數值模擬結果與分析

首先，我們會透過在大週期結構(Supercell)之中，每一個小單元(Unit Cell)賦予 一個特定的折射率(n_i)，再透過適當的排列後，會得到一個我們所想要的∆Φ 。為 了實現我們所提出的設計模型，我們使用電磁商業套裝軟體 COMSOL Multiphysics 以及 CST STUDIO SUITE，目的是用來計算反射率以及反射波的相位。(這裡的反 射撥為複數形式)。圖 4-5 (a)為小單元結構的模擬示意圖，黃色部分為材料為金的 基板，厚度為H =130 nm。紫色部分為不同折射率的介電質，其厚度為t=20 nm。

小單元結構沿著 x 方向的週期為P_x=60 nm，沿著 y 方向的週期為P_y =300 nm。

入射光從 z 方向往-z 方向入射，其電場偏振沿著 y 方向。我們在 CST STUDIO SUITE

模擬環境中的邊界條件設定 x,y 方向為週期性(Periodic)，在 z 方向的邊界條件設定 為完美吸收邊界(Perfect Matched Layered)，我們改變模擬參數的入射光波長(λ)以 及介電質折射率(n )，入射光波長範圍設定從 500 nm 到 1200 nm，折射率範圍設_i 定從 1 到 25。透過 CST STUDIO SUITE 模擬其小單元的反射波的強度(Reflectance) 以及反射波的相位(Reflective Phase Shift)，我們將其模擬結果透過 Matlab 整理成圖 4-5 (b)與(c)，將反射波強度與相位整理成入射光波長與介電質折射率的函數。然 而，為了延續之前實驗室所發表的文章以及實驗上的方便性，我們選擇波長為所 對應的反射波強度以及相位，如圖 4-5 (d)所示。橘色線條表示反射波強度，藍色 線條表示反射波相位，皆在波長為λ =850 nm 為介電質折射率(n )的函數。 _i

圖 4-5: 小單元結構的相位累積模擬 (a) 小單元結構的示意圖(unit cell)，其中 Px

= 120 nm (Py= 300 nm)，H = 130 nm 以及 t = 20 nm。 具有 y 偏振的入射光正向入

射到小單元結構所得模擬結果，(b)反射波強度為波長-折射率函數(c) 反射相位累 積為波長折射率函數(d) 取入射光波長為 850 nm 的反射波強度(橘色)以及相位累 積(藍色)畫成假想介電質折射率的函數。

為 了 在 一 個 大 週 期 結 構 (Supercell) 中 提 供 足 夠 的 相 位 變 化 的 累 積 (i.e.∆Φ = π2 (360 )^ )，我們將每個小單元結構(介電質蒸鍍在金基板上)中的介電質的 折射率從n₁=1.09排列到n₁₀ =14.74如圖 4-6(a)內所示。這排列使的dΦ( )x dx為常 數，如圖 4-6(b)中，相位(Phase)是位置(x)階梯函數(Step Function)。將此大週期結 構週期性排列成一個超穎介面，透過 COMSOL 設定入射光波長為λ =850 nm，正 向入射到超穎介面，其反射波的波前(取散射場的電場 y 分量)如圖 4-6(a)所示。

圖 4-6: 假想介電質的超穎材料的散射場模擬結果 (a) 上方插入圖像: 假想介電

質的折射率標記。 在下方會對應到反射波電場 y 分量(E_y)(b) 同時，相對應每個 標記折射率所模擬沿著 x 軸的相對相位分布。

由上述選擇適當的介電質的折射率範圍以及適當地排列使得橫跨整個大週期 結構的總相位變化差為∆Φ =360^。因此，我們可以選擇介電質折射率的範圍以及 排列來改變∆Φ。接下來我們有一個表格描述(表格 2)，介電質折射率的選擇以及 排列使的 90^ ≤ ∆Φ ≤360^。

表格 2: 在不同的∆Φ情況下，所對應的假想介電質折射率分布，在圖 4-3 (b)

∆Φ( )^ n¹ n₂ n₃ n₄ n₅ n₆ n₇ n₈ n₉ n₁₀ 90^ 1.09 2.73 3.32 3.82 4.11 4.33 4.47 4.64 4.75 4.85 120^ 1.09 3 3.7 4.11 4.39 4.59 4.75 4.88 5 5.1 180^ 1.09 3.32 4.11 4.47 4.75 4.94 5.1 5.23 5.35 5.47

240^ 1.09 3.7 4.39 4.75 5 5.19 5.35 5.5 5.67 5.86 300^ 1.09 3.93 4.59 4.94 5.19 5.39 5.58 5.81 6.11 6.62 360^ 1.09 4.17 4.75 5.1 5.35 5.58 5.86 6.28 7.2 14.74

透過使用 COMSOL 模擬此表格所設計的超穎介面，此超穎介面所反射的散射 場大小隨著 COMSOL 模擬的接收角度而改變，我們定義此接收角度為圖 4-7(c) 的異常反射角度(θ )。在 COMSOL 模擬設定上，我們將大週期結構(Supercell)週期_r 性地沿著 x 以及 y 方向排列目的是符合我們未來可以實驗的狀況，其大小為

1200 300

2 100%

m m

m m

m m

I A

=∞ =∞

=−∞ =−∞

= =

∑ ∑

對於 COMSOL 模擬的散射場能量卻無法達到 100%，並且與精確解的能量有所差 距，我們推測這是由於我們 COMSOL 模擬是由考慮入射光到基板的金有損耗的。

不過，不管是精確解或者是 COMSOL 數值解其強度與∆Φ 的關係是一致的。

圖 4-7: 假想介電質超穎介面的散射場強度-反射角度數值模擬以及精確解(a) 不 同∆Φ 的散射場強度-反射角度 COMSOL 模擬結果(b) 實線表示精確解。特別注意 的是, m=1 (m=0, m=-1) 分別表示繞射階數。 符號表示從圖(a)取散射波強度的峰 值。

以上的模擬結果與討論都是建立在假想的介電質的折射率介於 1 到 15 之間，

這是在現實生活中很難實現的，因此，先前有提到超穎介面每個小單元，使用電 子束微影製作的奈米結構，可以在一個非常小的區域，小於繞射極限的區域，等 效一個非常高的折射率。為了實際可以實現我們所假設的介電質的折射率的設

計，我們沿用實驗室成員楊光宇所做的反射式介面梯度超穎介面為基礎[5]。首先，

我們選擇實驗用的波長為λ =850 nm，因為可以透過所設計的超穎介面應用在光 熱治療，紅外線偵測器以及強吸收體等等元件上。在圖 4-8 (a)，是單一金奈米柱 的幾何示意圖，金奈米柱的寬度為W =90 nm，厚度t₁=30 nm，長度L (nm)。_r 我們以金奈米柱在厚度H =130 nm 為金的基板，以及厚度G=50 nm 為的隔離層 (spacer)氟化鎂(MgF2)當作是單一小單元結構(Unit Cell)，其中單一小單元結構所佔 據的面積為P_rx×P_ry =120 300× nm²。

如同上述圖 4-8(d)的模擬結果，我們將模擬架構設定與入射光波長都與圖 4-5 (d)一樣，唯一不同的事情是我們將介電質折射率改成單一金奈米柱，從改變介電 質折射率換成改變金奈米柱的長度(L )。因此，圖 4-8 (b)為在入射光波長為_r λ =850

nm 的情況下，相位(Phase)與金奈米柱長度(L )的關係。為了與先前假想介電質的_r 超穎介面作比較，因此，在圖 4-8 (c)中，我們保持大週期結構(Supercell)的面積大 小不變，也就是L_x×L_y = 1200 300× nm²，其中L 為沿著 x 方向的為大週期結構_x

同樣地，我們透過 COMSOL 模擬此金奈米柱所構成的超穎介面，在 COMSOL 模擬設定中，如同上述模擬介電質超穎介面的設定一樣，我們將大週期結構

(supercell)週期性地沿著 x 以及 y 方向排列，其大小為L_x×L_y =1200 300× nm²。設 定模擬偵測平面在超穎介面正上方 xy 平面(z = 300 nm)，偵測平面所偵測的物理 量為坡印廷向量。入射光設定為λ =850 nm。同時，在偵測平面計算出異常反射 角度，透過偵測平面計算遠場的散射光大小。

圖 4-8 (d)為當波長為λ =850 nm 正向入射到超穎介面上，其反射的訊號與接 收角度的關係，同樣地，圖 4-8 (d)的模擬結果與圖 4-8 (a)模擬結果的趨勢是一致 性。也就是說，我們所認為的異常反射訊號可能與大週期結構所提供的總相位差 變化(∆Φ)是有關的，但是從目前的模擬結果來看是無關的。接下來，我們會從狹 縫繞射理論去討論。

圖 4-8: 由 金 奈 米 柱 構 成 的 超 穎 介 面 (a) 單 一 奈 米 住 在 小 單 元 結 構 的 幾 何 90

W = nm, t₁=30nm. MgF2 薄膜，其中G=50 nm。每一小單元結構所佔據的幾 何面積P_rx×P_ry =120 300× nm². (b) 在入射光波長 850 nm 照射下，其金奈米柱所對 應 的 相 位 隨 著 金 奈 米 柱 長 度L 改 變 (c) 大 週 期 結 構 所 應 不 同_r ∆Φ 的俯視圖

1200 300

x y

L ×L = × nm². (d) 在不同∆Φ 情況下，散射光強度-角度的模擬結果。

表格 3: 在圖 4-8 (c)中，不同∆Φ所對應的超穎介面，其中金奈米柱的長度(L ) _r (b))，在這裡表示大週期結構中(Supercell)第一個單一小單元結構(1 st- Unit Cell)與 第十個小單元結構(10 t- Unit Cell)的相位差。λ表示入射光波長，a 本來表示狹縫寬

度，在這裡是表示超穎介面的大週期結構的週期大小(a=L )。我們觀察公式(4.2)，_x

變成 ₌ ^{sin( )} ₍ ^{( )} ₎

圖 4-11: (a)狹縫之間干涉的強度與角度(θ )關係 (b)狹縫繞射在不同的_r ∆Φ對應

圖 4-12: 在不同∆Φ的情況下，同時考慮狹縫干涉與繞射

4.4 參考文獻

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[2] S. Sun, Q. He, S. Xiao, Q. Xu, X. Li, and L. Zhou, “Gradient-index meta-surfaces as a bridge linking propagating waves and surface waves,” Nature Mater. 11, 426-431 (2012).

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