，彼此幾乎不產生干涉就完全象是彈子 球的古典追跡；相反的，當k值減少時波的性質增強α 值要隨之減小以凸顯波的性 質，有趣的是當 值一直減少時，波的性質一直增強時又會有怎樣有趣的現象發生。 k

在圖 5-4 裡我們就作了這樣一個嘗試，在最簡單的 PO(1,1)裡模擬出的結果相當 有意思的就是在方形無限位能僅中的本徵態，在 5-4(a)中設計其半波長的 4 倍為全 長 L 得到了在方形中的基態，而 5-4(b)設計半波長的 12 倍為全長 L。在古典的追跡 裡加入波動的性質，我們甚至得到了量子力學中薛丁格方程式的解，在 5-4(c)(d)裡 加入了薛丁格方程式的解來作比較。如此高的相似度，讓我們對這樣一個簡單的物 理假設，是否可以解釋這個系統的所有現象帶來可能性。

(a) (b)

(c) (d)

圖 5-4 方形邊界中 PO(1,1)軌跡模擬的結果 (a) 使半波長的 4 倍為全長 L (b) 使半波 長的 12 倍為全長 L (c) 方形無限位能井中的波函數解 φ( , )x y ² = sin( ) sin( )x y ²

5.2 圓形彈子球的干涉模擬

在圓形邊界的面射型雷射裝置中，whispering-gallery mode 是系統特別所喜好 的，由於在實驗裝置中靠近邊界的區域載子濃度較高，因此折射率較大光子較容易 被侷限在靠近邊界的地方，因此系統特別喜歡 whispering-gallery mode。

圖 5-5 圓形面射型雷射的近場實驗結果

在圓中設計一 PO 和邊界的夾角為 20 度，形成圖 5-6(a)的週期性軌道，此一古典軌 跡幾乎是貼著圓邊界在行走，加入假設後的模擬後所得到的結果就好像規則的花瓣 一般整齊排列，在完美對稱的圓裡波節分佈有著高度的對稱性，但在實驗裡由於製 程上的困難，要得到一個完美的圓形是很困難的，在圖 5-5 中就可以明顯看出裝置 的不對稱性。

(a) (b) (c)

圖 5-6 (a) 彈子球在圓邊界中的古典週期性軌道軌跡 (b) 加入波的性質後所得到的強 度分佈 (c) 加入波的性質所得到的分佈情形

由於軌跡的交錯區域太小，軌跡之間的干涉太少，圖 5-6 並不會隨著波長設計不同，

而有著顯著的不同。我們設計在圓形彈子球中的另一個週期性軌道，其和圓邊界的 夾角為 56 度圖 5-7 為其週期性軌道軌跡，由於軌跡彼此的交會處增加，稍稍改變波 長對干涉的圖案影響就會很大。

(a) (b)

(c) (d)

圖 5-7 (a) 圓形彈子球的一 PO 軌跡 (b) 半波長的 110 倍為 PO 長度 L (c) 半波長的 112 倍為 PO 長度 L (d) 半波長的 114 倍為 PO 長度 L

如同在方形彈子球般，我們一樣設計非常短的波長來觀察低階所干涉出來的圖案，

在方形看到了方形中的本徵態，而在圓形邊界的彈子球所期望看到的就是圓邊界的 無限位能井本徵態，使用圖 5-7(a)的週期性軌道軌跡來設計波長，設計波長使的其 半波長的整數倍為其 PO 的長度，得到不同階數的本徵態。圖 5-8(a)(b)(c)即是模擬 的結果，5-8(a)設計半波長長度的 10 倍為全長L、(b) 半波長長度的 22 倍為全長L、

(c)半波長長度的 36 倍為全長L，分別形成了不同階數的本徵態。

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

圖 5-8 (a) 半波長的 10 倍為 PO 長度 L (b) 半波長的 22 倍為 PO 長度 L (c) 半波長的 36 倍為 PO 長度 L (d) 圓邊界的無限位能井波函數解(0,0) (e) 圓邊界的無限位能井波函數 解(0,2) (f) 圓邊界的無限位能井波函數解(1,1)

5.3 操場彈子球的干涉模擬

操場形彈子球古典行為也就是大家熟悉的渾沌，彈子球的行為是非常敏感於起 始條件，在面射型雷射的確也觀察到這個情形。

圖 5-9 (a) 操場形面射型雷射近場圖案實驗結果 (b) 利用程式模擬彈子球在操場邊 界的模擬結果

利用程式來作模擬後，產生的圖案不像在方形彈子球和圓形彈子球般，能在邊界條 件上有很好的符合，邊界上的波節似乎都被硬生生的切斷，但如果不考慮在邊界附 近的圖案，其在邊界裡的扭曲打轉的圖案是非常相似的，實驗圖案的另一個特色就 是彈子球在邊界上有很大的出現機率，因為邊界上的折射率較大光子較容易被侷限 在邊界附近；我們在程式上模擬一個情形來達成這樣的假設，圖 5-10(b)假設在操場 裡有兩種不同的折射率，在操場裡在另外描繪出一較小的操場，在小操場裡的折射 率較小，而在兩者之間的折射率較大，在程式裡定義臨界角為 75 度，因此當彈子球 以 0 度的角度出發後，圖 5-10(d)中很明顯看出彈子球大都被侷限在外圍裡就好像有 個溝讓它不容易跑出來，圖 5-10(c)是相同的起始條件下沒有任何折射率的變化的模 擬情形，明顯可以看出其行為是和有所侷限的不同。

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

圖 5-10 (a) 典型操場形面射型雷射近場實驗圖 (b) 在操場裡設計兩種不同的折射率，

在較小的操場裡折射率小，兩者之間的折射率較大 (c) 沒有任何侷限的古典追跡 (d)

這樣的一個假設的確造成彈子球有較大的機會被侷限在邊界上的外圍區域，但是其 產生的干涉圖案卻不若原本所預期要得到的結果，雖然彈子球大部分的時間都被侷 限在邊界附近，但互相干涉的結果卻都不一定會產生建設性干涉，因此在圖 5-10(f) 邊界附近並沒有產生一良好建設性干涉。

5.4 操場彈子球中的多個週期性軌道

在第三章中我們探討了方形彈子球中同時存在多個週期性軌道，方形彈子球所 觀察到的實驗圖案皆是方形中簡單的 PO(1,1)，同時會有兩個或甚至有四個 PO(1,1) 的存在，觀察在方形彈子球同時存在的多個 PO 都是簡單且相同的；但在操場彈子 球裡的 PO 是相對複雜甚至會有不對稱的情形出現，在本節我們將介紹如何用這個 程式的模擬，來佐證出我們所觀察到的近場圖案是由操場裡兩個不同的 PO，互相 干涉所形成的結果。圖 5-11(a)的近場實驗圖案是我們在第四章中嘗試用數值模擬 EM 的模擬對象，圖 5-11(b)是我們結合兩個 PO 互相干涉的模擬結果。

(a) (b)

圖 5-11 (a) 操場形面射型雷射的近場實驗結果 (b) 程式的干涉模擬結果

我們所選取的兩個週期性軌道分別為圖 5-12(a)的 whispering-gallery mode 及圖 5-12(c)八字形的 PO，將這兩個週期性軌道干涉的結果互相疊加即形成圖 5-11(b)。

在操場裡的多個 PO 的行為由於 PO 間彼此的交會處太多干涉圖案相對複雜，

其和方形彈子球可以直接觀察出由哪些 PO 組成有著很大的不同，我們很難直覺的 猜出我們所觀察到的操場彈子球圖案，是由哪些獨立的 PO 所組成的，而由這個程 式我們可以有效的證明出，實驗所觀察到的圖案是由哪些週期性軌道所組成的。

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

圖 5-12 (a) 操場彈子球中沿著邊界行走的 PO (b) (a)的軌跡干涉後的結果 (c) 操場彈子球中八字形的 PO (d) (c)的軌跡干涉後的結果 (e) 結合(a)和 (c)的古典 PO 軌跡 (f) 將(b)和(d)的干涉圖案作結合

第六章 結論與未來展望

我們成功的運用 SU(2)在規則系統裡(方形彈子球、簡諧振盪)建立起古典和量子 間的關係，而在不規則的系統中我們則初步的利用 Expansion Method 作一些探討，

我們在邊界或彈子球平台底部作了些手腳，來探討實驗觀察到的一些現象，但一直 沒能有完美的解釋。隨著技術的進步我們可以利用許許多多的方法，製作奈米尺度 的物質，奈米科技最令人玩味的就是小尺度下許多有趣的量子現象，這許多和我們 古典大大不同的現象正可以利用來作許多有趣的應用；在我們研究的過程中，也正 因為這許許多多有趣的現象讓研究充滿了挑戰性。

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