本節說明教科書中能夠如何培養出學生的數學素養，以下說明的題目選取 是由和過去課本不曾出現過的、特別傳統於以往的編排方式，且能夠培養出學 生素養的內容來分析。在質性說明利用 PISA 2021 架構中三個解題歷程的子項 目為主，以及數學推理和數學領綱的精神輔以說明。
以下分為四部分：第一部分是情境脈絡、第二部分是活動脈絡、第三部分 是其他不同於傳統之輔助學習方式、第四部份則是課文內容。
（一）、情境脈絡
PISA 2021 架構中明確定義該測驗是評估 15 歲學生在面對情境或是問題 時，有多大的程度能進行數學推理和熟練地處理數學問題，而這些情境和問題 大部分都是在現實生活中出現的。
由於PISA 在測量學生的素養程度時所提供的問題都強調真實問題，要求 學生能在這之中展現出數學推理和他們的思維。因此在素養導向的教材中，也 會有許多真實情境的問題，盡量讓學生感受到數學與生活是息息相關的。
PISA 認為有數學素養的學生在解決問題時，會經歷建模週期(modelling cycle)（包含形成、應用、詮釋與評估）是重要的。然而，通常沒有必要參與建 模週期的每個階段，特別是評估。一般而言，數學建模週期的重要部分由其他 人承擔，最終學生只需執行建模週期的一些步驟，但不是全部。
44
1. 高一課本
介紹 10 乘冪的課文內容。
45
圖 肆-1 情境脈絡範例 1
在此文本的勾選結果中，辨識出本題在「形成」有F1.F2.F3.F5.F6.F8.F9，
在「應用」中有E1.E2.E3.E4.E5.E6.E7.，在「詮釋」中有 I3.I5.I6。
1. 課本利用真實的濃度問題，帶學生體會、觀察如何計算「兩個相同體積」混 合後的濃度問題，提出是否能將pH 值相加除以 2 得到新的溶液 pH 值。課本 帶 給 學 生 有 結 構 的 解 題 歷 程 ， 提 出 「 濃 度 的 模 型 」， 將 濃 度 表 示 成 溶質莫耳數
溶液體積 (F1)， 並辨識出真實世界中數學面向的問題找出重要的變數是 溶質莫耳數跟溶液體積(F2)。因此可以發現新的 pH 值不能直接用原先的 pH 值相加除以2，所以 3+4
2 = 3.5 並不是真正的新的 pH 值(F5)。在計算出新濃 度後，可以透過濃度與pH 值的關係看出 pH 值是濃度的次方再加一個負號，
這種關係也是一種結構(F3)，正是後面希望學生學習的對數結構性。當他們能 將一個混合濃度的問題翻譯成數學語言，理解真實世界中大家對「pH 值」這 個詞彙的意義與對數學世界中如何計算濃度的方式(F8.F9)。基於以上原因，
認為此段落有意圖培養學生「形成」的素養。
2. 在「應用」的部分，教科書帶領學生參與一次「應用」的過程。首先把濃度 進行簡單的相加除以2 的運算(E1)，選擇莫耳濃度的模型並透過此模型得出 濃度為5.5 × 10−4 (E3.E4.E6.E7)，得知 pH 值應該是介於 3 到 4 之間的結論 (E2)。最後能夠利用計算機得知5.5 ≈ 100.74，因此混合濃度的pH 值約為 3.26 (E5)。
46
3. 在「詮釋」的部分，透過教科書的指引，期望學生能再一開始了解 pH 值不 是 3+4
2 = 3.5 ，並能解釋出因為濃度和 pH 值不同的意義，混合溶液如果利 用pH 值相加除以 2 是沒有意義的(I6)，因此依照上下文選擇濃度的模型調 整。此後透過濃度得出真正的pH 值約為 3.26，並將此結果解釋回真實世界 回答原始的問題(I3)。
本題作為第一個認識10 的乘冪的範例，利用生活中會遇到的溶液混合問題 探討混合後的pH 值，和國中理化結合，屬於跨學科的問題。利用數學是一門 善於處理規律的科學的特性，在看似複雜的應用領域中，經過數學的協助分 析，處理濃度與pH 值之間的規律問題。符合《數學領綱》第二點，「數學是 一種實用的規律科學，教學宜重視跨領域的統整」。
這一題可以幫助學生理解10 的乘冪的需求，在學生認知到數學解答並不是
3+4
2 = 3.5 時，可能會對學生產生強大的認知衝突，大大增加了學生在學習本單 元的需求。因此當教科書帶領學生經歷這樣有真實情境脈絡的問題時，不僅僅 是學習一個新的數學概念，而是真正學習數學是如何應用在生活當中，這對學 生的學習是有幫助的。
47
以下利用另一種方式幫助讀者讀取這一題中含有的「形成」：
圖 肆-2 情境脈絡範例 1—形成
F1 選擇適當的模型 F2 識別出真實情境
中的重要變數
F5 看出數學建模背後的限制 F3 識別出情境中的
結構(濃度&pH 值)
F8 理解特定情境中 的語言(pH 值)與形
式語言(10 的冪次) 的關係 F9 把問題翻譯成數
學語言
48
以下利用另一種方式幫助讀者讀取這一題中含有的「應用」：
圖 肆-3 情境脈絡範例 1—應用
E1 簡單的計算(相加/2)
E3 選擇適當的策略 E4 實施策略已找到解答 E6 應用數學事實、規則
E7 操作數字
E2 得出結論
E5 使用工具
49
以下利用另一種方式幫助讀者讀取這一題中含有的「詮釋」：
圖 肆-4 情境脈絡範例 1—詮釋
I6 解釋數學結果 有沒有意義
I3 將數學結果解釋 回現實世界
50
2. 高一課本 P43
需要使用對數的真實情境問題
圖 肆-5 情境脈絡範例 2
在此文本的勾選結果中，辨識出本題在「形成」中沒有對應編碼，在「應 用」中有E1.E2.E4.E5.E6.E7.E9，在「詮釋」中有 I3。
1. 在「形成」部分，題目中並沒有對應到任何一項。因為真實情境轉換成數學 關係式已經由題目給定了。也就是說題目直接將𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑤這條關係 式給學生，因此學生理解情境後，並不需要自己產生出數學關係式即可進入 下一個「應用」階段。
2. 在「應用」部分，當學生看到題目給出的函數關係後，會假設人談話的相對 強度為𝑤1，孩子哭鬧聲的相對強度為𝑤2，並依照題意列式，這是學生學習 設計並實施策略的過程(E4)。接著他會利用對數與指數之間的數學關係、規 則找出原始值(E6)，此時由於指數與對數有特有的結構關係，而且在高一並 沒有對數律可以使用，故學生必須將實數的表達方式從對數表徵轉換成指數 形式才能成功解題(E9)。得到人談話的相對強度𝑤1 = 106，孩子哭鬧聲的相 對強度為𝑤2 = 1012.2後，為了得出兩者的倍數關係，由兩數相除得到
51
12.2
12.2-6 6.6 6
10 =10 =10
10 此時需要用到指數律(E7.E1)。對學生來說可能還對這個 數字無感，如果最後透過計算機按出近似值為106.2≈ 1584893倍(E5)，可以 讓學生對解出來的答案(E2)更有感覺。
52
由於題目給的是分貝（對數值），最後是問音量的相對強度差多少倍。隱含 要去找原始值，需要了解如何讓「原本數字的大小」呈現出來，因此需要利用 到對數與指數的關係，以呈現出數字的原始大小（數學推理-1-理解數量、數字 系統及其代數性質）。
當學生列出人聲與孩子哭鬧聲的數學關係式後，學生需要知道𝑙𝑜𝑔可以如何 找出原始強度，由於對數單元中有很特別的結構，學生需要學習使用「𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑏 → 10𝑏 = 𝑎」的對數結構、規則以求得真正的原始值（數學推理-3-了解結構與 規律）。
當學生得出w1 = 106後，在求兩者相差多少倍時，所需用到的指數運算也 屬於數學推理的一環（數學推理-1-理解數量、數字系統及其代數性質）。
53
3. 高二 B 版課本 P85
利用對數幫助生活的真實情境問題
圖 肆-6 情境脈絡範例 3
在此文本的勾選結果中，辨識出本題在「形成」中沒有對應編碼，在「應 用」中有E1.E2.E5，在「詮釋」中沒有對應編碼。
1. 在「形成」部分，題目中並沒有對應到任何一項。因為真實情境轉換成數學 關係式已經由題目給定了。也就是說題目直接「銀行存款的最高位數字是𝑎 者的比例約為𝑙𝑜𝑔(1 +1
𝑎)」這條關係式給學生，因此學生理解情境後，並不 需要自己產生出數學關係式即可進入下一個「應用」階段。
2. 在「應用」部分，學生會依照課本的提問做簡單的運算，利用計算機按出最 高位數字的比例(E5)，以及加總(E1)，看出比例總和是 100%。
3. 在「詮釋」部分，研究者認為課本沒有提出回應題意的提問，因此沒有勾選 出對應編碼。
54
研究者認為雖然這題沒有編碼任何一項解題歷程的「形成」，但是這一題可 以讓學生看到對數在真實世界中的用途，不一定是自然科學問題（例如地震、
分貝大小）才需要對數，會計問題也同樣能使用對數幫助查帳。可以讓學生感 受到數學應用是跨領域的，故在教科書的教學脈絡中也重視跨領域的統整。
研究者認為如果可以將題目延伸，比如分別給出有造假以及無造假的帳 簿，讓學生應用班佛法則，驗證看看並試著解讀它的意義，或許比較不會有停 在一半，更可以感受到它應用在生活中的樣貌，可以多給予一個機會讓學生感 受到數學可以幫助解決生活上的問題，以及他是如何解決的。
4. 高二 B 版課本 P99
圖 肆-7 情境脈絡範例 4-1
55
圖 肆-8 情境脈絡範例 4-2
在此文本的勾選結果中，辨識出本題在「形成」中沒有對應編碼，在「應 用」中有E1.E2.E4.E6.E7.E9，在「詮釋」中有 I2。
1. 在「形成」部分，題目中並沒有對應到任何一項。因為真實情境轉換成數學 關係式已經在前面的課文內容中寫出來了。也就是說題目直接將「𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑤」這條關係式給學生，因此學生理解情境後，並不需要自己產生 出數學關係式即可進入下一個「應用」階段。
2. 在「應用」部分，學生透過閱讀內文，判斷出題目所需要的函數關係後，為 了求出倍數問題，將每個地點的分貝數代入得到等號關係。此依照題意列 式，屬於學生學習設計並實施策略的過程(E4)。接著他會利用對數與指數之 間的數學事實、規則找出原始值(E6)，此時由於指數與對數有特有的結構關 係，故學生必須將實數的表達方式從對數表徵轉換成指數形式才能成功解題
56
57
以下利用另一種方式幫助讀者讀取這一題中含有的三個解題歷程：
「形成」沒有對應編碼
「應用」中 E1.E2.E4.E6.E7.E9
「詮釋」有 I2
圖 肆-9 情境脈絡範例 4—解題歷程
E4 設計並實施策略的過程
E4 設計並實施策略的過程