民。而前述所提到的問題都具有數量的因素(quantitative component)。若是要理 解他、或是在一定程度上解決這個問題，是需要具備數學素養(mathematically literate)和數學思維(thinking mathematically)。而數學思維(mathematical thinking) 是由推理驅動的而非基本的計算過程。除了解決問題之外，PISA架構還認為21 世紀的數學素養包括數學推理(mathematical reasoning)和某方面的計算思維 (computational thinking)。(OECD, 2018, p3)
現代人的生活越來越科技化，許多人都會依靠機器人、智慧手機、聯網機 習這些？對PISA 2021來說，這些問題的答案是：每個學生應該學習（以及給予 學習的機會）用數學的方式思考(think mathematically)，用數學推理（包括演繹 和歸納）結合少量的基本數學概念支持推理(OECD, 2018, p4)。這為學生提供了 一個概念架構，並可利用他來處理21世紀生活的定量維度(quantitative
dimensions) (OECD, 2018, p4)。
隨著電腦和計算工具不斷的增加和發展，在日常生活和數學素養問題解決 環境中，學生應具備並能夠演示計算思維能力(computational thinking skills)。因 為應用此能力也是解決問題的一部分。計算思維技能包括模式識別(pattern
9
recognition)、設計和使用抽象(designing and using abstraction)、模式分解(pattern decomposition)、如果可以用計算工具時，決定哪些可以用於分析或解決問題，
以及將演算法定義為詳細解決方案的一部分。通過強調計算思維(computational thinking)在數學中的重要性，這個架構預期了參與國對計算思維在數學課程和
在PISA 2021架構中，除了保留已經發展的數學素養基本概念外，也因為現 今社會的日新月異，隨之帶來一些訊息告訴我們如何評估數學素養。目前的趨 勢是人們不再需要進行基本的運算，而是利用新科技和新趨勢來跟上快速變化 的世界。所以人們需要擁有創造力、積極參與以及為自己及未來做出好的判斷 (OECD, 2018, p7)。就PISA而言，數學素養的定義如下：
個體在各種真實世界的情境脈絡中，進行數學推理，並透過形成、應用、詮 釋數學以解決問題的能力，包含運用數學概念、程序、事實與工具，來描述、解 釋和預測現象。透過數學素養，個體能瞭解數學在世界中所扮演的角色，以及作 為具建設性、投入性與反思力的 21 世紀公民，所應有的周延判斷和決策 (OECD, 2018a)。
在PISA 2021架構中，數學素養的定義不只是關注於「使用數學來解決現實 世界的問題」，還將「數學推理」視為數學素養的其中一個核心，強調了數學推 理在問題解決週期(problem solving cycle)與數學素養(mathematical literacy)兩者 的中心地位。圖 貳-2顯示出數學推理與問題解決之間的關係。
10
圖 貳-2 數學素養：數學推理和問題解決的關係
和以往的架構一樣，數學內容知識(content knowledge)包含數量、不確定性 和資料、變化和關係、空間和形狀。真實世界的定義包含個人、職業、社會、 過程，稱作解題過程(problem solving process)或建模週期(modelling cycle)。
PISA將解題過程視為學生展現數學素養的核心，包含「形成」
(formulate)、「應用」(employ)、「詮釋」(interpret and evaluate)。「形成數學情 境」(Formulating situations mathematically)是指學生能用數學來描述情境，在他 看到數學可以用來理解或解決一個特定的問題或提出的挑戰時，並判斷出他能 夠運用數學推理（演繹推理和歸納推理）來確定應用和使用數學的機會。它包 括能夠將所呈現的情況轉換成一種適合數學處理的形式，提供數學結構和表 徵，識別變數並簡化假設來説明解決問題或迎接挑戰。「應用數學」(Employing mathematics)包括應用數學推理，同時應用數學概念、程式、事實和工具推導出 一個數學解決方案。它包括進行計算，處理代數運算式和方程或其他數學模 型，以數學方式從數學圖表和圖形中分析資訊，發展數學描述和解釋，並使用 數學工具解決問題。「詮釋數學」(Interpreting mathematics)包括對數學解決方案
形成 應用
評估、詮釋 推理
11 以用來分析、解決問題。PISA 2021的架構是第一次融合了數學思維和計算思維 (mathematical and computational thinking)的觀點，計算思維也是數學推理和問題 解決過程的核心。
而在PISA 2021架構中比以往多加入了21世紀能力(21st century skills)。值得 注意的是，他們並不是為了PISA而特別開發出21世紀的能力，而是在已經確定
12
數學素養的定義明確的包含數學工具的使用。這些工具包含不同的物理設 備、數位設備、軟體、計算設備。以電腦為基礎的數學工具在21世紀的工作場 所中越來越普遍使用。隨著社會越來越進步，人們在解決日常問題或是生活問 題時，要求在數學推理的過程中使用計算工具(computational tools)，這提高了人 們對數學素養的期望(OECD, 2018, p19)。圖 貳-4顯示出數學推理、問題解決、
數學內容、21世紀能力之間的關係。
圖 貳-4 PISA 2021：數學推理、問題解決、數學內容、21 世紀能力之間的關係
三、數學素養的組織架構
PISA 評量是測驗 15 歲學生在面對問題時，能夠在多大程度上進行數學推 理和熟練的處理數學問題，而這些問題大部分都在真實世界中發生的。圖 貳-5 說明數學素養的模型，包含數學推理、三個數學問題解決的過程、15 歲學生所 學的數學內容知識、真實世界中會遇到的挑戰以及21 世紀能力。由於在 PISA 2021 架構中強調數學推理和三個數學問題解決的過程，故以下將詳細說明這兩 者的內容。
13
圖 貳-5 PISA 2021 數學素養模型
(一)、數學推理
數學推理包含評估一個情境、選擇策略、得出有邏輯的結論、發展和描述 解答、辨識出如何應用答案。邏輯推理的能力以及用能讓人信服的方式提出論 點的能力，是當今世界越來越重要的技能。透過數學，學生們可以知道使用適 當的推理能得出正確的結果和結論；而這些結論是合乎邏輯且客觀的，不需要 任何外部權威的證明。這種推理遠遠超出了數學的範疇，並且可以在數學中最 有效的學習和實踐。而在學校中所能習得的關鍵理解包含以下六點(OECD, 2018, p15)：
1. 了解量、數系和它們的代數性質
(Understanding quantity, number systems and their algebraic properties) 2. 欣賞抽象符號表徵的力量
(Appreciating the power of abstraction and symbolic representation) 3. 看見數學結構和規律
(Seeing mathematical structures and their regularities)
14
4. 辨識出函數和量之間的關係
(Recognising functional relationships between quantities) 5. 使用數學建模到真實世界中
(Using mathematical modelling as a lens onto the real world (e.g. those arising in the physical, biological, social, economic, and behavioural sciences))
6. 了解變異是統計的核心
(Understanding variation as the heart of statistics)
這些描述所要表達的是，學校數學中是如何呈現出推理的，以及應該在教
(Formulating situations mathematically)
指個人能夠識別和識別使用數學的機會，然後以某種上下文形式呈現的問題
15
(11) 從各種計算工具中選擇並使用最有效的計算工具來描述一個被情境化的 問題之內的數學關係。
(12) 創造一系列有序的(逐步的)指令來解決問題。
2. 使用數學概念、事實、過程、和推理
(Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning)
指能夠應用數學概念、事實、程序和推理來解決數學問題並得出數學結論，
(Interpreting, applying, and evaluating mathematical outcomes)
解釋和評估側重於個人反思數學解答、結果或結論的能力，並在引發這一過
16
(1) 以圖形或圖表的形式解釋資訊。**
(2) 根據上下文來評估數學結果。**
(3) 將數學結果解釋回現實世界。
(4) 評估一個數學解答在現實世界問題中的合理性。
(5) 了解真實世界如何影響數學過程或數學模型的結果(outcomes)和計算，
以便針對結果(results)怎麼調整或應用做出符合情境的判斷。
(6) 解釋為什麼一個數學結果或結論在一個問題的背景下有意義或者沒有意 義。
(7) 理解數學概念和數學答案的範圍和限制。
(8) 評論和辨識已被用來解決問題的模型之限制。
(9) 運用數學思維和計算思維進行預測，為論證提供證據，測試和比較提出 的答案。
17