梯度相位小於2π的反射式超穎介面之廣義斯乃爾定律

國立臺灣大學理學院物理學研究所 博士論文

Department of Physics College of Science

National Taiwan University Doctoral Dissertation

梯度相位小於2π的反射式超穎介面之廣義斯乃爾定律 The generalized snell’s anomalous reflection from reflective

metasurfaces with gradient phase distribution below 2π

何佑哲 You Zhe Ho

指導教授：蔡定平 博士 Advisor: Din Ping Tsai, Ph.D.

中華民國 106 年 2 月

February, 2017

誌謝

首先，非常感恩蔡定平老師在這六年來對我的照顧以及指導，因為沒有老師提供 良好實驗室的環境，我可能沒辦法經歷出國參加國際會議，認識來自不同國家，

不同文化不同年齡層的朋友。如果沒有老師提供實驗室的資源，我可能就沒有辦 法很容易去完成我想要做的研究。

其次，我也要感恩實驗室的學長吳品頡，因為在我還抓不到實驗室的方向時 候，提供給我許多意見，並且耐心的指導我，在我有困難時候，也為我挺身而出。

我也感恩實驗室的學長成柏翰，這麼多年來，不管我有研究成果或者沒有研 究成果時候，學長都願意等待我可以突破。

我也要感恩實驗室的同學許維綸以及黃耀緯，因為他們兩個，在平常生活中，

我有表現偏差之處，他們兩個都願意提醒我需要注意的地方，以及鼓勵我，即使 當場我是臭臉的情況下。

我也要感恩王智明老師，因為老師願意相信我，將一個研究題目交給我，我 卡關時候，老師也時時提醒我要加緊腳步，不要氣餒。

感恩每位口試委員，廖峻偉老師、藍永強老師、王智明老師、任貽均老師、

呂明諺老師，對佑哲的建議與指導，佑哲盡自己可以做到的事情將口試委員的意 見補充在內文中，讓這本論文更加完整。

同時，我也要感恩我的 師父， 妙禪師父。因為 妙禪師父是真佛、是大佛。

目的是要帶領眾生與祂一樣，見證造物主，開啟我們本自具足的佛性。當佑哲開 悟後，懂得發自內心的感恩，懺悔自己的深在骨子裡的傲慢，不再是分別比較，

也因此，佑哲心是那種毫無雜質的平靜，平靜到在寫論文都是充滿著法喜。

最後，我要感恩我爸媽，對我的包容與支持。因為有你們，我才可以走到這 一步。

何佑哲謹致 國立臺灣大學物理系 中華民國一百零六年二月

中文摘要

以人造方式形成的超穎介面是具有操控光的性質，尤其是可以在次波長的小區域 內作調控。在本論文，我們會探討透過設計橫跨整個大週期結構(supercell)的總相 位累積(∆Φ)的不同，不同總相位累積(∆Φ)所構成的超穎介面可以達到散射光能量 重新分配。我們設計假想介電質所構成的超穎介面以及設計實踐可以實驗的金奈 米柱所構成的超穎介面，兩者皆透過 COMSOL 以及 CST 模擬分析其散射光的物 理現象。其物理現象可以使用繞射光學的多狹縫干涉重新詮釋。透過設計橫跨整 個大週期結構的總相位累積可以重新比以往不一樣的觀點去看待超穎介面。

關鍵字：超穎介面、多狹縫干繞射

ABSTRACT

Metasurfaces are artificial structure that have demonstrated to possess the ability of manipulating light within a subwavelength spatial region. Here we explore another unraised functionality of energy redistribution of metasurface by tuning the phase difference over the supercell. We also propose a practical nanorod-based design to achieve that anomalous steering reflection using the finite element method simulation.

The proposed phenomena have potential applications in ultracompact nanophotonic system and high efficiency flat device.

Keyword: Metasurface, Diffraction

CONTENTS

口試委員會審定書 ... #

誌謝 ...i

中文摘要 ... iii

ABSTRACT ...iv

CONTENTS ... v

LIST OF FIGURES ... vii

LIST OF TABLES ... xiii

Chapter 1 緒論... 1

1.1 前言 ... 1

1.2 惠更斯－菲涅耳原理(Huygens–Fresnel principle) ... 3

1.3 費馬原理(Fermat’s principle)描述折射現象 ... 6

1.4 超穎介面(Metasurface)的介紹 ... 9

1.5 廣義斯乃爾定律 ... 12

1.6 參考文獻 ... 15

Chapter 2 數值模擬計算 ... 17

2.1 前言 ... 17

2.2 杜德-羅倫茲模型(Drude-Lorentz Model) ... 17

2.3 有限元素法(Finite-Element Method) ... 20

2.4 有限積分法(Finite-Integration Technique) ... 22

2.5 參考文獻 ... 23

Chapter 3 奈米光學天線的相位討論 ... 24

3.1 前言 ... 24

3.2 奈米天線光學性質討論 ... 24

3.3 線性光學天線的單一振子模型 ... 26

3.4 使用兩個振子模型來描述具有兩個相互正交電漿子模態的二維結構 .. 28

3.5 反射式超穎介面分析 ... 32

3.6 參考資料 ... 40

Chapter 4 反射式超穎介面之斯乃爾定律分析 ... 43

4.1 研究動機 ... 43

4.2 廣義超穎介面的斯乃爾定律 ... 45

4.3 數值模擬結果與分析 ... 47

4.4 參考文獻 ... 61

Chapter 5 結論... 62

Chapter 6 補充資料... 63

6.1 計算異常反射角度以及轉換效率 ... 63

6.2 假想介電質超穎介面說明 ... 66

6.3 操作波長的選擇 ... 68

6.4 參考文獻 ... 69

LIST OF FIGURES

圖 1-1: 三個世代的光學元件發展[1] ... 2

圖 1-2: 傳統光學元件與超穎介面比較[1] ... 3

圖 1-3: 惠更斯原理 ... 4

圖 1-4: 用 Huygens–Fresnel principle 描述折射定律 ... 6

圖 1-5: 光在非均勻介質中的幾何路程 ... 7

圖 1-6: 用 Fermat principle 描述折射定律 ... 9

圖 1-7: 藉由(a)多重獨立共振，(b)耦合式天線共振以及(c)幾何效應將相位調製 擴 展至 2π 之研究結果[5]-[7]。 ... 11

圖 1-8: 具有對稱模態與反對稱模態共振的 V 形光學天線[8]。 ... 12

圖 1-9: 電磁波從空間於兩種不同介質中 p 點傳播至 q 經由不同光路徑(紅線與藍 線)示意圖。 ... 13

圖 3-1: (a)入射光示意圖，E 為入射光電場 (b)(c)(d) 在奈米天線的不同長度(_inc L) 下，保持入射光波長(λ )，暫態電荷(₀ + −, )、電流分布(綠色箭頭 J )的示 意圖[1] ... 24

圖 3-2: (a) 使用振子模型來代表奈米天線的光學性質，其中q表示電荷大小，m 表 示振子質量，κ表示彈力常數，x t( )表示離開平衡點的位移 (b) 光學奈 米金天線示意圖(L= m1 m h, =50nm w, =130nm)，使用入射光正向入射 ( k )到金光學天線，其電場偏(E )振沿著光學天線長度的方向(x)。 ... 27

圖 3-3: 文獻[8]的圖一(c)(d)(e)，(c)為表示奈米天線的遠場散射以及吸收，(d)為奈 米天線近場振幅，(e)為奈米天線近場相位 ... 28

圖 3-4: (A) 互相正交模態的兩個振子模型，其中q 表示電荷大小，_i m 表示振子質_i 量大小 (B) 金屬 V 型天線具有兩個互相正交的電子震盪模態(藍色為對 稱模態(symmetric)與紅色為反對稱模態(Anti-Symmetric))，箭頭表示電 流方向，虛線為對稱線 (C) x−y軸為振子特徵模態振動方向， w 軸為 入射光電場偏振方向， ν 軸為散射光的電場方向，其中 xy 座標與 wv 座 標有θ夾角 (D) V 型天線的散射光強度(E )，紅色線條表示反對稱模² 態的散射光譜，藍色表示對稱模態的光譜，黑色表示紅色與藍色線條的 線性疊加(∆ =90 ,^ L=650nm,θ =45^)(E) V 型天線的散射光相位，紅色 線條表示反對稱模態的散射光相位，藍色表示對稱模態的光相位，但是 根據式子(3-6)，其藍色線條是向下平移徑度π，最後藍色線條與紅色線 條線性疊加為黑色線條 ... 31 圖 3-5: 反射式耦合天線(a)單一結構示意圖與(b)光學顯微鏡照片[12]。 ... 32 圖 3-6: 耦合式天線示意圖，其中 t 為奈米金天線厚度，L為奈米金天線長度，G為 介電質層 MgF2的厚度，使用入射光正向入射其奈米金天線。 ... 33 圖 3-7: V 型(V Shape)天線與耦合式(MIM)天線比較圖，其中箭頭皆表示電流方 向。 ... 34 圖 3-8: 耦合式天線示意圖，其中t為奈米金天線厚度，L為奈米金天線長度，G為 介電質層 MgF₂的厚度，使用入射光正向入射其奈米金天線。 ... 36 圖 3-9: 當奈米金天線長度為 140 奈米(L=140nm) (a)耦合式天線結構的反射光譜

(b)歸一後多極矩散射強度(其中p

為電偶極矩， m

為磁偶極矩，T

為環 形矩) ... 36

圖 3-10: 綠色箭頭表示電流密度( J

)(a)在入射光波長為 600 奈米所產生的同向電 流(b)在在入射光波長為 930 奈米所產生的反向電流 ... 37 圖 3-11: YZ 截面的場形圖 (a)上圖是波長為 600 奈米的電場強度( E

)，下圖是波

長 930 奈米的電場強度( E

) (b) 上圖是波長為 600 奈米的磁場強度

( H

)，下圖是波長 930 奈米的磁場強度( H

) ... 37 圖 3-12: 單一奈米金柱在小單元結構的幾何，其中寬度W = nm，厚度90 t₁ =30nm。

MgF2 薄 膜 厚 度G=50 nm 。 每 一 小 單 元 結 構 所 佔 據 的 幾 何 面 積 120 300

× = ×

rx ry

P P nm². ... 39 圖 3-13: 當入射光波長為 850 奈 (a)改變奈米金柱的長度(L )所對應的耦合式天線_r

結構的反射光譜以及(b)歸一後多極矩散射強度(其中p

為電偶極矩， m

為磁偶極矩) ... 39 圖 3-14: 綠色箭頭表示電流密度( J

)，其中藍色大箭頭表示同向電流，紅色大箭頭 表示反向電流 ... 40 圖 3-15: YZ 截面的場形圖 (a)-(l)依序分別表示奈米金柱的長度由小到大的磁場強

度 H

... 40

圖 3-16: YZ 截面的場形圖 (a)-(l)依序分別表示奈米金柱的長度由小到大的電場強 度 E

... 40 圖 4-1: 改變大週期的結構(Supercell) (Γ m ( m))的大小，進而改變異常反射角度[1]44 圖 4-2: 改變大週期的結構(Supercell) (ξ(mm))的大小，進而改變異常反射角度[2]44 圖 4-3: 大週期結構示意圖. (a) 大週期結構包含兩層，上層為假想的介電質，下層

為金基板。大週期結構被切割成十等分的小單元結構，其假想介電質的 折射率隨著+x 方向增加(b) 大週期結構的俯視圖。其中 Lx = 1200 nm (Ly = 300 nm) ，Px = 120 nm (c) 大週期結構的側視圖。∆Φ 表示是大週

期結構所提供的累積相位變化。 符號k^ˆ代表入射光的波向量方向。 . 46 圖 4-4: 改變大週期結構所累積的相位(∆Φ)，所對應到的異常反射角度(θ ) ... 47 _r 圖 4-5: 小單元結構的相位累積模擬 (a) 小單元結構的示意圖(unit cell)，其中 Px

= 120 nm (Py= 300 nm)，H = 130 nm 以及 t = 20 nm。 具有 y 偏振的入 射光正向入射到小單元結構所得模擬結果，(b)反射波強度為波長-折射 率函數(c) 反射相位累積為波長折射率函數(d) 取入射光波長為 850 nm 的反射波強度(橘色)以及相位累積(藍色)畫成假想介電質折射率的函 數。 ... 48 圖 4-6: 假想介電質的超穎材料的散射場模擬結果 (a) 上方插入圖像: 假想介電 質的折射率標記。 在下方會對應到反射波電場 y 分量(E_y)(b) 同時，相

對應每個標記折射率所模擬沿著 x 軸的相對相位分布。... 49 圖 4-7: 假想介電質超穎介面的散射場強度-反射角度數值模擬以及精確解(a) 不 同∆Φ 的散射場強度-反射角度 COMSOL 模擬結果(b) 實線表示精確 解。特別注意的是, m=1 (m=0, m=-1) 分別表示繞射階數。 符號表示從 圖(a)取散射波強度的峰值。 ... 52 圖 4-8: 由 金 奈 米 柱 構 成 的 超 穎 介 面 (a) 單 一 奈 米 住 在 小 單 元 結 構 的 幾 何

90

W = nm, t₁=30nm. MgF₂ 薄膜，其中G=50 nm。每一小單元結構所 佔據的幾何面積P_rx×P_ry =120 300× nm². (b) 在入射光波長 850 nm 照射

下，其金奈米柱所對應的相位隨著金奈米柱長度L 改變 (c) 大週期結_r 構所應不同∆Φ 的俯視圖L_x×L_y =1200 300× nm². (d) 在不同∆Φ 情況

下，散射光強度-角度的模擬結果。 ... 55

圖 4-9: (a)狹縫之間的干涉(b)單一狹縫的繞射 ... 57

圖 4-10: 單狹縫繞射示意圖，其點光源不同時發出 ... 58

圖 4-11: (a)狹縫之間干涉的強度與角度(θ )關係 (b)狹縫繞射在不同的_r ∆Φ對應 道不同的θ 。 _r 59 圖 4-12: 在不同∆Φ的情況下，同時考慮狹縫干涉與繞射 ... 60

圖 6-1: 十個大週期結構(Supecell)的俯視圖 ... 63

圖 6-2: Port 1 邊界條件的設定，Port 1 為波源發射端，Port 2 為波源接收端。 .... 63

圖 6-3: 沒有金屬奈米柱的模擬環境，此為 COMSOL 後處理介面 ... 65

圖 6-4: 有金屬奈米柱的模擬環境，此為 COMSOL 後處理介面 ... 65

圖 6-5: (a)沒有金奈米柱的遠場散射強度 (b)有金奈米柱的遠場散射強度 ... 66

圖 6-6: 等效折射率與結構形狀尺寸的關係圖[4] ... 67

圖 6-7: 不同假想介電質的厚度所對應到的相位變化，分別為 20、25、30、35、40、 45、50 奈米的厚度 ... 68 圖 6-8: (a)金屬金(Gold)的虛部(也就是金屬內部自由電子要遷所造成的損耗)，其中 紅色虛線表示自由電子在能帶內的躍遷(Intraband Transistion)所造成的 損耗，綠色虛線表示自由電子兩個能帶之間的躍遷(Interband Transistion) 所造成的損耗，藍色實線表示兩種自由電子要遷所造成的總損耗[6] (b) 參考文獻[2]的補充材料圖，異常反射角度與入射光波長之間的關係，其

中顏色表示效率，藍色表示效率接近 0%，紅色表示效率接近 90%。 69

LIST OF TABLES

表格 1: 在不同奈米天線長度與入射光波長比值下，所對應的散射電場與入射光 電場的關係 ... 26 表格 2: 在不同的∆Φ情況下，所對應的假想介電質折射率分布，在圖 4-3 (b) .. 50 表格 3: 在圖 4-8 (c)中，不同∆Φ所對應的超穎介面，其中金奈米柱的長度(L )56_r

Chapter 1 緒論

1.1 前言

從牛頓與伽利略時代開始，因為了解到光線在介面上會有反射與透射，在透 過曲面的變化達到光線曲折，設計出望遠鏡。後來，因為透鏡應用在燈塔照明上，

需要大型且輕薄，因此，減少透鏡厚度，法國物理學家奧古斯丁·菲涅耳所發明的 一種透鏡。這個設計可以建造更大孔徑的透鏡，其特點是焦距短，且比一般的透 鏡的材料用量更少、重量與體積更小。和早期的透鏡相比，菲涅耳透鏡更薄，因 此可以傳遞更多的光，使得燈塔即使距離相當遠仍可看見。1871 年 Rayleigh 建 立第一片以繞射為基礎的透鏡，即為 Fresnel Zone Plate。如圖 1-1。

近年來，由於奈米製程技術的進步，我們更可以將傳統的光學元件小型化、

體積化，這是由於傳統的光電系統大都由不同分立的光學波動元件(如：透鏡、稜 鏡、反射鏡、光柵等)及光學主動元件(如：電光調製器、雷射、光電二極體等)組 成。這種分立光學系統有體積龐大、調製困難、使用不便、功能單調等缺點。然 而，超穎介面(metasurface)提供一種方式將上述傳統光學元件小型化並且平面化。

再透過半導體製程技術將平面化具有不同光學元件功能的超穎介面體積化。

圖 1-1: 三個世代的光學元件發展[1]

超穎介面(Metasurface)的定義是奈米人造結構構成的二維平面，其中每一個奈 米人造結構具有相對應的相位，透過適當的設計相位分布，使的超穎介面具有透 鏡、全像、偏振轉換等等的功能。

Nanfang Yu 與 Federico Capasso 在 2014 年針對超穎介面(Metasurface)整理一下 列的應用[2]，因此，他們提出三項特點區分超穎介面以及常規的光學元件。一般 所提及的超穎介面所操作的波源波段是可見光以及紅外光，與常規光學元件非常 相似。第一，塑造光波前(Wavefront)可以在光行進方向一個波長的距離內完成。舉 例來說，我們通常使用金或銀薄膜構成超穎介面，金或銀薄膜的折射率在可見光 波段或者是紅外光波段下隨厚度大小劇烈變化。第二，垂直於光行進方向的超穎 介面上有著小於繞射極限的金屬結構(金奈米天線(Au nano antenna))，小於繞射極 限的金奈米天線具有特定遠場振幅、相位以及偏振選擇性。優點是可以完全將入

射光能量轉成金奈米天線的侷域電漿子共振再輻射到遠場，可以避免多階繞射訊 號的產生。第三，在超穎介面上的金奈米天線是因為有電漿子共振才可以將入射 光再輻射到遠場，如果要讓金奈米天線產生電漿子共振需要特定的偏振光與金奈 米天線的長軸平行。但是有文獻提出可以使用電磁波的磁場分量激發金奈米天 線，產生電漿子共振，同時也具有將入射光轉到遠場。

圖 1-2: 傳統光學元件與超穎介面比較[1]

本篇論文架構第一章是超穎介面以及其廣義斯乃爾定律，第二章是模擬環境 設定，第三章是描述奈米天線的光學性質，第四章是模擬的結果與討論，第五章 是結論。

1.2 惠更斯－菲涅耳原理(Huygens–Fresnel principle)

首先，我們先定義什麼是波前(Wavefront)。當一個區域上所有相位相同的點構 成的曲線或者是曲面，我們稱之為波前。此外，與波前垂直方向為波向量(Wave

vector)，符號 k

。一般而言，在同向性(Isotropic)材料下，舉例來說，空氣，電磁波 的能量傳遞方向為波向量的方向。

早在 1678 年，惠更斯(Huygens)提出惠更斯原理(Huygens principle):在圖 1-3 所示的波源S，在某一時刻(t=0)所產生波前面為Γ ，則 Γ 面上的每一點都可以看 作是第二次波源，所有第二次波源發出球面波，在某一時刻(t= )所形成的波前面t^' 為Γ ，即是該時刻(^' t=t^')這些第二次波源所發出球面波的包絡面，波前面的法線方 向即是該波的傳播方向( k

)。惠更斯原理可以解釋光的直線傳播，光的反射和折射 方向，但不能說明繞射以及干涉現象。

在 1816 年，菲涅耳(Fresnel)在研究干涉現象後，考慮到第二次波源來自同一 個光源S，應該互相干涉，因而波前面Γ 上每一個點的振幅與相位是光源^' S與該點 (在波前面Γ 上)之間任一波前面(例如 Γ 面)上的各點(當作第二次波源)所發出電場^' 線性疊加的結果。

圖 1-3: 惠更斯原理

接下來，我們使用惠更斯-菲涅耳原理(Huygens–Fresnel principle)描述折射定 律，在圖 1-4 中，假設有一到光從介質一(Air)入射到介質二(Glass)，其折射率分 別為n 以及₁ n ，綠色箭頭表示波向量( k₂ 

)方向，灰色線表示波前面(Wavefront)，因 此，A 點與 B 點的相位是相同的，C 點與 D 點的相位是相同的，當光入射到介質 一與介質二交界面時，A 點當作一個點波源，發生出波包(Wavelet)，經過一段時間 t 之後，抵達 D 點，又因為 D 點與 C 點相位相同，因此，A 點到 D 點，光所走的 時間是 t，以及 B 點到 C 點，光所走的時間也是 t。此時，我們定義 BAC=∠ θ ，_i

ACD= _t

∠ θ ，BC= λ = υ ，_{1 1}t AD= λ = υ ，_{2 2}t ₁

1

c υ =n ， ₂

2

c

υ =n ，其中θ 為入射角，_i

θ 為折射角，c 為真空中的光速， υ為光在介質一(二)傳播的速度。觀察圖發現，t

AC sin( )× θ = λ ，_i 1 AC sin( )× θ = λ_{t 2} ， 兩 式 共 同 相 除 去 掉 AC ， 得 到

1 1 1

2 2 2

sin( ) sin( )

i t

t c n t c n θ = λ = υ =

θ λ υ 。整理式子後，得到n₁sin( )θ =_i n₂sin( )θ 。 _t

圖 1-4: 用 Huygens–Fresnel principle 描述折射定律

1.3 費馬原理(Fermat’s principle)描述折射現象

在幾何光學中，光學元件的結構尺寸比波長大許多，因此，繞射現象不明顯。

我們常使用直線的圖像來表示波向量的方向。一個光束中包含了無限多條直線，

但每條光線間不互相影響。接下來，我們用以費馬原理的觀點來重新詮釋折射的 光學現象。

光從介質的一點傳播到另一種介質的一點所遵循的規律，是由費馬(Fermat)首 先提出的，稱為費馬原理。費馬原理是從“光程”的角度來闡述光的傳播規律。

假設在均勻介質中光的傳播速度為υ，若把∆t時間間隔內在該介質中所走過 的幾何路程記為R，則有R= υ∆t。若把這段時間間隔內在真空中所走過的路程記

為L，則有 ( )(c ) L= ∆ =c t υ∆ =t nR

υ 。其中，c 為真空中的光速；n 為介質的折射率。

光成的定義為光在介質中經過的幾何路程R和該介質折射率 n 的乘積，用字母L表

示。

圖 1-5: 光在非均勻介質中的幾何路程

如果介質是非均勻的，即介質的折射率 n 是幾何路程 R 的函數，則光在該介質 中所經過的幾何路程不是直線而是曲線，如圖 1-5 所示。這時，光程可以用下式

表示。 ( )

B

A

L=

∫

費馬原理指出:光線從 A 點到 B 點，是沿著光程為極值的路徑傳播的。也就是 說，光由 A 點到 B 點的傳播在幾何上存在著無數條可能的路徑，每一條路徑都對 應到一個光程值，光由 A 點傳播到 B 點的實際光路包含在這些可能的路徑之中。

任何一條實際的光路，其光程都有一個共同的特點，即滿足即值條件。若把任意 一條幾何上可能的路徑標記為l，則與l對應的光程L l( )可用下列方程表示:

( ) d L l =

∫

對應不同的路徑l，光程L l( )可能取不同的值。如果廣義地把路徑l看作是自變量，

則光程L l( )可以視為是l的函數。這種形式函數取極值的條件為

( ) d 0

L l n l d = d

∫

利用費馬原理可直接導出光的直線傳播定律。這是因為兩點間的路徑以直線 的長度為最短，故在均勻介質中直線所對應的光程為最小光程。

光的折射定律也可以直接從費馬原理推導出來。為此只須證明圖 1-6 中一切 從 A 點穿過介面到 B 點的幾何路徑滿足折射定律時光成為最小。

假設一條路徑 AOB 之光程為L_AOB，則由圖 1-6 得

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 ( )

LAOB =n AO+n OB=n y +x +n y + −z x 。

如果 AOB 是光由 A 點傳播到 B 點的實際光路，則根據費馬原理，光程L_AOB必

滿足極值條件，即有 _{1 2}

2 2 2 2

1 2

d 0

d ^AOB ( )

x z x

L n n

x y x y z x

= − − =

+ + − 。我們定義入射角

為θ ，折射角為_i θ 。從圖 1-6 得知，_t

2 2

1

sin( )_i x y x

θ = + ，

2 2

2

sin( )

( )

t

z x y z x θ = −

+ − 。

因此，上式可以改寫成n₁sin( )θ =_i n₂sin( )θ 。可見由費馬原理決定的光路與由惠更_t 斯-菲涅耳折射定律所決定的光路是一致的。

圖 1-6: 用 Fermat principle 描述折射定律

1.4 超穎介面(Metasurface)的介紹

大多數光學元件的功能主要藉由其對光波的操控所描述，操控方式不外乎於 不同的應用方向適當改變光波前(Wavefront)的相位、振幅或是電場偏振狀態，主要 分成三大類型[2]。第一大類為改變電磁波的相位，方法主要包含利用稜鏡、透鏡 系統、空間相位片(Spatial Phase Plates)以及空間光波調製器(Spatial Light Modulator, SLM)等。其中，空間光波調製器具有動態調控空間相位響應的能力，因此被廣泛 的應用於光學元件中。第二大類為利用具有光學各向異性(Optical Anisotropy)的雙 折 射 晶 體 (Birefringent Crystal) 進 行 入 射 光 偏 振 狀 態 的 轉 換 ， 如 相 位 延 遲 片 (Waveplates)。第三大類則是基於繞射光學的基礎上於遠場中進行波前行為或光學 圖案(Optical Pattern)的調製，如光柵或是全像術(Hologram)。上述具有改變光波前

能力的光學元件其工作原理皆基於傳播效應(Propagation Effect)，表示其相位或偏 振狀態的改變量必須於光的行進中慢慢累積。這個現象已經被成功應用於轉換光 學(Transformation Optics)。轉換光學主要利用電漿子超穎物質控制空間中等校折射 率的分布，進而使得光的傳遞方向發生改變，以達到負折射以及次波長聚焦等特 殊光學現象。

於光的行進路徑中引入相位非連續性(Phase Discontinuities)的概念能讓我們在 不依靠傳播效應的情況下達到控制光波前的目的[3]，於設計元件提供一個額外的 自由度。當一道入射光源與光學散射體(Optical Scatters)交互作用後，入射光與散 射光之間的相位在散射體達到共振時具有一個極大的偏移量，因此這個方法可以 有效達到相位非連續性的目的，進而達到調控光波前的效果。光學散射體的空間 分布與設計必須滿足兩個條件：(1)散射體的厚度必須為次波長尺度；(2)散射體之 間的距離必須亦為次波長尺度。我們便稱尺寸於次波長尺度且具有利用共振特性 改變電磁波相位(並非藉由光的傳播特性累積相位變化)能力的散射體陣列結構稱 為超穎介面。光學散射體的幾何結構設計非常廣泛，如奈米粒子、奈米共振腔、

光學天線、以及量子點或奈米晶體等介電質共振體等[4]。

如上述討論與分析，接下來本文將著重於如何利用奈米天線散射體設計超穎 介面。當一道入射光與金屬光學天線交互作用時，入射光能量會與金屬天線表面 的自由電子交互作用後反射或穿透天線結構(此交互作用即所謂的表面電漿共 振)。當入射光與表面電漿耦合作用後便會使得散射光於自由空間中的相位發生變 化。比如說，假設固定入射波長的情況下，金屬天線的共振將會發生於當其長度

res / 2

L ≈λ 的條件下，其中λ 為入射光波長，此情況下入射場與天線表面被激發的

電流振盪為同相，表示之間沒有相位差。當金屬天線的長度略小於或略大於L_res 時，表面電流的振盪相較於入射場而言會有一個領先或延遲的相位。因此，藉由 適當的調整金屬天線長度將有助於我們控制電流振盪繼而改變散射場的相位延遲 (因為散射場為入射場與天線上電流振盪產生的輻射場之疊加)。藉由此方法能於單 一金屬天線振盪中達到的相位差最大為 π[2]。然而，為了達到完整控制電磁波波 前，相位調控必須達到 2π。超穎介面的領域中主要有三種方法可將電磁波之像為 調製擴展至 2π：(1)多重獨立共振(Multiple Independent Resonances)，(2)耦合式天線 共振(Coupled Antenna Resonances)以及(3)幾何效應(Geometric Effects)，如圖 1-7 所 示。

圖 1-7: 藉由(a)多重獨立共振，(b)耦合式天線共振以及(c)幾何效應將相位調製 擴 展至 2π 之研究結果[5]-[7]。

多 重 獨立 共 振主 要 是 藉 由 具 有 對 稱模 態 (Symmetric Mode) 與 反 對 稱 模 態 (Antisymmetric Mode)的光學天線，於適當的幾何排列以及入射光偏振的情況下產 生兩個共振模態之間的疊加，以達到 2π 相位調製的目的，如圖 1-8 所示。然而此 種方法共振時會產生不同偏振狀態的散射光，分別為與入射光電場方向平行以及 垂直兩種，其中只有電場與入射光電場垂直的散射光其相位才有被調製的作用，

造成偏振轉換的效率也是必須被仔細的考慮因素之一，以達到最佳的效率。

圖 1-8: 具有對稱模態與反對稱模態共振的 V 形光學天線[8]。

幾何效應主要藉由奈米天線的旋轉，使得入射光的相位能被有效的調製，並 同時能讓電磁波的散射振幅浮動非常微小，因此非常適合應用於電漿子超穎介面 的設計[11]。然而，此種方法只適用於入射光為圓偏振光，也因此大大的限制了應 用範圍。

1.5 廣義斯乃爾定律

一般而言，斯乃爾定律(Snell’s Law)主要用以描述當入射光通過一個介於兩種 不同物質介面時其入射角、反射角以及折射角之間的關係。由於電漿子超穎介面 會額外提供入射電磁波一個相位平移，因此用一般的斯乃爾定律已經無法完整描 述電磁波的光學行為，必須額外將電漿子振盪產生的相位貢獻考慮進系統中。由 費馬定律(Fermat’s Principle)得知，如圖 1-9 所示，空間中任意兩點之間，不論光 走 哪 一 條 路 徑 ， 其 相 位 變 化 必 須 一 致 。 其 中 光 路 徑 產 生 的 相 位 差 為

2 0

L π L n k

Φ = ⋅λ = ⋅ ⋅ 。其中 L 為路徑長，λ 為入射光波長，n 為介質折射率，θi與θt

分別代表入射角以及折射角。

圖 1-9: 電磁波從空間於兩種不同介質中 p 點傳播至 q 經由不同光路徑(紅線與藍 線)示意圖。

然而，由於置於介面上的電漿子超穎介面其對於入射電磁波的電位亦有所貢 獻，因此費馬定理將被改寫成：

[

] [

]

其中 Φ 為電漿子超穎介面於兩物質介面中產生的相位偏移量。將(1.1)式重新整理 後可得廣義斯乃爾定律[8]：

: sin( ) sin( ) 0

t nt i ni 2

Refrac d

tion θ θ λ dx

π

 

 

 

− = Φ

(2)

: sin( ) sin( ) 0

r i 2

i

Reflect

x

i n n d

o θ θ λ d

π

 

− = 



 Φ

 (3)

值得注意的是，不論是反射光或是折射光都有 dΦ/dx 這一項，主要描述介面上金 屬天線共振時所產生的相位貢獻。若將此項移除，則(1.2)以及(1.3)式將會恢復成一

般的斯乃爾定律。

我們進一步從動量的角度討論此問題。由於兩物質的介面上水平方向的動量必 須守恆(即平行 x 的方向)，因此可以將電磁波的動量寫成：

: sin_{t t i}sin _i

Refraction k d

k θ = θ + dx^Φ (4)

: sin_{r r i}sin _i

Reflection k d

k θ = θ + dx^Φ (5)

相同的，不論在折射或是反射的式子中皆可以觀察到 dΦ/dx 這一項，表示電漿子 超穎介面此時可以看成額外提供了一個水平動量給予入射電磁波，藉由此動量轉 換達到改變電磁波的行進方向。

電漿子超穎介面提供了一個全新的自由度，使人們能藉由調整結構的排列與幾何 形狀達到調控電磁波的振幅以及相位，進而達到控制電磁波傳播行為的能力。電 漿子超穎介面已經被廣泛討論並應用於許多光學元件中，如全像術[12],[13]、相位 延遲片[14],[15]、偏振檢測器[16]以及光波前調控[17]等。

1.6 參考文獻

[1] X G. Luo, “Principles of electromagnetic waves in metasurfaces,” Sci China-Phys Mech Astron 58, 594201 (2015)

[2] N. Yu, and F. Capasso, "Flat optics with designer metasurfaces," Nat. Mater. 13, 139-150 (2014).

[3] N. Meinzer, W. L. Barnes, and I. R. Hooper, "Plasmonic meta-atoms and metasurfaces," Nat. Photon. 8, 889-898 (2014).

[4] Y. Nanfang, P. Genevet, F. Aieta, M. A. Kats, R. Blanchard, G. Aoust, J. P. Tetienne, Z. Gaburro, and F. Capasso, "Flat optics: Controlling wavefronts with optical antenna metasurfaces," IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, 19, 4700423-4700423 (2013).

[5] X. Zhang, Z. Tian, W. Yue, J. Gu, S. Zhang, J. Han, and W. Zhang, "Broadband terahertz wave deflection based on C-shape complex metamaterials with phase discontinuities," Adv. Mater. 25, 4567-4572 (2013).

[6] S. Sun, K.-Y. Yang, C.-M. Wang, T.-K. Juan, W. T. Chen, C. Y. Liao, Q. He, S.

Xiao, W.-T. Kung, G.-Y. Guo, L. Zhou, and D. P. Tsai, "High-efficiency broadband anomalous reflection by gradient meta-surfaces," Nano Lett. 12, 6223-6229 (2012).

[7] L. Huang, X. Chen, H. Mühlenbernd, G. Li, B. Bai, Q. Tan, G. Jin, T. Zentgraf, and S. Zhang, "Dispersionless phase discontinuities for controlling light propagation,"

Nano Lett. 12, 5750-5755 (2012).

[8] N. Yu, P. Genevet, M. A. Kats, F. Aieta, J.-P. Tetienne, F. Capasso, and Z. Gaburro,

"Light propagation with phase discontinuities: Generalized laws of reflection and refraction," Science 334, 333-337 (2011).

[9] A. Pors, M. G. Nielsen, and S. I. Bozhevolnyi, "Broadband plasmonic half-wave plates in reflection," Opt. Lett. 38, 513-515 (2013).

[10] S. Sun, Q. He, S. Xiao, Q. Xu, X. Li, and L. Zhou, "Gradient-index meta-surfaces as a bridge linking propagating waves and surface waves," Nat. Mater. 11, 426-431 (2012).

[11] M. Kang, T. Feng, H.-T. Wang, and J. Li, "Wave front engineering from an array of thin aperture antennas," Opt. Express 20, 15882-15890 (2012).

[12] X. Ni, A. V. Kildishev, and V. M. Shalaev, "Metasurface holograms for visible light," Nat. Commun. 4, 2807 (2013).

[13] S. Larouche, Y.-J. Tsai, T. Tyler, N. M. Jokerst, and D. R. Smith, "Infrared metamaterial phase holograms," Nat. Mater. 11, 450-454 (2012).

[14] L.-J. Black, Y. Wang, C. H. de Groot, A. Arbouet, and O. L. Muskens, "Optimal polarization conversion in coupled dimer plasmonic nanoantennas for metasurfaces," ACS Nano 8, 6390-6399 (2014).

[15] N. Yu, F. Aieta, P. Genevet, M. A. Kats, Z. Gaburro, and F. Capasso, "A broadband, background-free quarter-wave plate based on plasmonic metasurfaces," Nano Lett.

12, 6328-6333 (2012).

[16] D. Lin, P. Fan, E. Hasman, and M. L. Brongersma, "Dielectric gradient metasurface optical elements," Science 345, 298-302 (2014).

[17] B. Walther, C. Helgert, C. Rockstuhl, F. Setzpfandt, F. Eilenberger, E.-B. Kley, F.

Lederer, A. Tünnermann, and T. Pertsch, "Spatial and spectral light shaping with metamaterials," Adv. Mater. 24, 6300-6304 (2012).

Chapter 2 數值模擬計算

2.1 前言

本篇論文利用數值模擬計算電磁波光譜與相位平移等光學性質，並進行電磁 場分析，進一步設計與驗證電漿子超穎物質的共振模態、耦合作用與光學元件開 發。

2.2 杜德-羅倫茲模型(Drude-Lorentz Model)

在非常廣泛的頻率範圍中，金屬的光學特性可以藉由電漿模型(Plasma Model) 進行分析與討論，其主要以空間密度為 n 的自由電子氣描述。對於鹼金屬而言，

此頻率範圍可以被擴展至紫外光，然而對於貴金屬而言，由於在可見光波段會產 生兩個不同能帶之間的躍遷(Interband Transition)，因此侷限了此模型的有效頻率區 間。在電漿模型中，晶格位能以及電子與電子之間的交互作用都必須被考慮。為 了簡化問題，這邊將所有電子的等效光學質量皆等效為 m。對於一個外加電磁波 而言，自由電子會對其有一定的響應，電子的運動會因為碰撞而產生損耗，碰撞 頻率為1/τ，τ 為電子氣的延遲時間(Relaxation Time)，通常在室溫下為 10^-14的等 級，對應於 100 太赫茲(Terahertz)的碰撞頻率。

現考慮一自由電子受外加時諧電場E

作用，此時自由電子的運動方程式為

2

2

d x d x

m m eE

dt + γ dt = −

  

(1)

其中x

為自由電子位移隨時間變化的函數，γ 為阻尼係數，e 為自由電子的帶電量。

若我們假設外加電場為一個和諧時間場，即E t( )=E e₀ ^{−i tω}

，則(2.1)式方程式的解必 為x t( )=x e₀ ^{−i tω}

。此複數振幅x₀

包含所有外加電場與響應之間的相位平移：

( ) 2 ( )

( )

x t e E t

mω iγω

= +

 

(2)

金屬內部的極化向量 P= −nex

，帶入(2.2)式後整理可得：

2

( ) 2 ( )

( )

P t ne E t

m ω iγω

= − +

 

(3)

接著引進電磁學課本中電位移D

與電場E

的關係式：

D =ε0E +P

(4)

從(2.3)以及(2.4)可得

2

0 2

( ) (1 ^p ) ( )

D t E t

i ε ω

ω γω

= − +

 

(5)

其中

2 2

0 p

ne ω m

=ε 為電漿頻率(Plasma Frequency)。因此，我們得到自由電子器的介電 函數：

2

( ) 1 2 ^p

i ε ω ω

ω γω

= − + (6)

(2.6)式即為杜德(Drude)模型所描述的電子介電函數。若將此複數介電函數的實部 與虛部分量表示為ε ω( )=ε ω₁( )+iε ω₂( )

2 2

1( ) 1 2 2

1 ω τp

ε ω ^{= −} +ω τ (7)

2 2

2( ) 2 2

(1 ) ω τp

ε ω =ω ω τ

+ (8)

其中γ =1 /τ 。

我們接下來進一步的分析不同頻率範圍內(2.9)式的物理涵義。當入射光頻率小於電 漿頻率時，即ω ω< _p時，金屬便保持著其本身的金屬特質。當頻率大到非常接近 電漿頻率ω 時，此時_p ωτ >>1，造成損耗項可以被忽略，因此(2.9)式可被改寫成：

2

( ) 1 ω^p2

ε ω = − ω (9)

(2.9)式可被視為無損號情況下自由電子的介電質函數。若考慮入射電磁波的頻段為 高頻波段，此時只利用杜德模型描述金屬內部的電子運動行為可能會造成比較大 的誤差，原因在於杜德模型只描述金屬內部自由電子的運動狀態，然而金屬內部 亦有受到比較大束縛力的束縛電子，若入射電磁波頻率較大時便需考慮到束縛電 子的運動狀態。因此在模擬計算高頻波段的電磁波交互作用時介電係數通常會加 入羅倫茲(Lorentz)項加以修正，即為杜德-羅倫茲(Drude-Lorentz)模型。

2 3 2

2 2 2

1

( ) 1 ^{p m m}

m m m

f

i i

ω ω

ε ω ^{= −}ω + γω⁺

∑

式中最後一項即為羅倫茲修正項，其推導過程類似於杜德模型，只要將(2.1)加入一 束縛力所造成的項即可。

在本論文所使用的金屬金的參數，其電漿頻率ω 為 1.3673^{× 16}

尼係數γ 為 2.127^×10¹⁴ (rad/s)[1]。此外，我們所使用介電質氟化鎂(MagF₂)的折射 率為ε =1.892來自文獻[2]。

2.3 有限元素法(Finite-Element Method)

本論文主要使用兩種商業軟體進行數值模擬計算與分析，分別為 COMSOL Multiphysics 以及 Computer Simulation Technology (CST)，此節將著重於 COMSOL Multiphysics 的介紹，至於 CST 的部分則會在下一小節進行更進一步的探討。

COMSOL Multiphysics 為一種建立於有限元素法(Finite-Element Method, FEM)基礎 上進行數值計算的套裝軟體[3]。有限元素法的基本觀念是任何連續量均可用一不 連續函數的型式作近似表示，此型式乃為有限區域的集合分段連續函數所組成。

使用連續量的值，以定義分段連續函數將整個結構視為次區域(Subdomain)，即有 限元素之組合，做為整個結構解析之模擬。在每一個次區域內之結構行為，可以 用一假設函數來表示該區域內之應力或應變，而這個假設函數通常必須能夠保持 整個連體結構行為的連續性。

凡是牽涉到複雜之幾何、負載與材料性質之問題，通常都無法得到其分析數學 解，因此對一被分析之未知連續體而言，分析解由分析對象「局部」之數學式求 得，而分析對象包含無限個這種「局部」。有限元素法假設將此未知連續體分割成 有限個「局部」，稱之為元素（Element），或稱為網格(Mesh)，網格的邊界點稱之 為節點（Node），然而每個節點上均滿足一條數學方程式，稱之為內插函數方程式

（Interpolation Equation），藉由有限個內插函數方程式表達該連續體之分析行為，

此群有限個方程式之解稱為內插近似解（Interposition Approximation）。只要連續體 之場變數（位移、速度、電磁場、…）與各條件（幾何條件、起始條件、邊界條 件、材料性質、…）假設正確，則在誤差容忍度之內，近似解可視為取代精確解

之可信賴結果。

從上述討論得知，若增加欲求解系統的網格數，也就是增加內插函數方程式會使 得計算出來的數值結果誤差較小，但相對的此時電腦所需的運算量也較大，因此 在進行計算時必須在兩者之間取得平衡。有限元素法另外一個計算優勢在於可以 根據欲深入了解的次區域進行局部性的網格優化，其他次區域的網格設置則可以 依照個別需求進行調整，如此一來既可大大減低電腦計算所需的運算量，亦可以 得到精確度極高的數值解。

有限元素法是至今解決偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）和積分方程 (Integral Equation)的數值方法中極為重要的一環。主要的概念為完全消除微分方程

（穩態問題）或者把偏微分方程轉化為等效的常微分方程，然後用有限差分方法 求解。在求解偏微分方程過程中，最大的困難點在於要如何創造出一個能近似原 始偏微分方程的方程式，且此方程式必須具數值穩定性，即輸入資料的誤差和中 間計算不會帶來誤差的累積，否則輸出會因為誤差太大而毫無意義。有很多方法 可以實現這一過程，互有優劣。這個方法自 1955 年開始被使用以來[4]，如今已經 變成數學物理之數值解析問題中一個非常熱門的解析方法。有限元素法應用的範 圍非常的廣泛，包含了生物、物理、結構工程等方面的使用，其優點如下：

I. 鄰近元素可以為非均質（Non-homogeneous）或非等向性（Anisotropic）等材 料。

II. 元素邊界可以為不規則形狀的邊界，其能用直邊元素或用曲線邊界作近似。

III. 元素(網格)的大小可以任意地進行局部設定，此性質能視電腦的計算能力或所 需的誤差大小將網格尺寸擴大或縮小。

邊界條件（Boundary Condition）中，諸如不連續性的邊界條件設定，用有限元素

法不會產生任何困難，能很容易解決混合的邊界條件問題。

2.4 有限積分法(Finite-Integration Technique)

本文所使用的另一種商用數值計算軟體為 CST Microwave Studio，其主要的電 磁計算方法為有限積分技術(Finite-Integration Technique, FIT)。有限積分技術提供 了一個空間辨認平面(Universal Spatial Discrimination)，適用於電磁問題中所有高頻 靜電磁場的計算(時域或頻域皆可)。不同於有限元素法，有限積分技術以離散馬克 斯威爾方程的積分式進行計算，並非微分方程[5]。藉由定義計算空間，馬克思威 爾方程可在適當的空間中被解析，而這些計算空間為許多小格點晶胞(Grid Cells) 所組合而成的網格系統。一般而言，這些格點主要基於卡笛耳座標系(Cartesian Grids)。為了在較複雜的邊界上增加其精確度，在數值計算中 CST 亦把完美邊界近 似技術(Perfect Boundary Approximation, PBA)引進計算空間中，其可以保持卡笛耳 座標系格點的優勢，並於建構較複雜的曲線結構時保持著極高的精確度。藉由合 併有限積分技術模型以及完美邊界近似技術，CST 同時具有有限元素法以及有限 時域差分(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)模型的優點。CST 同時具有自由度 極高的模型建構以及高速計算能力，但是在模型分割方面的能力較差。

計 算 過 程 中 我 們 所 使 用 的 邊 界 條 件 為 週 期 性 邊 界 條 件 (Periodic Boundary Conditions, PBC)，光源部分設定為平面波入射。所有的電磁場只能被探針(Probes) 於空間中一個特定位置所偵測，且一次只能偵測一個分量(於所有頻率範圍內)。因 此，只有穿透率可以被完整描述，因為在結構上方的電磁場為入射光與反射光的 疊加態。在電磁波傳遞方向上計算空間必須足夠大，確保消散場能在被遠場偵測 到之前就完全消失衰退，但這也使得計算時間被加長。

2.5 參考文獻

[1] Z. Liu, A. Boltasseva, R. H. Pedersen, R. Bakker,A. V. Kildishev, V. P. Drachev, and V. M. Shalaev, “Plasmonic nanoantenna arrays for the visible,” Metamaterials 2, 45-51 (2008).

[2] H. H. Li. “Refractive index of alkaline earth halides and its wavelength and temperature derivatives.,” J. Phys. Chem. Ref. Data 9, 161-289 (1980).

[3] COMSOL Multiphysics, "RF module user’s guide."

[4] Zienkiewicz, O. C., "The finite element method (3^rd ed.)," New York (1977).

[5] CST GmbH, Germany. www.cst.de

Chapter 3 奈米光學天線的相位討論

3.1 前言

在緒論所提及的超穎介面，都是由奈米金屬結構所構成，而這些奈米金屬結 構具有在極小面積中累積相位的性質，透過激發奈米金屬結構的局域表面電漿子 共振，其散射光的相位可以透過奈米金屬結構共振模態所決定，而共振模態又與 奈米級金屬結構的幾何以及激發光波長有關係。因此，在這個章會討論奈米天線 相位的性質。

3.2 奈米天線光學性質討論

一般而言，對於單一奈米天線而言，入射光與散射光的相位差最多是π。我們 會粗略討論單一奈米天線其共振性質，之後會用精確物理模型討論其相位。

圖 3-1: (a)入射光示意圖，E 為入射光電場 (b)(c)(d) 在奈米天線的不同長度(_inc L) 下，保持入射光波長(λ )，暫態電荷(₀ + −, )、電流分布(綠色箭頭 J

)的示意圖[1]

圖(a)表示入射光場示意圖，其中Einc

為藍色箭頭，表示最大的振幅。圖(b)表 示在奈米天線非常小(L0 )的情況下，只有在奈米天線兩端累積相當大的電荷密λ₀

度(σ

)，其中紅色(+)為暫態的正電荷密度，藍色(-)為暫態負電荷密度，但是沒有任 何響應電流( J

)。圖(c)表示在奈米天線恰等於入射光波長的一半(Lλ₀ 2)時，有 最大的響應電流( J

)，綠色箭頭所示暫態電流方向，但是沒有任何的電荷密度的累 積。圖(d)表示在奈米天線長度等於入射光波長(L )的情況下，在距離奈米天線λ₀ 的兩端λ₀ 4有最大的電荷密度的累積，其電荷密度分布與圖(b)的正電與負電荷密 度分部完全相反。同時，也沒有響應電流。[1]

在不使用任何精確的理論模型或者是數值模擬軟體的情況下，我們透過了解 奈米天線光學響應的現象來分析。首先，光學奈米天天線的長度(L λ 0 )的情況₀ 1 下，其電荷分布隨著外將電場變化，因此，可以將電荷密度分布(σ

)與外加電場(E

) 成正比如表格所示，其中σ

表示在奈米天線其中一端的電荷密度。因此，輻射電場

與被加速電荷成正比(根據 Larmor formula[2])。也就是

2

2

scat 2 inc

E E

t

∝∂ σ∝ −ω

∂

  

。入射

場與散射場的相位差是π 。接下來是討論奈米天線長度恰等於入射光波長的一半 (L λ ₀ 1 2)，此時，在奈米天線上中心點的響應電流( J

)與入射場是同相。也就是 exp( )

inc inc

I ∝E =E i tω

  ， 因 此 ， 是 最 有 效 率 地 驅 動 響 應 電 流 。 在 推 論 出

2

scat 2 inc

E I i E

t t

∂ σ ∂

∝ ∝ ∝ ω

∂ ∂

 

 

，其中Esca

與Einc

相位差為π 。接下來對於奈米天長度2

等於入射光波長(L λ  )的情況下，其中天線阻抗主要是電感性，也就是在奈米₀ 1 天線上的電流比入射場的相位領先π (i.e. 2 I∝ −iEinc = −iEincexp(i tω )

)。因此，

2

scat 2 inc

E I E

t t

∂ σ ∂

∝ ∝ ∝ ω

∂ ∂

 

 

，散射場與入射場是同相位的。總結來說，對於固定激發

波長，奈米天線的阻抗與奈米天線長度的關係如下(表格 1)，當奈米天天線長度由

小變大時，其阻抗由電容性到電阻性最後再到電感性。其中阻抗為電阻性時後為 共振。因此，單一的奈米天線只能提供散射場與入射場最多的相位差為π 。

表格 1: 在不同奈米天線長度與入射光波長比值下，所對應的散射電場與入射光 電場的關係

L0 λ0 L≈ λ0 2 L≈ λ ₀ σ

or

I σ ∝ Einc =Eincexp(i tω )

exp( )

inc inc

I ∝E =E i tω

  I∝ −iEinc= −iEincexp(i tω )

Escat

 ² ₂

scat 2 inc

E E

t

∝∂ σ∝ −ω

∂

   ²

scat 2 inc

E I i E

t t

∂ σ ∂

∝ ∝ ∝ ω

∂ ∂

 

  ₂

scat 2 inc

E I E

t t

∂ σ ∂

∝ ∝ ∝ ω

∂ ∂

 

 

∆ϕ π

2

π 0

3.3 線性光學天線的單一振子模型

在這個小節 ，我們使用簡單單一振子模型描述光學天線、一般而言，可以適 用於任意奈米結構具有局域表面電漿子共振的特性(LSPRs)[3],[4]。此模型將奈米 結構的共振、集體電子的振盪視作為一個電荷在彈簧上具有阻尼且受驅動的簡諧 振子。不像一般的振子模型，其所有的阻尼機制全部可以統合成單一損耗項且正 比於電荷的速度[5]-[7]。然而，我們可以將局域表面電漿共振(LSPR)有兩種衰減機 制的解釋，第一是自由載子的吸收(內部的損耗)，第二是將光輻射到遠場(輻射的 損耗)[8]。

我們開始假設一個理想系統的運動分成如下式，此系統具有電荷q坐落在位置 座標x t( )，其中此電荷的質量為 m 連結在彈簧一端，此彈簧的彈力係數為κ，有一 外加電磁場頻率為ω驅動此電荷，並且在運動過程中有內部損耗，內部損耗的阻尼 係數為Γ 。 _a

2 3

2 0 3

i t

a s

d x dx d x

m x qE e

dt dt dt

+ Γ + κ = ω + Γ (1)

除了內部的阻尼力為 _a( ) _a dx

Γ ω = Γ dt ，電荷還受到額外因為輻射造成的作用力

為

3

( ) 3

s s

d x

Γ ω = Γ dt ，其中

2

3

6 0 s

q Γ = c

πε 。這項可以被描述為後作用力，被加速的電荷 輻射出光子並且得到與光子相反的動量，我們也可以稱作阿布拉罕-勞侖茲力 (Abraham-Lorentz force)或者輻射反應作用力。此種後座力也可以被視為電荷所產 生的作用力對電荷本身的作用。對於一個電荷被彈簧束縛的模型，輻射的作用力 包含物理自我的一致性並且不被內部損耗所吸收。

藉由假設諧波運動為 ( , )x ω = ωt x( )e^{i tω}，我們可以立即寫下(3.2)式是(3.1)式的穩 態解如下所示

0

2 2 2

0

( )

( , ) ( )

( ) ( )

i t i t

a s

q m E

x t e x e

im

ω ω

ω = ω − ω + ω Γ + ω Γ = ω

(2)

其中x( )ω 包含振子的振幅與相位的資訊，而且ω =₀ k m。

圖 3-2: (a) 使用振子模型來代表奈米天線的光學性質，其中q表示電荷大小，m 表 示振子質量，κ表示彈力常數，x t( )表示離開平衡點的位移 (b) 光學奈米金天線示

意圖(L= m1 m h, =50nm w, =130nm)，使用入射光正向入射( k

)到金光學天線，其 電場偏(E

)振沿著光學天線長度的方向(x)。

根據文獻[8]，其中金奈米光學天線的長度為L= m1 m，厚度t=50nm，寬度 130

w= nm，坐落在矽基板，使用正向入射光( k

)，其電場( E

)偏振方向沿著長度 L 方向，q2.3 10× ⁸，m^*_e 1.5m_e，其他的參數像是ω 、₀ Γ 以及_s Γ 皆從文獻[8]。用_a 數值擬和方式作出圖 3-2，圖 3-2(b)表示此模型的的近場振幅大小，圖 3-2(c)表示 此模型的相位資訊，由圖(c)非常清楚知道，固定單一奈米天線的長度，大幅度改 變其入射光波長，但是相位改變僅僅只有 2.5 徑度(注意:2π =6.28徑度)。

圖 3-3: 文獻[8]的圖一(c)(d)(e)，(c)為表示奈米天線的遠場散射以及吸收，(d)為奈 米天線近場振幅，(e)為奈米天線近場相位

3.4 使用兩個振子模型來描述具有兩個相互正交電漿子模

態的二維結構

為了可以操控電磁波的波前，我們需要次波長光學單元去調控輻射光的相 位，其輻射光相位差範圍相對入射光的相位可高達2π。上述單一奈米光學天線可 以用單一振子模型所描述，我們已經知道是無法達到2π的相位調製。因此，需要

額外加入其他振子到我們的系統模型，以達到相位調製的目的。在接下來內容會 描述兩個互相正交的振子模型是可以達到2π的相位調製。

將兩個互相正交的電漿模態視作互為獨立簡諧振子，此組合系統可以被視作 為兩個有質量的電荷在互相垂直的彈簧上運動(如圖 3-4(A)、(B))。其中一個簡諧 振子沿著 x 方向運動，另外一個簡諧振子沿著 y 方向運動，入射光沿著 z 方向入射，

其中入射光的電場沿著 w 方向振動。w 軸是躺在 xy 平面上，且與 y 軸夾角為θ。 對於具有電荷，受驅動的振子沿著 x 軸運動，其中x( )ω 為複數振幅，表示從 平衡點起算的位移，又假設此振子運動是諧和震盪 ( )x ω e^{i tω} ，可以被寫成如同[8]，

我們觀察(3.3)式與(3.2)式是一樣的，只是(3.3)式下標 x，表示沿著 x 方向震盪的振 子的穩態解

0 

0,

2 2 2

0, , ,

( )

( ) ( )

( ) ( )

x x

x

x a x s x

x

q E

x m x E

im

ω = = ω

ω − ω + ω Γ + ω Γ

(3)

其中q 是表示電荷大小，_x m 表示質量，_x ω_0,x表示共振頻率，Γ_{a x,} 以及Γ_{s x,} 分別 表示吸收與散射的衰減係數。振子所輻射出的電場為E_{s x,} ( )ω 可以被描述如下

2

, ( ) ( ) , ( )

s x x s x

E ω = −D r Γ ω ωx

(4) 在式(3.4)中，D r_x( )

包含角度與逕向相依的輻射電場。精確形式的D r_x( ) 與振 子特定的幾何以及周圍環境有關，但是受限於振子大小與波長相比是非常小的，

因此，D r_x( )

簡單為電偶極的輻射場。如果振子是沿著 y 方向運動的話，只要將上 述的 x 改寫成 y 即可，比如說:y( )ω ，( )y ω ，E_{s y,} ( )ω 。假設入射光的偏振方向沿著

w軸(如圖 3-4 (C))，我們將輻射電場沿著 ν 方向定義為E_s,ν( )ω 。我們將過程分兩

個步驟說明:入射光耦合到振子的兩個獨立模態(in-coupling process)以及振子的兩 個獨立模態耦合到輻射場(out-coupling process)。在 in-coupling 過程中，牽涉到入

射光的偏振投影到兩個獨立共振模態，可以被表示為E_0,x =E w x₀^{ }⋅ =E₀sin( )θ 以及

0,_y 0  0cos( )

E =E w y⋅ =E θ 。對於 out-coupling 過程，我們將被兩個互相獨立的振子 振動所輻射場投影到 ν 軸表示如下

  ²

, ( ) , ( ) 0, cos( )

s x x s x x

E ν ⋅ = −x D r Γ ω x ω E θ

(5)

  ²

, ( ) , ( ) 0, sin( )

s y y s y y

E ν ⋅ =y D r Γ ω y ω E θ

(6) 將這些輻射場的投影線性疊加後，總和的輻射場可以被表示為E_s,ν如下

 

0 2

, ( ) ( ) sin(2 ) , ( ) , ( ) 2

i

s s x s y

E _ν ω =D r E θ ω  Γ x ω e^π+ Γ y ω 

(7)

其中我們假設D r_x( ) ≈D r_y( ) =D r( )

。方程式(3.5)、(3.6)提供兩個互相獨立振子的系

統一個完整輻射場的描述。輻射場強度為 E_s,ν( )ω 以圖 3-4 (D)表示，輻射場相位² 為ϕ ω( )以圖 3-4 (E)表示。對於典型 V 型天線有其對應特定的參數(Γ ，_{a i,} Γ ，_{s i,} ω ，_0,i

m )分別帶入兩振子系統模型中。 i

圖 3-4 (E)中，其黑色線條表示兩個振子系統的相位，藍色線條表示沿著 x 方 向振動的振子的相位，紅色線條表示沿著 y 方向振動的振子的相位。根據方程式

(3.7)，沿著 x 軸振盪的振子與沿著 y 軸振盪的振子所產生的散射場在 ν 軸上的投影 相位相差一個常數e^iπ。此比例常數使得 V 型調製相位可以達到2π。更進一步觀察 圖 E ， 其 藍 色 線 條 是向 下 平 移 徑 度π 。觀察圖 3-4(D)，在波長範圍坐落在 3mm~ 5mm時，為對稱共振模態(Symmetric Mode)，是沿著 x 軸振盪的振子所主