第三章 數值方法
3.2 牛頓法
3.3.3 改善對策與結果比較
單從最速下降法(3)中，不難發現所得的結果其誤差值偏高，其主要 的原因及改善的方式敘述如下：
（一）、在 4×4 的矩陣中，除第四列不予考慮外，共有十二個元素，包 括 3×3 姿態矩陣及 3×1 的位置矩陣，因此可列十二個方程組，
再以最小平方法（the least square method）設定此十二個方程組 的目標函數。
（二）、就本文所論述之五軸機器人，θ5 為爪端的旋轉角，當θ1 與θ5 旋轉軸相互平行會有退化情形，見圖 3-6，只要θ5 的旋轉軸向 不與θ1的旋轉軸向平行，θ5與θ1可視為獨立的旋轉軸，因為 與θ2~θ4的旋轉軸均不相同，由於θ5僅影響機械手臂的姿態，
並不影響位置座標，故可先從姿態矩陣中求出θ5，而θ1~θ4的 組合可能有許多種，故僅選取θ5的收斂值為其解。
（三）、θ5 的角度一經確定，θ1 的方向就可以確定，就像圓周上任一 點的切線方向或徑向均不同，一旦切線方向確認後，圓心至切 點的方向就能確認，此方向便是θ1 的方向，不過此方向有正負 之分，只要初始猜測值不要偏離期望值太遠，應不致發生收斂 至反方向而導致發散的情形，若將各軸轉向及可動範圍的限制 條件一併考慮，則發散的情形會有顯著的改善，由於θ1 的轉動 範圍一旦被限制，θ1 便不會出現收斂至反方向的情形，而θ3 的轉向一旦被限制，則不致產生多重解(Multiple Solutions)的情
形，因此僅需對θ1及θ3作限制即可。
（四）、若機械手臂呈鉛垂的一直線時，如圖 3-6 所示，θ1 與θ5 會是 同一旋轉軸向，如此會發生退化（degeneracy）現象，或是在某 些位置會發生空間位置可收斂，姿態卻無法收歛至期望值的情 況，這些位置被稱為不敏捷空間（nondexterous volume），上述 情形均應避免。
圖 3-6 五軸機械手臂退化位置
（五）、在 3×3 的姿態矩陣中，第一行至第三行分別表示爪端的 n、o、a 三個姿態單位向量，且 n、o、a 符合直角座標系的右手定則 （right-hand rule），故僅需知任兩個姿態向量，另一個可利用外 積（cross product）求出，因此第一行至第三行只需利用到其中 兩行，至於使用哪兩行，對結果而言並無顯著差異。另外由於 目標函數使用最小平方法概念，n、o、a 又屬單位向量，故任一
素求得，因此任一單位向量僅需使用其中兩個元素即可，是故 目標函數最少會用到四個姿態元素及三個位置元素，雖然簡化 了目標函數可提升運算效能，但是否可顧及精度要求，將在稍 後做比較。
（六）、由於θ2~θ4 的旋轉軸向是相同的，若初始值的位置不是很接近 期望位置，則其收斂組合會有很多種，甚至無法收歛的情況也 會發生，探究其原因，主要是因為目標位置的座標數值之絕對 值遠高於姿態矩陣中的元素，由於姿態是單位向量其數值相對於 位置座標顯的微不足道，而影響位置座標的θ角為θ1 至θ4， θ5並不影響位置座標僅影響姿態，正所謂：「失之毫釐，差之千 里」，由於目標函數是採用最小平方法，所以θ2~θ4會儘可能配 合空間位置的誤差使其最小，如此必會犧牲姿態矩陣的數值精度 而導致遷就空間位置的情形，同時θ5也會受到影響。
（七）、為減低空間位置座標在目標函數中所產生的巨大影響，必須使 空間位置座標中的數值減小，由於姿態矩陣使用的是單位向量，
若將位置座標亦化為單位向量，相信θ2~θ4 必能收斂到較恰當 的值，因此需設定兩種目標函數，其一為位置座標維持原數值，
用以計算誤差值；另一為位置座標已化為單位向量，用以計算 θ2~θ4 的值。由此可知，機械手臂的軸長愈大，其旋轉角度就 需愈精確，否則誤差值會隨之擴大。
表 3-11 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（一)
表 3-12 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（二)
表 3-13 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（三)
最速下降法(1) -22.5000 35.7496 -24.3114 28.3555 2576 9.977940E-06 最速下降法(2) -22.5000 35.7496 -24.3113 28.3556 2574 9.950809E-06 第
四 組
預期轉角 -22.5 30 -15 30 －
初始猜測角 60 60 -45 30 －
最速下降法(1) 45.0000 40.6362 -28.0577 22.4872 2375 9.957892E-06 最速下降法(2) 45.0000 40.6361 -28.0576 22.4876 2374 9.966123E-06 第
表 3-14 三種數值方法比較表第一部份第一階段 fminsearch 30.0000 59.9580 -44.8105 -30.2250 118 7.839758E-06 第 fminsearch -0.0003 89.9278 -44.7420 -45.2801 133 7.557437E-06 第 fminsearch -30.0000 75.0770 -30.1797 75.0503 107 6.717152E-06 第 fminsearch -22.5000 29.9926 -14.9855 29.9980 112 7.796080E-06 第 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.5057 0.0097 122 8.690619E-06 第 fminsearch -15.0000 14.9776 -59.9776 60.0294 105 7.184042E-06 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 －
※牛頓法無論在收斂速度及精度上均處於優勢
表 3-15 三種數值方法比較表第一部份第二階段 fminsearch 30.0000 57.3355 -34.2978 -41.8417 133 8.758651E-06 第 fminsearch 0.0000 91.2598 -49.6725 -39.7838 142 9.675031E-06 第 fminsearch -30.0000 82.1539 -45.5224 77.4495 133 9.776133E-06 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 －
初始猜測角 -30 20 -10 40 －
最速下降法(1) -22.5000 28.0332 -10.9562 29.0985 1291 9.947257E-06 牛頓法 -22.5000 36.8394 -25.6134 27.2740 6 2.683436E-07 fminsearch -22.5000 27.2880 -9.3064 28.5507 133 7.160712E-06 第 fminsearch 45.0000 44.1418 -14.8027 -10.7022 136 9.419626E-06 第 fminsearch -15.0000 8.4414 -51.7425 66.2903 147 6.980928E-06 第
六 組
表 3-16 三種數值方法比較表第一部份第三階段 fminsearch 30.0000 62.6805 -63.1376 -5.0807 175 5.407213E-06 第 fminsearch -0.0000 79.8100 -13.1413 -74.1985 162 7.220925E-06 第 fminsearch -30.0000 79.8747 -40.8503 77.1552 157 5.120402E-06 第 fminsearch -22.5000 27.5206 23.7061 -28.7344 328 9.851084E-06 第 fminsearch 45.0000 37.5724 -25.4318 27.2304 194 7.890728E-06 第 fminsearch -15.0000 19.6097 -63.6384 52.6175 307 8.674559E-06 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 －
※ 第三組的牛頓法的誤差值為何比最速下降法小，因為牛頓法亦收斂至該組解
表 3-17 三種數值方法比較表第一部份第四階段 fminsearch 30.0000 59.9769 -80.0626 30.1240 299 9.664749E-06 第
fminsearch -0.0000 5.0018 76.3830 3.2752 289 8.283701E-06 第 fminsearch -30.0000 53.5458 31.6008 34.3741 362 9.400327E-06 第 fminsearch -22.5000 19.1822 26.8418 -9.0899 354 8.707667E-06 第
四
組 預期轉角 -22.5 30 -15 30 －
最速下降法(1) 45.0000 20.1921 15.4037 10.0001 870 9.856360E-06 牛頓法 45.0000 32.2230 0.0000 0 6 5.282838E+00 fminsearch 45.0000 44.7394 -18.5862 -5.9615 303 8.408491E-06 第 fminsearch -15.0000 -26.6555 43.0797 11.9928 278 6.366193E-06 第
表 3-18 最速下降法修正前後比較表（一)
最速下降法(3) 30.0000 60.0368 -45.1692 -29.7974 89.9544 38 9.997664E-04 最速下降法(4) 30.0000 60.0373 -45.1698 -29.7979 90.0000 20 6.433488E-04 最速下降法(5) 30.0000 60.0010 -45.0030 -29.9979 90.0000 133 9.333238E-04 第
一 組
預期轉角 30 60 -45 -30 90 －
初始猜測角 0 1.57 -0.79 -0.79 0.52 －
最速下降法(3) 0.0000 89.9956 -44.9842 -45.0172 29.7939 11 1.199917E-03 最速下降法(4) -0.0000 89.9955 -44.9844 -45.0175 30.0000 15 6.751946E-04 最速下降法(5) -0.0000 89.9990 -44.9968 -45.0022 30.0000 69 9.615622E-04 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -0.52 1.31 -0.52 1.31 0 －
最速下降法(3) -29.9971 74.9440 -29.8691 74.9630 -0.0001 101 9.692708E-04 最速下降法(4) -30.0000 74.9439 -29.8691 74.9633 -0.0000 69 2.524881E-04 最速下降法(5) -29.9999 74.9984 -29.9954 74.9970 -0.0001 663 9.920004E-04
最速下降法(3) -22.5000 29.9060 -14.8142 29.9701 89.9545 416 9.960033E-04 最速下降法(4) -22.5000 29.9050 -14.8144 29.9735 90.0000 24 5.335034E-04 最速下降法(5) -22.5000 29.9969 -14.9912 29.9943 90.0000 964 9.954426E-04
最速下降法(3) -15.0000 15.0069 -60.0068 59.9908 -29.7943 314 1.199421E-03 最速下降法(4) -15.0000 15.0064 -60.0050 59.9891 -30.0000 90 9.738244E-04 最速下降法(5) -15.0000 14.9993 -59.9977 59.9984 -30.0000 85 9.917183E-04 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 -30 －
表 3-19 最速下降法修正前後比較表（二) 最速下降法(4) -15.0000 14.3564 -59.3390 60.8209 -30.0000 4926 5.453548E-03 最速下降法(5) -15.0000 14.9993 -59.9977 59.9984 -30.0000 636 9.891230E-04 第
六 組
表 3-20 最速下降法修正前後比較表（三)
最速下降法(3) 30.0000 62.0440 -56.3339 -15.3233 75.5862 5000 9.448252E-02 最速下降法(4) 30.0000 62.0477 -56.3615 -15.2843 90.0000 4925 4.442960E-02 最速下降法(5) 30.0000 60.0010 -45.0031 -29.9979 90.0000 831 9.529432E-04 第
一 組
預期轉角 30 60 -45 -30 90 －
初始猜測角 15 60 -30 -60 60 －
最速下降法(3) 0.0001 84.0337 -25.6249 -63.9693 58.1043 5000 1.664083E-01 最速下降法(4) 0.0000 84.0391 -25.6405 -63.9556 30.0000 4921 3.613166E-02 最速下降法(5) 0.0000 89.9989 -44.9968 -45.0023 30.0000 450 9.722603E-04 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -45 60 -45 60 30 －
最速下降法(3) -30.0062 77.0252 -34.6430 76.1495 22.4917 5000 1.302841E-01 最速下降法(4) -30.0014 77.0086 -34.6047 76.1415 0.0013 5000 8.474439E-03 最速下降法(5) -30.0014 75.0014 -30.0041 75.0027 0.0013 1780 9.978033E-04
最速下降法(3) -22.4999 35.6553 -24.1927 28.4397 60.8748 5000 1.724690E-01 最速下降法(4) -22.5000 32.7306 -19.9000 30.0214 90.0000 4935 1.767826E-02 最速下降法(5) -22.5000 30.0031 -15.0089 30.0057 89.9999 2794 9.993485E-04 第
四 組
預期轉角 -22.5 30 -15 30 90 －
初始猜測角 60 60 -45 30 -60 －
最速下降法(3) 44.9999 40.8330 -28.1605 22.0740 -60.8556 5000 1.939282E-01 最速下降法(4) 45.0000 44.6849 -25.7789 6.5598 -90.0000 4924 2.440518E-02 最速下降法(5) 45.0000 45.0021 -22.5059 0.0039 -90.0000 2302 9.984506E-04 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 0 30 -30 45 -15 －
最速下降法(3) -15.0000 16.9764 -61.8054 57.1733 -15.7325 5000 8.441200E-02 最速下降法(4) -15.0000 16.9892 -61.8160 57.1533 -30.0000 4924 1.738898E-02 最速下降法(5) -15.0000 15.0006 -60.0023 60.0016 -30.0000 596 9.940485E-04 第
表 3-21 三種數值方法比較表第二部份(甲)第一層級第一階段 fminsearch 30.0000 59.9967 -44.9851 -30.0178 90.0051 351 7.901101E-05 第 fminsearch 0.0000 90.0117 -45.0419 -44.9544 29.9914 234 9.254096E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -0.52 1.31 -0.52 1.31 0 －
最速下降法 -30.0000 74.9999 -29.9996 74.9997 -0.0000 967 9.904833E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 3 2.524769E-07 fminsearch -30.0000 75.0090 -30.0211 75.0060 0.0050 107 7.248318E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -0.39 0.52 -0.26 0.52 1.57 －
最速下降法 -22.5000 29.9997 -14.9992 29.9995 90.0000 2773 9.967119E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 3 9.417616E-07 fminsearch -22.5000 29.9985 -14.9970 29.9993 90.0071 338 9.811451E-05 第 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.5032 0.0055 -90.0097 180 8.052131E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -0.26 0.26 -1.04 1.04 -0.52 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0002 60.0001 -30.0000 167 9.534498E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 3 1.538738E-08 fminsearch -15.0000 14.9797 -59.9797 60.0266 -29.9826 311 9.443802E-05 第
六 組
表 3-22 三種數值方法比較表第二部份(甲)第一層級第二階段 fminsearch 30.0000 60.0035 -45.0161 -29.9807 89.9974 550 8.686451E-05 第 fminsearch -0.0000 90.0117 -45.0419 -44.9545 29.9925 1069 9.321804E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -40 80 -40 70 -10 －
最速下降法 -30.0000 75.0001 -30.0004 75.0003 0.0000 1721 9.914260E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 5 6.248575E-08 fminsearch -30.0001 74.9901 -29.9769 74.9936 0.0012 1852 8.365060E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -30 20 -10 40 80 －
最速下降法 -22.5000 29.9997 -14.9992 29.9995 90.0000 4182 9.971303E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 7 5.240771E-08 fminsearch -22.5000 29.9887 -14.9780 29.9970 89.9890 611 9.323935E-05 第
四 組
預期轉角 -22.5 30 -15 30 90 －
初始猜測角 40 50 -30 -10 -80 －
最速下降法 45.0000 44.9998 -22.4995 -0.0003 -90.0000 1901 9.897862E-05 牛頓法 45.0000 45.0000 -22.5000 0.0000 -90.0000 5 8.564850E-06 fminsearch 45.0000 44.9999 -22.4997 -0.0003 -89.9959 512 7.879077E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -5 10 -50 50 -40 －
最速下降法 -15.0000 14.9999 -59.9998 59.9999 -30.0000 360 9.824698E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 5 4.956619E-09 fminsearch -15.0000 15.0097 -60.0097 59.9874 -30.0202 1402 8.603972E-05 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 -30 －
表 3-23 三種數值方法比較表第二部份(甲)第一層級第三階段 fminsearch 30.0001 57.7774 -82.9152 40.1388 -89.9872 832 9.739951E-05 第 fminsearch 0.0000 90.0066 -45.0235 -44.9746 29.9997 666 9.573306E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -45 60 -45 60 30 －
最速下降法 -30.0000 75.0001 -30.0004 75.0003 0.0000 1736 9.943454E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 7 7.141905E-08 fminsearch -29.9999 75.0102 -30.0237 75.0066 0.0059 722 7.223677E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 0 45 -30 60 60 －
最速下降法 -22.5000 30.0003 -15.0008 30.0005 90.0000 4031 9.982857E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0001 30.0001 90.0000 7 1.534145E-05 fminsearch -22.5000 39.2170 0.0000 -23.8468 -90.0000 1426 3.801112E-01 第 fminsearch 45.0000 45.0001 -22.4986 -0.0025 -90.0092 949 8.693475E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 0 30 -30 45 -15 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0002 60.0001 -30.0000 356 9.513291E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 7 1.232871E-09 fminsearch -15.0000 30.5000 -56.6447 11.1251 29.9786 1417 9.956803E-05 第
六 組
表 3-24 三種數值方法比較表第二部份(甲)第一層級第四階段 fminsearch 30.0000 57.7734 -82.9190 40.1547 -89.9948 1921 9.667407E-05 第 fminsearch -0.0000 61.7390 37.2415 -101.5744 18.4894 3211 3.159961E-02 第
二
組 預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
最速下降法 -30.0000 53.9568 30.0004 36.0428 -0.0000 1319 9.922214E-05 牛頓法 -44.5828 96.4074 -67.1823 -148.7718 -16.5825 100 1.143764E+02 fminsearch -30.0001 53.9680 29.9577 36.0867 -0.0103 1393 9.785544E-05 第 fminsearch -22.5000 29.9953 -14.9910 29.9990 89.9897 2201 9.481599E-05 第
四
組 預期轉角 -22.5 30 -15 30 90 －
最速下降法 45.0000 29.1555 22.4995 -29.1549 -90.0000 2648 9.969985E-05 牛頓法 45.0000 29.1553 22.5000 -29.1553 -90.0000 8 2.074240E-06 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.5077 0.0131 -89.9991 1953 9.442548E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
最速下降法 -15.0000 -25.8415 59.9998 -19.1582 -30.0000 508 9.586806E-05 牛頓法 -15.0000 -25.8416 60.0000 -19.1584 -30.0000 15 8.870758E-07 fminsearch -15.0000 -25.8476 59.9841 -19.1158 -29.9832 2265 8.245645E-05 第
表 3-25 三種數值方法比較表第二部份(甲)第二層級第一階段 fminsearch 30.0000 59.9981 -44.9915 -30.0100 89.9970 340 7.899936E-05 第 fminsearch 0.0000 89.9894 -44.9621 -45.0412 30.0035 372 9.826486E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -0.52 1.31 -0.52 1.31 0 －
最速下降法 -30.0000 74.9998 -29.9995 74.9997 -0.0000 1123 9.905060E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 3 1.438332E-07 fminsearch -29.9999 75.0090 -30.0212 75.0059 0.0050 105 9.467213E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -0.39 0.52 -0.26 0.52 1.57 －
最速下降法 -22.5000 29.9997 -14.9991 29.9994 90.0000 1857 9.994902E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 3 8.414244E-07 fminsearch -22.5000 29.9953 -14.9911 29.9991 90.0063 304 9.558584E-05 第 fminsearch 45.0000 44.9999 -22.5031 0.0055 -89.9982 181 8.982053E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -0.26 0.26 -1.04 1.04 -0.52 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0002 60.0002 -30.0000 167 9.970339E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 3 1.294347E-08 fminsearch -15.0000 14.9949 -59.9950 60.0068 -29.9895 319 9.710038E-05 第
六 組
表 3-26 三種數值方法比較表第二部份(甲)第二層級第二階段 fminsearch 30.0000 59.9981 -44.9915 -30.0100 89.9964 582 9.951083E-05 第 fminsearch -0.0000 90.0072 -45.0255 -44.9723 29.9963 1247 9.799571E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -40 80 -40 70 -10 －
最速下降法 -30.0000 75.0002 -30.0005 75.0003 0.0000 1847 9.934178E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 5 2.802928E-08 fminsearch -30.0001 53.9574 29.9984 36.0447 0.0058 2568 5.935991E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -30 20 -10 40 80 －
最速下降法 -22.5000 29.9997 -14.9991 29.9994 90.0000 3360 9.999996E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 7 6.961481E-09 fminsearch -22.5000 29.9964 -14.9931 29.9991 90.0143 558 9.541506E-05 第 fminsearch 45.0000 44.9999 -22.4930 -0.0119 -89.9880 427 9.534284E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -5 10 -50 50 -40 －
最速下降法 -15.0000 14.9999 -59.9998 59.9998 -30.0000 398 9.962882E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 5 3.611520E-09 fminsearch -15.0000 14.9946 -59.9947 60.0072 -29.9936 501 8.955040E-05 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 -30 －
※“fminsearch”有一組數據姿態發散，其餘收斂
表 3-27 三種數值方法比較表第二部份(甲)第二層級第三階段 fminsearch 30.0000 60.0012 -45.0051 -29.9940 90.0067 1256 9.773887E-05 第 fminsearch -0.0000 89.9977 -44.9918 -45.0090 29.9880 764 9.191383E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -45 60 -45 60 30 －
最速下降法 -30.0000 75.0002 -30.0005 75.0003 0.0000 1928 9.955160E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 7 2.670973E-06 fminsearch -30.0001 74.9963 -29.9915 74.9978 -0.0016 583 9.413797E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 0 45 -30 60 60 －
最速下降法 -22.5000 30.0003 -15.0009 30.0006 90.0000 3241 9.962157E-05 牛頓法 -22.5000 30.0001 -15.0002 30.0001 90.0000 7 2.412550E-05 fminsearch -22.5000 30.0037 -15.0075 30.0014 90.0078 1193 9.232239E-05 第 fminsearch 45.0000 44.9999 -22.5086 0.0151 -90.0026 948 9.582239E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 0 30 -30 45 -15 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0002 60.0002 -30.0000 340 9.989679E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 7 2.602272E-06 fminsearch -15.0000 15.0012 -60.0012 59.9985 -29.9905 1691 7.911930E-05 第
六 組
表 3-28 三種數值方法比較表第二部份(甲)第二層級第四階段
最速下降法 30.0000 28.8074 44.9997 -88.8071 90.0000 7050 9.952308E-05 牛頓法 30.0000 60.0000 -45.0000 -30.0000 90.0000 7 4.161260E-08 fminsearch 30.0000 59.9971 -44.9867 -30.0158 89.9942 2277 9.634765E-05 第
一 組
預期轉角 30 60 -45 -30 90 －
最速下降法 0 58.8074 44.9997 -103.8071 30.0000 957 9.669365E-05 牛頓法 0.0000 90.0000 -45.0000 -45.0000 30.0000 9 2.228739E-06 fminsearch 0.0000 58.8128 44.9857 -103.8037 30.0116 2135 8.344027E-05 第
二
組 預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
最速下降法 -30.0000 53.9568 30.0005 36.0427 -0.0000 1217 9.903729E-05 牛頓法 -30.0000 53.9569 30.0000 36.0431 0.0000 12 1.394694E-09 fminsearch -30.0001 53.9464 30.0405 36.0013 0.0043 1804 9.605848E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
最速下降法 -22.5000 19.4073 15.0009 10.5918 90.0000 4590 9.998035E-05 牛頓法 -22.5000 19.4077 15.0000 10.5923 90.0000 6 3.430444E-08 fminsearch -22.5000 19.4086 14.9950 10.5980 90.0000 1712 5.720729E-05 第
四
組 預期轉角 -22.5 30 -15 30 90 －
最速下降法 45.0000 29.1555 22.4994 -29.1549 -90.0000 3597 9.952041E-05 牛頓法 45.0000 29.1553 22.5000 -29.1553 -90.0000 10 4.265970E-09 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.4927 -0.0124 -90.0019 1261 8.531725E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
最速下降法 -15.0000 -25.8415 59.9998 -19.1582 -30.0000 544 9.638317E-05 牛頓法 -15.0000 -25.8416 60.0000 -19.1584 -30.0000 8 6.105379E-06 fminsearch -15.0000 -25.8395 60.0054 -19.1730 -29.9868 1861 9.281491E-05 第
表 3-29 三種數值方法比較表第二部份(甲)第三層級第一階段 fminsearch 30.0000 59.9953 -44.9789 -30.0251 89.9963 347 7.818957E-05 第 fminsearch 0.0000 89.9920 -44.9712 -45.0313 30.0015 334 9.748902E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -0.52 1.31 -0.52 1.31 0 －
最速下降法 -30.0000 74.9998 -29.9995 74.9997 -0.0000 1118 9.946700E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 -0.0000 3 1.108913E-07 fminsearch -29.9999 75.0090 -30.0212 75.0059 0.0050 105 9.152048E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -0.39 0.52 -0.26 0.52 1.57 －
最速下降法 -22.5000 29.9996 -14.9990 29.9993 90.0000 1817 9.946186E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 3 7.286910E-07 fminsearch -22.5000 29.9950 -14.9904 29.9987 89.9962 297 8.703528E-05 第 fminsearch 45.0000 44.9998 -22.5020 0.0040 -89.9948 186 9.450702E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -0.26 0.26 -1.04 1.04 -0.52 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0003 60.0002 -30.0000 177 9.609682E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 3 1.413890E-08 fminsearch -15.0000 14.9991 -59.9991 60.0012 -30.0007 258 9.606450E-05 第
六 組
表 3-30 三種數值方法比較表第二部份(甲)第三層級第二階段 fminsearch 30.0000 60.0012 -45.0052 -29.9939 89.9986 596 4.879116E-05 第 fminsearch 0.0000 89.9936 -44.9772 -45.0248 30.0076 788 8.962487E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -40 80 -40 70 -10 －
最速下降法 -30.0000 75.0002 -30.0005 75.0003 0.0000 1445 9.975697E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 -0.0000 5 2.148647E-09 fminsearch -29.9999 53.9484 30.0329 36.0092 -0.0017 1480 8.109416E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -30 20 -10 40 80 －
最速下降法 -22.5000 29.9996 -14.9990 29.9993 90.0000 3312 9.971877E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 7 4.994693E-09 fminsearch -22.5000 29.9988 -14.9979 29.9999 89.9966 493 9.923332E-05 第 fminsearch 45.0000 44.9998 -22.4954 -0.0074 -89.9901 334 9.836313E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -5 10 -50 50 -40 －
最速下降法 -15.0000 14.9999 -59.9997 59.9998 -30.0000 372 9.754458E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 5 2.582681E-09 fminsearch -15.0000 14.9971 -59.9971 60.0037 -29.9966 887 8.023974E-05 第
六 組
預期轉角 -15 15 -60 60 -30 －
※ ”fminsearch”有一組數據姿態發散，其餘收斂
表 3-31 三種數值方法比較表第二部份(甲)第三層級第三階段 fminsearch 30.0000 60.0009 -45.0039 -29.9954 90.0078 874 7.838327E-05 第 fminsearch -0.0001 90.0038 -45.0136 -44.9853 29.9975 776 9.625533E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -45 60 -45 60 30 －
最速下降法 -30.0000 75.0002 -30.0005 75.0003 0.0000 1530 9.891329E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 -0.0000 7 6.453426E-07 fminsearch -30.0003 74.9938 -29.9854 74.9959 0.0021 619 9.687295E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 0 45 -30 60 60 －
最速下降法 -22.5000 30.0004 -15.0010 30.0007 90.0000 3195 9.986571E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0001 30.0001 90.0000 7 8.085608E-06 fminsearch -22.5000 29.9995 -14.9988 29.9995 89.9995 1006 8.985174E-05 第 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.4839 -0.0278 -90.0050 903 9.735670E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 0 30 -30 45 -15 －
最速下降法 -15.0000 15.0001 -60.0003 60.0002 -30.0000 456 9.439424E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 7 1.822683E-06 fminsearch -15.0000 15.0023 -60.0023 59.9971 -30.0003 1539 9.634392E-05 第
六 組
表 3-32 三種數值方法比較表第二部份(甲)第三層級第四階段 fminsearch 30.0000 59.9981 -44.9914 -30.0103 89.9990 1972 6.772030E-05 第 fminsearch 0.0001 58.8125 44.9863 -103.8038 30.0079 2377 9.829619E-05 第
二
組 預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
最速下降法 -30.0000 53.9568 30.0005 36.0427 -0.0000 935 9.878636E-05 牛頓法 -30.0000 53.9569 30.0000 36.0431 -0.0000 10 9.069183E-10 fminsearch -29.9999 62.4221 2.6628 59.1430 -0.0492 706 3.012084E-02 第 fminsearch -22.5000 29.9934 -14.9870 29.9981 89.9962 1259 7.065046E-05 第
四
組 預期轉角 -22.5 30 -15 30 90 －
最速下降法 45.0000 29.1555 22.4993 -29.1548 -90.0000 3560 9.986134E-05 牛頓法 45.0000 29.1553 22.5000 -29.1553 -90.0000 8 9.504512E-07 fminsearch 45.0000 45.0002 -22.4970 -0.0055 -89.9985 1049 9.872764E-05 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
最速下降法 -15.0000 -25.8415 59.9997 -19.1582 -30.0000 564 9.349589E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0001 60.0001 -30.0000 8 4.024990E-05 fminsearch -15.0000 -26.0372 38.8209 17.7050 -30.7585 824 1.101602E-01 第
表 3-33 三種數值方法比較表第二部份(乙)第一層級第一階段 fminsearch 30.0000 59.5876 -45.2637 -29.7938 89.9544 400 8.568855E-05 第 fminsearch 0.0000 89.9544 -45.2637 -45.2637 29.7938 247 9.254096E-05 第
二 組
預期轉角 0 90 -45 -45 30 －
初始猜測角 -0.52 1.31 -0.52 1.31 0 －
最速下降法 -30.0000 74.9999 -29.9996 74.9997 -0.0000 980 9.900073E-05 牛頓法 -30.0000 75.0000 -30.0000 75.0000 0.0000 3 2.524769E-07 fminsearch -30.0000 75.0575 -29.7938 75.0575 0 120 7.248318E-05 第
三 組
預期轉角 -30 75 -30 75 0 －
初始猜測角 -0.39 0.52 -0.26 0.52 1.57 －
最速下降法 -22.5000 29.9997 -14.9992 29.9995 90.0000 2837 9.967299E-05 牛頓法 -22.5000 30.0000 -15.0000 30.0000 90.0000 3 9.417616E-07 fminsearch -22.5000 29.7938 -14.8969 29.7938 89.9544 377 9.108315E-05 第 fminsearch 44.9999 45.2637 -22.3454 0 -89.9544 175 7.218868E-06 第
五 組
預期轉角 45 45 -22.5 0 -90 －
初始猜測角 -0.26 0.26 -1.04 1.04 -0.52 －
最速下降法 -15.0000 14.9999 -59.9998 59.9999 -30.0000 178 9.712527E-05 牛頓法 -15.0000 15.0000 -60.0000 60.0000 -30.0000 3 1.538739E-08 第
六
表 3-34 三種數值方法比較表第二部份(乙)第一層級第二階段
表 3-34 三種數值方法比較表第二部份(乙)第一層級第二階段