為了研究二維Q-state Potts model，我們使用 Swendsen–Wang 演算法生成 Q=2,3,4,5,10 的自旋狀態，並訓練卷積神經網路對這些自旋狀態進行分析。本章 節將分別呈現採用傳統蒙地卡羅方法以及人工神經網路所得到的結果。
上一章提及的直方圖方法可以用來判別相變是屬於一階或二階相變。為了 和人工神經網路輸出之觀測量R 進行比較，在本章中，我們繪製磁化量|m|以及 在上一章節中提及的觀測量R 的直方圖，並依此判斷對於正方形晶格上的 Potts model 在不同的 Q 值下的相變為一階相變或二階相變。
蒙地卡羅方法之數值結果
Fig. 4.1 是 2-D 2-state Potts model 的磁化量|m|在T~Tc的直方圖。在晶格大 小L 較小時（L=20），系統並沒有呈現雙峰分布，當系統的晶格大小逐漸增增 加至240 時，其分布也沒有太大的改變。基於上述結果，可以推斷 2-state Potts model 的相變過程的確屬於二階相變。
Fig. 4.2 是 2-D 10-state Potts model 的磁化量|m|在T~Tc的直方圖。在晶格大 小L 等於 20 時|m|即呈現雙峰分布，當晶格大小 L 增加至 40 時，雙峰分布的強 度也隨之明顯增加。這樣的結果顯示10-state Potts model 的相變過程確實是一 階相變。
綜上所述，Fig. 4.1 與 Fig. 4.2 確實的指出在正方形晶格上的 Q=2, Q=10 的 Potts models 的相變過程分別為二階以及一階相變。然而 2-D 5-state Potts model 的磁化量|m|在T~Tc的直方圖並不如10-state Potts model 一樣明顯的顯示出一階 相變的特性（見Fig. 4.3），在文獻中指出，這是由於 2-D 5-state Potts model 接
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近一階與二階相變的邊界，其correlation length 非常大，在晶格大小小於 corre-lation length 前，其臨界性質和二階相變較為接近，因此 Q=5 又被稱為弱一階相 變（weakly first order phase transition）[23]。
Fig. 4.1 Q=2, L=20 及 240 之直方圖。
Fig. 4.2 Q=10, L=20 及 40 之直方圖。
Fig. 4.3 Q=5, L=20 及 240 之直方圖
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卷積神經網路之數值結果
藉由使用在第三章提到訓練集標註之方法，卷積神經網路之輸出向量O⃗⃗ 的 長度R 在不同的 Q 值下，均隨著溫度增加而從 1 快速的下降至1/√𝑄。對於任 意給定之Q-state Potts model 而言，其相應的臨界溫度Tc應位於一溫度區間 (T1, T2)，其中T1以及T2分別為R 開始劇烈的下降與收斂至於1/√Q 時的溫度。
卷積神經網路輸出的結果顯示：隨著晶格大小L 增加，(T1, T2)區間會收縮至很 小的範圍中。經由和文獻中[22]提及的臨界溫度𝑇𝑐 = 1
ln (1+√𝑄)進行比對，可以發
現Tc確實座落於(T1, T2)區間中，且具有相當高的精確度。
Fig. 4.4 不同(L, Q)數值下 R 對 T 之函數圖。黃色虛線為理論預估值。
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除偵測臨界溫度Tc外，在本次研究中亦嘗試使用觀測量R 在（T1,T2）區間 之直方圖來作為區分相變類型為一階或二階相變之依據。我們對Q=10, L=10, 20, 80 及 Q=3,L=20, 40, 240 在其所對應的（T1, T2）區間之R 繪製直方圖，結 果顯示當L 持續增加時，Q=10 的 R 會迅速的呈現雙峰分佈，而 Q=3 情況下 R 之分佈則無此現象。此結果和使用傳統觀測量|𝑚|的結果一致。
Fig. 4.5 3-state Potts model 在不同晶格大小 L 下 R 的直方圖。
Fig. 4.6 10-state Potts model 在不同晶格大小 L 下 R 的直方圖。
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