最速下降法

3-1 最速下降法

最速下降法最速下降法最速下降法（（（（Steepest Descent Method））））

最速下降法能求出g:Rⁿ →R之多變數函數的局部（local）極小值，

R

Rⁿ → 之函數的極小化與非線性方程組之間的關係由以下的式子說明：

0 ) , , , ( _{1 2}

1 _n =

f θ θ ^Lθ 0 ) , , , ( _{1 2}

2 _n =

f θ θ ^Lθ M

0 ) , , ,

( _{1 2 n} =

fn θ θ ^Lθ

其解為 θ =(θ₁,θ₂,^L,θ_n)^T 上標 T 表示轉置矩陣

假設五軸機械手臂夾爪端點的位置及姿態為已知，且其機械手臂末

^M

方向 v 的方向導數定義為 ( ) ( ) ( )

)

n

3-2 牛頓

牛頓牛頓牛頓法法法（法（（（Newton’s Method））））

若目標點的座標位置，不考慮姿態，其目標函數的建立採用（3.3）

3-3 結果比較

結果比較結果比較 結果比較

本研究所指之五軸機械手臂如圖 3-2 所示，因尚未命名，故暫以五 軸機械手臂稱之，其逆向運動學分別利用最速下降法、牛頓法以及數學 計算軟體 MATLAB 7.2 版的內建指令”fminsearch”（數值方法為 ”Nelder Mead simplex direct search”）等三種數值方法進行運算，並對其結果做 比較分析。

圖 3-2 五軸機械手臂實體圖 圖 3-3 五軸機械手臂參數位置

3-3-1 五軸機械手臂於正向運動學的初始條件

首先依 D-H 規則繪製五軸機械手臂的座標系，如圖 3-4 所示，並將

d

₁

a

₂

a

₃

d

₅

其相關參數值列表於表 3-1、表 3-2 與表 3-3。在表 3-1 中，d_i表連桿間距，

包括 d₁、d₅；a_i表連桿長度，包括 a₂、a₃，其數值大小均列於表 3-2 中，

其位置如圖 3-3，其中 d₁數值包括固定底座高度 190mm 及旋轉軸高度 207mm，而 d5數值並未包含端效器長度；θ_i表關節轉角，包括 θ₁~θ5，其 中 θ₄屬非零相位，因 i3軸需對 k3軸旋轉

2

π 才能與 i4軸平行；α_i表旋轉角，

其中 α₁指 k0軸繞 i1軸旋轉

2

π 後與 k1軸平行，α₄指 k3軸繞 i4軸旋轉

2 π後 與 k₄軸平行。有關 θ_i的可動建議範圍列於表 3-3。

圖 3-4 五軸機械手臂座標設置圖

θ

₂

θ

₁

θ

₃

θ

₄

θ

₅

k

₀

k

1

k

2

k

3

k

4

k

₅

i

0

i

1

i

2

i

3

i

4

i

₅

j

0

j

1

j

2

j

₃

j

4

j

5

d

1

d

5

a

2

a

₃

表 3-1 五軸機器人 D-H 參數表

表 3-2 五軸機器人參數值

d1 a2 a3 d5

397mm 210mm 115mm 160mm

表 3-3 五軸機器人各關節角建議可動範圍

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

－90^o~90^o 0^o~90^o 0^o~－90^o －90^o~90^o －90^o~90^o

首先從五軸機械手臂的正向運動學著手，在輸入各軸關節轉角部 份，分成六組不同的數據，透過正向運動學的運算(電腦程式 fiveaxis.m)，

可獲得六組輸出的位姿矩陣，其相關之數據將列於表 3-4、表 3-5、表 3-6、

表 3-7、表 3-8 及表 3-9。而正向運動學的轉換矩陣計算如下：

Link Offset di Joint Angle θi Link Length ai Twist Angle αi

1 d1 θ₁ 0 π/2

2 0 θ

2 a₂ 0

3 0 θ₃ a3 0

4 0 θ₄＋π/2 0 π/2

5 d5 θ₅ 0 0

1

4

[

表 3-4 第一組輸入、輸出數據

第一組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

π/6 π/3 －π/4 －π/6 π/2

第一組輸出的手爪端效器位姿矩陣

0.5 －0.2241438680 0.8365163037 320.9746509253

－0.8660254038 －0.1294095226 0.4829629131 185.3148011147

0 －0.9659258263 －0.2588190451 567.2184777651

0 0 0 1

表 3-5 第二組輸入、輸出數據

第二組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

0 π/2 －π/4 －π/4 π/6

第二組輸出的手爪端效器位姿矩陣

0 0 1 241.3172798365

－0.5 －0.8660254038 0 0 0.8660254038 －0.5 0 688.3172798365

0 0 0 1

表 3-6 第三組輸入、輸出數據

第三組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

－π/6 5π/12 －π/6 5π/12 0 第三組輸出的手爪端效器位姿矩陣

－0.75 －0.5 －0.4330127019 48.2110100911 0.4330127019 －0.8660254038 0.25 －27.8346396540

－0.5 0 0.8660254038 819.7257679627

0 0 0 1

表 3-7 第四組輸入、輸出數據

第四組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

－π/8 π/6 －π/12 π/6 π/2 第四組輸出的手爪端效器位姿矩陣

－0.3826834324 0.6532814824 0.6532814824 375.1725942760

－0.9238795325 －0.2705980501 －0.2705980501 －155.4015767798 0 －0.7071067812 0.7071067812 644.9012751766

表 3-8 第五組輸入、輸出數據

第五組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

π/4 π/4 －π/8 0 －π/2

第五組輸出的手爪端效器位姿矩陣

－0.7071067812 －0.2705980501 0.6532814824 284.6524076705 0.7071067812 －0.2705980501 0.6532814824 284.6524076705 0 0.9238795325 0.3826834324 650.7303679496

0 0 0 1

表 3-9 第六組輸入、輸出數據

第六組輸入的各軸關節轉角

θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅

－π/12 π/12 －π/3 π/3 －π/6 第六組輸出的手爪端效器位姿矩陣

－0.0870968284 －0.3491438680 0.9330127019 423.7611604177

0.5409756150 －0.8030226547 －0.25 －113.5464607176 0.8365163037 0.4829629131 0.2588190451 411.4457668515

0 0 0 1

3-3-2 五軸機械手臂於逆向運動學的初始條件 就五軸機械手臂的目標設定先分成兩大部分：

第一部份：將端效器視為質點，無需考慮其姿態，僅就空間位置作討論。

第二部份：將姿態與空間位置一併考慮，再區分為甲、乙兩類型：

甲類：不考慮關節角轉向限制及可動範圍（電腦程式 fiveposeall.m）

乙類：考慮關節角轉向限制及可動範圍（電腦程式 fivepall.m）

每一個部份再以關節轉角初始值的誤差大小分成四個階段：

第一階段：初始值有小於 1 度的誤差。

第二階段：初始值有 5~10 度的誤差。

第三階段：初始值有 15~30 度的誤差。

第四階段：初始值均設為零。

每一階段再細分成六組不同數據的初始值，詳見表 3-10。在各比較 表中每一組均有預期轉角，即為前一節正向運動學所輸入的各軸關節轉 角。較細部的比較架構見圖 3-5。

在最速下降法中的線段搜尋參數 α，其決定方式在第一部分使用了 牛頓二次及三次內插多項式分別比較，並以最速下降法(1)及最速下降法 (2) 表 示 之 ， 見 表 3-11 ～ 3-13 ； 最 後 挑 選 誤 差 較 小 者 與 牛 頓 法 及”fminsearch”做比較，見表 3-14～3-17(電腦程式 fiveall.m，副程式 efall.m)。在第二部分最速下降法採用了牛頓三次內插多項式決定參數

以最速下降法(4)表示之(電腦程式 fiveposedes24.m)，第二次的修正是將 空間位置座標化為單位向量，以最速下降法(5)表示之，並將修正前後分 別在三個階段中做比較，見表 3-18～3-20，最後挑選出誤差值較小者與 牛頓法及”fminsearch”依目標函數的不同分三個層級四個階段做比較。

(第二部份的電腦副程式均為 efp200.m)

第一層級：目標函數使用四個姿態元素及三個位置元素。甲類型見表 3-21～3-24、乙類型見表 3-33～3-36。

第二層級：目標函數使用六個姿態元素及三個位置元素。甲類型見表 3-25～3-28、乙類型見表 3-37～3-40。

第三層級：目標函數使用九個姿態元素及三個位置元素。甲類型見表 3-29～3-32、乙類型見表 3-41～3-44。

圖 3-5 各數值方法比較架構圖

逆向運動學

fminsearch 最速下降法 牛頓法

牛頓三次 內插多項式 第一次修正 修正前

空間位姿 空間位置

第二次修正

7 個函數的 目標函數

9 個函數的 目標函數

12 個函數的 目標函數

牛頓二次 內插多項式

有 0~1 度的誤差 有 5~10 度的誤差 有 15~30 度的誤差

第三組數據 第二組數據

第一組數據 第四組數據 第五組數據 第六組數據

初值均設為 0 空間位姿及轉向限制

表 3-10 逆向運動學各關節轉角初始猜測值總表 第二部份

第一部份 各關節轉角

組別及階段別

θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 第一階段 0.52 1.04 －0.79 －0.52 1.57 第二階段 35^o 50^o －35^o －35^o 80^o 第一組

第三階段 15^o 30^o －60^o －15^o 75^o 第一階段 0 1.57 －0.79 －0.79 0.52 第二階段 －10^o 80^o －40^o －50^o 40^o 第二組

第三階段 15^o 60^o －30^o －60^o 60^o 第一階段 －0.52 1.31 －0.52 1.31 0 第二階段 －40^o 80^o －40^o 70^o －10^o 第三組

第三階段 －45^o 60^o －45^o 60^o 30^o 第一階段 －0.39 0.52 －0.26 0.52 1.57 第二階段 －30^o 20^o －10^o 40^o 80^o 第四組

第三階段 0^o 45^o －30^o 60^o 60^o 第一階段 0.79 0.79 －0.39 0 －1.57 第二階段 40^o 50^o －30^o －10^o －80^o 第五組

第三階段 60^o 60^o －45^o 30^o －60^o 第一階段 －0.26 0.26 －1.04 1.04 －0.52 第二階段 －5^o 10^o －50^o 50^o －40^o 第六組

第三階段 0^o 30^o －30^o 45^o －15^o

3-3-3 改善對策與結果比較

單從最速下降法(3)中，不難發現所得的結果其誤差值偏高，其主要 的原因及改善的方式敘述如下：

（一）、在 4×4 的矩陣中，除第四列不予考慮外，共有十二個元素，包 括 3×3 姿態矩陣及 3×1 的位置矩陣，因此可列十二個方程組，

再以最小平方法（the least square method）設定此十二個方程組 的目標函數。

（二）、就本文所論述之五軸機器人，θ₅ 為爪端的旋轉角，當θ₁ 與θ₅ 旋轉軸相互平行會有退化情形，見圖 3-6，只要θ5 的旋轉軸向 不與θ1的旋轉軸向平行，θ₅與θ₁可視為獨立的旋轉軸，因為 與θ2~θ4的旋轉軸均不相同，由於θ₅僅影響機械手臂的姿態，

並不影響位置座標，故可先從姿態矩陣中求出θ5，而θ₁~θ4的 組合可能有許多種，故僅選取θ5的收斂值為其解。

（三）、θ₅ 的角度一經確定，θ₁ 的方向就可以確定，就像圓周上任一 點的切線方向或徑向均不同，一旦切線方向確認後，圓心至切 點的方向就能確認，此方向便是θ1 的方向，不過此方向有正負 之分，只要初始猜測值不要偏離期望值太遠，應不致發生收斂 至反方向而導致發散的情形，若將各軸轉向及可動範圍的限制 條件一併考慮，則發散的情形會有顯著的改善，由於θ1 的轉動 範圍一旦被限制，θ1 便不會出現收斂至反方向的情形，而θ₃ 的轉向一旦被限制，則不致產生多重解(Multiple Solutions)的情

形，因此僅需對θ1及θ₃作限制即可。

（四）、若機械手臂呈鉛垂的一直線時，如圖 3-6 所示，θ1 與θ₅ 會是 同一旋轉軸向，如此會發生退化（degeneracy）現象，或是在某 些位置會發生空間位置可收斂，姿態卻無法收歛至期望值的情 況，這些位置被稱為不敏捷空間（nondexterous volume），上述 情形均應避免。

圖 3-6 五軸機械手臂退化位置

（五）、在 3×3 的姿態矩陣中，第一行至第三行分別表示爪端的 n、o、a 三個姿態單位向量，且 n、o、a 符合直角座標系的右手定則 （right-hand rule），故僅需知任兩個姿態向量，另一個可利用外 積（cross product）求出，因此第一行至第三行只需利用到其中 兩行，至於使用哪兩行，對結果而言並無顯著差異。另外由於 目標函數使用最小平方法概念，n、o、a 又屬單位向量，故任一

素求得，因此任一單位向量僅需使用其中兩個元素即可，是故 目標函數最少會用到四個姿態元素及三個位置元素，雖然簡化 了目標函數可提升運算效能，但是否可顧及精度要求，將在稍 後做比較。

（六）、由於θ₂~θ4 的旋轉軸向是相同的，若初始值的位置不是很接近 期望位置，則其收斂組合會有很多種，甚至無法收歛的情況也 會發生，探究其原因，主要是因為目標位置的座標數值之絕對 值遠高於姿態矩陣中的元素，由於姿態是單位向量其數值相對於 位置座標顯的微不足道，而影響位置座標的θ角為θ₁ 至θ₄， θ₅並不影響位置座標僅影響姿態，正所謂：「失之毫釐，差之千 里」，由於目標函數是採用最小平方法，所以θ₂~θ₄會儘可能配 合空間位置的誤差使其最小，如此必會犧牲姿態矩陣的數值精度 而導致遷就空間位置的情形，同時θ₅也會受到影響。

（七）、為減低空間位置座標在目標函數中所產生的巨大影響，必須使 空間位置座標中的數值減小，由於姿態矩陣使用的是單位向量，

若將位置座標亦化為單位向量，相信θ2~θ4 必能收斂到較恰當 的值，因此需設定兩種目標函數，其一為位置座標維持原數值，

用以計算誤差值；另一為位置座標已化為單位向量，用以計算 θ2~θ4 的值。由此可知，機械手臂的軸長愈大，其旋轉角度就 需愈精確，否則誤差值會隨之擴大。

表 3-11 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（一)

表 3-12 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（二)

表 3-13 最速下降法中牛頓二次與三次內插多項式比較表（三)

最速下降法(1) -22.5000 35.7496 -24.3114 28.3555 2576 9.977940E-06 最速下降法(2) -22.5000 35.7496 -24.3113 28.3556 2574 9.950809E-06 第

四 組

預期轉角 -22.5 30 -15 30 －

初始猜測角 60 60 -45 30 －

最速下降法(1) 45.0000 40.6362 -28.0577 22.4872 2375 9.957892E-06 最速下降法(2) 45.0000 40.6361 -28.0576 22.4876 2374 9.966123E-06 第

表 3-14 三種數值方法比較表第一部份第一階段 fminsearch 30.0000 59.9580 -44.8105 -30.2250 118 7.839758E-06 第 fminsearch -0.0003 89.9278 -44.7420 -45.2801 133 7.557437E-06 第 fminsearch -30.0000 75.0770 -30.1797 75.0503 107 6.717152E-06 第 fminsearch -22.5000 29.9926 -14.9855 29.9980 112 7.796080E-06 第 fminsearch 45.0000 45.0000 -22.5057 0.0097 122 8.690619E-06 第 fminsearch -15.0000 14.9776 -59.9776 60.0294 105 7.184042E-06 第

六 組

預期轉角 -15 15 -60 60 －

※牛頓法無論在收斂速度及精度上均處於優勢

表 3-15 三種數值方法比較表第一部份第二階段

表 3-15 三種數值方法比較表第一部份第二階段

在文檔中 五軸機器人之運動學分析 (頁 37-0)