收斂性分析

於收斂性分析中，論文一開始先將模型尺寸分為 200、300、400(單 位皆為公尺)，元素大小分為 50、25、12.5(單位皆為公尺)作探討。因 為欲分析對象具有對稱性，所以模型尺寸僅以四分之一模型分析之，

即以 100*200*100、150*300*150 與 200*400*200 之模型分析(單位皆 為公尺)，其後論文中所述之模型皆以此類推。如模型尺寸 500，即為 250*500*250 之大小，單位皆為公尺，而在深度部份(Y 方向)因模型 為往下建立，所以 Y 座標中應加負號以表示之，但文中為簡化表示，

故省略其負號。

另外，在圖中之表示，如線段 1000/25，在分號之前表示為所取 之模型尺寸大小，單位為公尺；分號之後表示為所分割之元素大小，

單位為公尺。因原欲分析之模型為正方形，三方向長度均相同，所以 分析模型尺寸可僅以一個數字代表，但在真正所建立之模型中，為解 省資源所取 X、Z 軸對稱之 1/4 模型，故在 X 與 Z 軸上真正之長度，

將變為原欲分析模型 X、Z 軸上之長度的一半，只有 Y 軸將與原分析 模型上之 Y 軸長度相等，所以在線段 1000/25 中，真正的模型將為 500*1000*500；而在真正建立之模型中所取之元素亦為正方形，所以 亦可只以一個數字表示，故在線段 1000/25 中，所取之元素大小即為

但在作收斂性分析之前，根據有限元素理論可知，元素大小對結 果之正確性具有很大之影響，應對應於壓力波速、剪力波速之變小而 變小，與對應於外力頻率之變大而變小。在論文中，剪力波速為 300m/s，而分析之外力頻率最大至 10Hz，故可預知元素大小大概至 少需要小於 30m 才可以得到較為可信的解；另外，模型尺寸應與波 長相應，若剪力波速為 300m/s，則模型尺寸至少得能完整的描述一 個波，即若在 1Hz 時，模型尺寸至少需為取到 300m 才可以得到較為 可信的解，而此部分將在其後作收斂性分析的時候驗證。

而根據結果顯示，不論元素大小，模型尺寸在不足 300m 時，於 低頻中 1-2Hz 才會有較大之誤差出現，但對中低、中、高頻之分析影 響甚微；但若不論模型尺寸，僅只考慮元素大小的話，在低頻時元素 大小影響雖然較小，但在中高頻與高頻分析時影響則甚大，所以可知 道分析結果之精度是以元素大小控制，模型尺寸較不重要，僅需在低 頻時考慮。

後面，論文將依模型尺寸、元素大小與所需電腦資源一一探討之。

4-1 模型尺寸之探討

如前所述，故在此先將元素大小定為 12.5(12.5*12.5*12.5m)，然 後視其阻抗矩陣在不同模型尺寸之變化，分別依水平方向

(Horizontal)、垂直方向(Vertical)、翻轉方向(Rocking)、扭轉方向 (Torsional)與耦合方向(Coupling)之順序討論。而論文中，阻抗矩陣將 以複數型式表示，其實數部分表示土壤勁度，虛數部分表示為阻尼，

故論文後續部份之討論，又分成實數部份與虛數部分兩部分。

實數部分，在水平方向，1Hz 下，模型尺寸為 200(100*200*100m) 時，與解析解之誤差為 19.0%，在 300(150*300*150m)時為 8.7%，

400(200*400*200m)時為 0.4%；而模型尺寸為 200(100*200*100m)在 低頻時(即 1-3Hz)之平均誤差為 11.3%，300(150*300*150m)時為 4.7%，400(200*400*200m)時為 2.8%，如圖 4-1(a)所示。

在垂直方向，1Hz 下，模型尺寸為 200(100*200*100m)時，與解 析解之誤差為 0.5%，在 300(150*300*150m)時為 11.1%，

400(200*400*200m)時為 1.6%；而模型尺寸為 200(100*200*100m)在 低頻時(即 1-3Hz)之平均誤差為 9.8%，300(150*300*150m)時為 9.1%，

400(200*400*200m)時為 4.3%，如圖 4-2(a)所示。

在翻轉方向，1Hz 下，模型尺寸為 200(100*200*100m)時，與解 析解之誤差為 10.6%，在 300(150*300*150m)時為 6.1%，

400(200*400*200m)時為 10.7%；而模型尺寸為 200(100*200*100m) 在低頻時(即 1-3Hz)之平均誤差為 12.1%，300(150*300*150m)時為 7.4%，400(200*400*200m)時為 10%，如圖 4-3(a)所示。

在扭轉方向，1Hz 下，模型尺寸為 200(100*200*100m)時，與解 析解之誤差為 17.1%，在 300(150*300*150m)時為 9.0%，

400(200*400*200m)時為 8.0%；而模型尺寸為 200(100*200*100m)在 低頻時(即 1-3Hz)之平均誤差為 11.2%，300(150*300*150m)時為 8.6%，400(200*400*200m)時為 8.5%，如圖 4-4(a)所示。

在耦合方向，1Hz 下，模型尺寸為 200(100*200*100m)時，與解 析解之誤差為 40.9%，在 300(150*300*150m)時為 8.0%，

400(200*400*200m)時為 4.5%；而模型尺寸為 200(100*200*100m)在 低頻時(即 1-3Hz)之平均誤差為 29.1%，300(150*300*150m)時為 22.0%，400(200*400*200m)時為 18.3%，如圖 4-5(a)所示。

由數據顯示，模型尺寸取 400(200*400*200m)時可以得到很精確 的解，低頻時各方向之總平均誤差約為 8.8%左右；而模型尺寸 300 時與模型尺寸 400(200*400*200m)時相差不大，低頻時各方向之總平 均誤差約為 10.4%左右；只有模型尺寸為 200(100*200*100m)時，低 頻時各方向之總平均誤差約為 14.7%左右，但其在 1Hz 時之平均誤差 就已為 17.6%，即可看出其在 1Hz 時誤差最大，而在 2Hz、3Hz 時之 誤差較小，這亦可證明在 1Hz 時，模型尺寸最少也要取到

300(150*300*150m)才可以得到較為合理的解，所以可知低頻時模型 尺寸所造成之影響。

另外，從結果還可看出在耦合方向上，其誤差會較大，此部分將 留待在後面部份討論。但不論如何，用 ABAQUS【1】分析之結果，

其趨勢皆與解析解相同。

而論文中在低頻之部分，為確定分析出來之結果是否以達收斂，

遂又建立了模型尺寸 500(250*500*250m)之模型，其元素大小為 25(單 位為公尺)與 12.5(單位為公尺)；和模型尺寸 1000(500*1000*500m)，

元素大小為 50 與 25 之模型，其分析出來之結果可參考表 4-1 至 4-5 所示。而根據結果顯示，在 1Hz 時，500/12.5 之模型，在各方向與解 析解之平均誤差約 5%左右；即使元素大小為 25(單位為公尺)，在各 方向與解析解之平均誤差也可以維持在約 10%以內。而 1000/25 之模 型，在各方向與解析解之平均誤差約為 9%，故可知道在低頻時，模 型尺寸取在 400(200*400*200m)下已將近收斂，因與模型尺寸取 500(250*500*250m)和 1000(500*1000*500m)下所得之分析結果已相 差甚微。

上述皆為實數部份之探討，至於虛部部分之探討除耦合部分外，

其餘各方向皆與解析解相近，誤差皆可保持在 10%以內，如圖 4-1 至 4-4 之(b)所示；而虛部耦合之部份趨勢亦與解析解相同，僅求解出來 之值與解析解相比後，其誤差甚大，如圖 4-5(b)所示，而此部分將在 後面部分探討，故在此則不加以詳述。

4-2 元素大小之探討

此部分討論須先將模型尺寸固定，依前面所討論出來之結果，故 將模型尺寸定為 400(200*400*200m)，然後改變元素大小，其分別為 50(50*50*50m)、25(25*25*25m)、12.5(12.5*12.5*12.5m)，如圖 4-6 至 4-10 所示。

後因資源問題，若欲使用更小之元素，如 6.25(6.25*6.25*6.25m)、

3.125(3.125*3.125*3.125m)之元素大小，則便無法以模型尺寸 400(200*400*200m)之大小分析，故最大模型尺寸只能取至

300(150*300*150m)，所以在後面高頻部份，為了求出更精確的解，

遂多建立了 200/6.25、200/3.125 與 300/6.25、300/3.125 之模型與解析 解比較，如圖 4-11 至 4-15 與圖 4-16 至 4-20 所示。而其他模型，如：

200/50、200/25、200/12.5 與 300/50、300/25、300/12.5 等模型結果之 討論，因與 400/50、400/25、400/12.5 所得之討論結果相同，故論文 中不予以多述，其分析之結果可參考圖 4-11 至 4-15 與圖 4-16 至 4-20 所示。

而與此部分相關之圖，若是因元素大小切割的不夠細，所造成分 析結果誤差過大之情形，其值將不標示在圖上，以避免其影響在圖上 之判斷，而其詳細之值可參考表 4-1 至 4-5 中所示。

以模型尺寸 400(200*400*200m)，元素大小為 50(50*50*50m)與

解析解相比，其結果產生跳躍，誤差甚大，趨勢也不相符，約只能在 1、2Hz 下其值才能較為接近解析解，但各方向誤差平均約為 30%左 右；若元素大小取到 25(25*25*25m)時，則約在 5Hz 以下其值才能較 為接近解析解，各方向誤差也較小，平均約為 20%左右，但若元素大 小取到 12.5(12.5*12.5*12.5m)之時，其趨勢則可與解析解相當吻合，

而各方向誤差平均約為 10%左右，故可知道元素大小對頻率之影響。

因此得知，越接近高頻，所取之元素則須越小。

若以 400/12.5 之模型來看，在水平方向，低頻時與解析解之平均 誤差為 2.8%；中低頻時為 1.7%；中高頻時為 2.2%；高頻時為 18.0%，

如圖 4-6(a)所示。

在垂直方向，低頻時與解析解之平均誤差為 4.3%；中低頻時為 5.2%；中高頻時為 5.9%；高頻時為 30.8%，如圖 4-7(a)所示。

在翻轉方向，低頻時與解析解之平均誤差為 10.8%；中低頻時為 9.8%；中高頻時為 13.0%；高頻時為 22.1%，如圖 4-8(a)所示。

在扭轉方向，低頻時與解析解之平均誤差為 8.5%；中低頻時為 9.0%；中高頻時為 8.9%；高頻時為 17.0%，如圖 4-9(a)所示。

在耦合方向，低頻時與解析解之平均誤差為 18.3%；中低頻時為 54.4%；中高頻時為 57.1%，如圖 4-10(a)所示；而在高頻時則因誤差 太大，故須切割至更細的元素大小來看，但其誤差僅在值之大小上

面，分析結果之趨勢仍保持與解析解一致。

由數據結果顯示，水平與垂直方向之誤差皆集中在高頻的 8、9、

10Hz 上，越高頻誤差越大，但在 7Hz 以下之誤差則能保持在 10%左 右；而翻轉方向與扭轉方向之誤差則較平均，翻轉方向在低、中低、

中高頻時誤差保持在 10%左右，而高頻時誤差雖較大，但也能控制在 25%以內，至於扭轉方向，則在低、中低、中高頻時誤差可保持在 9%

左右，高頻時誤差則可控制在 20%以下，由此可知，在此種模型下分 析出來之結果是水平方向優於垂直方向、扭轉方向優於翻轉方向。

再根據 200/6.25、200/3.125 與 300/6.25、300/3.125 之模型，如圖 4-11 至 4-15 與 4-16 至 4-20 所示，可看出在耦合方向上之誤差是由元 素大小造成，若元素大小切割得更細，則可以得到更好之結果。在 400/12.5 之模型，10Hz 下，其耦合方向之誤差為 400%左右，但用元 素大小到 6.25(6.25*6.25*6.25m)時，其誤差立即降至 73%左右，但趨 勢會有向前移之現象，而此現象在元素大小為

3.125(3.125*3.125*3.125m)時亦會出現，其原因可能為有限元素程式 內部所乘之形狀函數的關係，但其真正之原因仍需探究。而在元素大 小為 3.125(3.125*3.125*3.125m)時，其與解析解之誤差為 45%，可知 耦合方向分析之結果，將隨元素切割得更細而趨於收斂，但礙於資源 問題，所以已無法繼續再將元素大小切割得更細。

但在其他各方向上(除耦合方向)，取元素大小為 6.25(單位為公尺) 時，平均之誤差已可控制在 2%左右，而在元素大小為 3.125(單位為 公尺)時，平均之誤差約控制在 1%左右，可看出所取元素大小在 6.25(單位為公尺)時已將近收斂，其後，就算元素切割的更細也無法 再提高多少精度；所以，礙於所需資源的問題，實無必要取到 3.125(單 位為公尺)之元素大小分析，而此部分將在下一節所需資源中探討。

而虛數之部分，亦是除了耦合方向在高頻時其值之誤差較大，但 其結果皆與之前的討論相同，故不再贅述，詳可參考圖 4-1 至 4-20 之(b)所示。但經過上述部份之探討，可得知虛數部份在各方向上之 分析皆可以得到良好之結果，除耦合方向外，只要所取模型尺寸(大 於 300m)與元素大小(小於 12.5m)適當的話，其誤差皆可以維持在 10%

以內，而耦合方向可保持與解析解趨勢相同；其原因可能是因為虛數 部分表示土壤阻尼，而阻尼部分在 ABAQUS 程式【1】中之輸入，為 每一 Hz 下自行以 α=0，β=

π f

ξ

結果。

4-3 所需電腦資源之探討

各模型元素(Elements)與節點(Nodes)數如表 4-6 所示，其所需資

此可知，個人電腦最多只能計算到 80000 節點，節點再多的話則需要 尋求更高的運算資源，如高速電腦中心之電腦，而其運算所需之時間 約為兩個小時；但若節點增至 100000 的話，不僅需求助於高速電腦

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