Q-state Potts model 是將易辛模型（Ising model）可取之自旋值數量從兩個
（1 或-1）增加至 Q 個（1、2、3……Q）的推廣。Potts model 最早由 Cyril Domb 所提出，並交由其學生 Renfrew Potts 作為論文題目進行研究並以此而命 名[17]。
Q-state Potts model 的 Hamiltonian 如下式：
𝛽𝐻 = −𝛽 ∑ 𝐽𝑖𝑗𝛿𝜎𝑖,𝜎𝑗 為在𝑗點上的 Potts variable，其形式如下：
𝜎𝑗 = exp (𝑖2𝜋𝑠𝑗
Q-state Potts model 以其豐富的臨界行為著稱。對於不同的晶格維度𝑑以及 其可取值的數量Q，Q-state Potts model 會呈現兩種不同的相變模式。若在晶格 中隨機調整其鍵結強度、外加磁場強度，其相變類別亦會有所改變。
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磁場下為一階相變，此特性和維度𝑑無關[21]；然而在 1973 年，Baxter 指出𝑑 = 2的Q-state Potts model 和 staggered ice-type model 等價[22]，因此在𝑞 > 4時是屬 於一階相變，並預測Q-state Potts model 的臨界溫度𝑇𝑐為
𝑇𝑐 = 1 ln (1 + √𝑄)
而此結果亦由Binder 使用蒙地卡羅方法所證實[23]。對於三維的系統，Rudnick 使用重整化群（Renormalization group，RG）方法預測𝑑 = 3, 𝑄 = 3的 Potts model 屬於一階相變[24]，而隨後蒙地卡羅以及 VRG（variational renormalization group）方法亦得出相同的結論[25-27]。除此之外，對於更高維度之系統，VRG 方法指出Q ≥ 2為一階段相變[28]。Wu 在其回顧性論文中[17]對上述結果進行統 整，而得到以下之圖形：
除了鐵磁性Q-state Potts model 外，反鐵磁性 Q-state Potts model 也是相當 有意思的研究題目。對於反鐵磁性Q-state Potts model 而言，每個格點上的自旋
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Fig. 2.1 Potts model 之相變類型示意圖（取自 Wu（1982），The Potts
model）。
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值傾向和鄰近格點的自旋值不同。當Q 值非常大時，在任何溫度𝑇下，系統的 correlations 均呈現指數衰減[29]，即使是在零溫下系統仍是呈現無序的狀態。
此一性質相當的直觀：當𝑄 ⟶ ∞時，每個格點可選取的的自旋值接近於連續隨 機變數，兩格點上依連續型均勻分布選取到相同自旋值的機率趨近於0。而此 現象亦有嚴格的證明[30]。對於較小的𝑄值，情況則有所不同。Baxter 於 1982 年的論文中[31] 指出二維反鐵磁性 Potts model 的臨界溫度可以精確的用下式來 表述：
(e−𝛽𝑐+ 1)2 = 4 − 𝑄
由此式可以看出，在Q= 3時臨界溫度為零；在 Q< 3時具有有限溫度之臨界溫 度。除解析的預測之外，此結果亦由蒙地卡羅方法以及phenomenological renor-malisation group 等數值方法驗證為正確的[8, 32]。對於三維的反鐵磁性 3-state Potts model，Ono 在 1986 年發表的論文中指出[33]在立方晶格的情況下，相變 的種類和三維XY 模型相同。
隨機鍵結模型在Potts model 的相關研究中也是相當常見的題目。S. Chen 在已知相變類型為一階相變的𝑄 = 8鐵磁性 Potts model 中隨機使用兩種鍵結強 度，發現其相變類型會轉變為二階相變[34]。
Potts model 也被用於複雜網路（complex networks）以及生物模擬等相關研 究上，對於採用不同的degree distribution，其相變種類會有所改變。在 S.N.
Dorogovtsev 的論文中有提到，當在 random Bethe lattices 上的 degree distribution 為肥尾分布時，系統的相變會趨於連續[35]。
由於Q-state Potts model 具有如此多樣化的臨界行為，因此在使用不同的方 法探索相變理論時，Q-state Potts model 是一個很適合的模型。在這次的研究 中，我們使用二維鐵磁性無外加磁場的Q-state Potts model 作為研究的對象。當
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溫度𝑇 ≪ 𝑇𝑐時，晶格點上的Potts variable 傾向和其鄰近之格點有相同的數值，
此時〈|𝑚|〉也接近於 1；當𝑇 > 𝑇𝑐時，晶格點間的Potts variable 則無此關係，每 個格點上的Potts variable 會均勻隨機取1, 2, 3, … Q這些正整數中之任一數值，此 時〈|𝑚|〉會趨近於 0。此特性會隨著晶格大小𝐿的增加而更加明顯。
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