一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。
——马克思
１０．１ 历史学家与数学家的合作
本章，我们将给出中国封建社会超稳定系统的一个近似的数学模型。
每当人们试图把数学应用到错综复杂的历史研究中时，常常会碰到两方 面的极端意见：一种是数学万能论，企图用数学解决一切问题，推出人们凭 历史直觉难以想象的结论；另一种则否定数学应用于历史研究的可能性。在 后一种意见看来，数学描述的对象只能是机械的、简单的、定量的关系，而 历史过程太复杂，不宜于运用数学进行研究，尤其是对于涉及人的有目的的 活动应用数学工具进行研究，那不过是赶时髦和贴标签而已。
这两种看法，都是对数学的本质不够了解而造成的。实际上，用数学来 描述规律，只不过是把人们用直观和语言所把握的规律形式化、定量化、精 确化而已。数学符号表达式和文字语言描述是等价的。对于规律的把握，如 果用语言描述做不到，那么用数学工具也是不可能的。因此，前面说的第一 种观点几乎是一种幻想。然而，当研究对象关系措综复杂，用直观推理会造 成混乱时，运用数学方法却会显示出其简洁、准确的效用。
可见，认为不能用数学模型来研究历史也是片面的。以往历史研究中应 用数学不成功，这有两方面的原因：一方面，数学工具本身还有待于发展；
另一方面，历史研究要提供较为明确的规律性认识，以至于清晰到可供运用 数学工具进行研究时才好运用数学工具，但过去往往缺乏这个条件。这就需 要历史研究工作者和数学工作者共同努力。
把数学应用到社会科学研究中，往往有三个必需的步骤：
第一，社会科学对某些问题的研究已深入到一定程度，我们对其规律性 已经可以用描述性语言表达。
第二，将描述性语言转化为数学语言。
第三，应用数学语言推理，使讨论越出直观描述性语言所把握的深度，
向精确化、定量化方向发展，推出直观一下子难以把握的某些结果。
在这三个必要步骤中，第一和第二步是基础，称为“ 提出数学模型” ， 或称“ 数学化” 。第三步是用数学语言讨论模型。一般人们所理解的运用数 学方法，则往往只看到第三步。其实，对于社会科学家最重要的是第一、二 步。
在本书前九章中，我们用描述性语言分析了超稳定系统。
这是运用数学模型方法进行研究的基础。本章，我们主要是完成第二步，
表明如何把描述性语言所叙述的规律转变为数学语言，提出中国封建社会超 稳定系统的数学模型。
１０．２ 从事件到数轴的映射：寻找主要变量
我们提出的数学模型仅局限于讨论王朝寿命问题。这样就可以暂时撇开 中国封建社会超稳定系统其他方面的性质。前面，我们已经证明影响王朝盛 衰的因素可以归结为无组织力量和一体化调节力量这两个主要的变量。
我们用Φ 来表示整个社会的无组织力量，用Ψ 来表示一体化调节力量。
整个社会无组织力量Φ 成为经济、政治、意识形态三结构无组织力量的总和，
即：Φ ＝Φ （经济）十Φ （政治）＋Φ （意识形态）
Φ （经济）主要表现为土地兼并的程度。从原则上讲，土地兼并的程度 是可以计量的。
Φ （政治）是官僚机构的腐朽和膨胀程度的度量。第五章的曲线就是一 种计量方法。
Φ （意识形态）是意识形态结构中的无组织力量，它似乎不好计量。但 是我们在前几章证明它与经济。政治结构中无组织力量是成正比相关增长 的、也就是说，存在着如下关系：Φ （意识形态）＝ｋ１Φ （政治）＋ｋ２Φ （经 济）。所以，我们可以说，Φ 是可以计量的一个变量。
Ψ 代表一体化调节力量。控制论关于系统的控制能力度量单位是“ 比 特” ，即单位时间内能作出多少二择一事件的选择。目前为止，我们并没有 统计过中国封建超级大国在单位时间内拥有多少比特的调节能力，但Ψ 也是 可以计量的。
要用数学模型来讨论王朝盛衰，还必须有一个变量来表示王朝盛衰的状 态。但要找出一个统一的量来度量王朝盛衰是有困难的。怎么办呢？数学中 采用了一种重要方法，即规定一个从事件（在这里是王朝强盛、衰落或分裂 等的各种可能状态） 到数轴 Ｓ 的一个映射，使得各种状态对应着数轴 Ｓ 上不 同的数，如图 ３３ 所示。Ｓ 上的点并不真正代表某一个可以实际计量的代表 王朝盛衰状态的量，它只是一种简化了的数学表示方法。这种方法在物理学 和生物数学中经常应用。如在广义相对论中引进空间曲线坐标系，空间不同 位置的点与不同的数对应。这一坐标系仅仅是用数来表示空间不同位置，本 身并无长度、角度等实在物理含义。这种表达方式可以使模型形象化，又不 妨害计算。
我们把 Ｓ 称为“ 状态变量” ，因为它描述模型中王朝盛衰状态。Φ 和Ψ 则称为“ 控制变量” ，它们是影响王朝盛衰的两个主要条件。找到状态变量 和控制变量，是提出模型的关键性步骤。
１０．３ 王朝稳定性的数学表示
前几章中，我们论证了这样一个观点；一体化调节力量越大，无组织力 量越小，王朝就越稳定。而当Ψ 很小，Φ 很大时，也具有这种性质。状态 Ｇ 是不稳定的。它不处于势函数曲线的洼中，只要有微小的干扰就会很快变化 到两个稳态之一中去。形象地讲，系统处于稳定态，好比小球处于低洼的坑 中。
对于不同的系统，变量的内容千差万别，稳定机制也极不相同。但这种 高度抽象的数学表达方式，抓住了系统稳定性在行为方式上的共同特点，从 而为研究系统稳定性是怎样随不同因素而变化提供了一般性的数学语言。
这样一来，Φ 和Ψ 这两个变量是怎样影响王朝的稳定性就可以用洼的深 浅形象地表示了。一体化的调节力量越大，王朝的大一统局面就越稳定，其 表示方法是Ψ 越大，Ｂ 洼就越深。而无组织力量越大（Φ 越大），代表大一 统的 Ｂ洼就越浅。随着无组织力量增加Ψ 减小，势函数变化如图 ３５、图 ３６、
图 ３７ 所示。当无组织力量Φ 增大到一定程度时，Ｂ 洼就消失，这时大一统 王朝不稳定，系统不能再处于 Ｂ，它一下子离开 Ｂ，向 Ａ 突变，如图 ３７ 所示。
这就是王朝崩溃。如果在崩溃动乱中无组织力量没有减少，系统就会落入 Ａ 洼，呈分裂割据状态。同样，如果一开始社会处于分裂割据状态 Ａ，随着一 体化调节力量的不断增加，Φ 增大，势函数曲线就会如图 ３８、图 ３９、图 ４０ 所示的变化。当一体化调节力量Ψ 大到一定程度，分裂局面就维持不住了，
系统重新从 Ａ 状态突变到 Ｂ 状态，表示新的统一王朝的建立。我们找到王朝 稳定性的数学表示，也就找到了王朝崩溃和建立的表达方法了，这就为建立 数学模型奠定了基础。
１０．４ 行为曲面与盛衰曲线
建立模型最重要的是明确Ψ 、Φ 两个变量和 Ｓ 的关系。我们以Ψ 、Φ 两 个变量组成底平面，Ｓ 为垂直坐标，在 ＳＸΨ ＸΦ 空间大一统封建王朝就不稳 定，封建割据的分裂状态倒是稳定的。我们在讨论Ψ 、Φ 是如何影响 Ｓ 的时 候，首先要设法用数学语言来描述王朝的稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地 用势函数趋于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数 曲线的一个洼。如图 ３４ 中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在 Ａ 点，
第二个洼的中心位置在 Ｂ点。只要系统处于 Ａ 点或 Ｂ点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态 可以看作是当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离 回到稳定态。图 ３４ 中的两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏 离稳态 Ａ 时，系统的势函数就相应增大了。系统的稳定机制是使势函数趋于 最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态 Ａ。在图 ３４ 中。这一稳定机 制形象地表示为系统状态自动地下滑回 Ａ 点。同样，另一个洼 Ｂ 点，中，描 述 Ｓ 和Ψ 、Φ 关系的是一曲面，我们称之为“ 行为曲面” 。
知道了行为曲面的形状，就知道Ψ 、Φ 怎样决定 Ｓ 了。但由于我们不知 道势函数 Ｇ（ Ｓ、Ψ 、Φ ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。
但前面的讨论已明确，势函数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，
另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ 越大，Φ 越小时，大一统状态就越稳 定，其相应的洼就越深。而当Φ 越大，Ψ 越小时，代表封建割据状态的另一 个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解函数 Ｇ（Ｓ、
Ψ 、Φ ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡 是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型 来表示，其行为曲面如图 ４１ 所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ 、Φ 值 下封建王朝所处状态。行为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于 Ｂ 状态，即大一统状态；折叠的下半叶表示 Ａ 状态，即分裂割据状态。折叠面 之间的尖角形空间表示大动乱，它是由 Ｂ到 Ａ 突变过程的不稳定状态。当Ψ 和Φ 都很小时，折叠消失在 Ｑ’点七，就是说Φ 和Ψ 趋于 ０ 时，社会组织几 乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图 ４２）。
折叠的一边 Ｑ’Ｍ’在底平面上的投影为 ＱＭ，另一边 Ｑ’Ｎ’的投影为 ＱＮ。我们将
折叠的一边 Ｑ’Ｍ’在底平面上的投影为 ＱＭ，另一边 Ｑ’Ｎ’的投影为 ＱＮ。我们将