數學的進一步應用─探索托勒密定理及其應用

A

D

C

B

圖 1

老師可以下列方法引導學生證明托勒密定理：

A

D

C

B E

圖 2

先於對角線AC 加上 E 點使 ∠ADE =∠BDC （圖 2）。

然後，按下列步驟完成證明：

1. 證明ADE  BDC。

2. 以 AD、BC 及 BD 表示 AE。

3. 證明CDE  BDA。

4. 以 AB、AC、BD 及 CD 表示 AE。

5. 證明 (AB)(CD) + (BC)(AD) = (AC)(BD)

歸納推理

教師可讓學生分別繪畫不同大小的圓，在圓的周界上任選四 點，順序標示為 A、B、C、D，如圖 1。量度各長度 AB、BC、

CD、DA、AC 和 BD，然後驗證等式 (AB)(CD) + (BC)(AD) = (AC)(BD) 定理分析：充分條件

在任意的圓中，如果有一內接四邊形 ABCD （即四邊形 ABCD 的四個頂點 A、B、C、D 都是在圓周上），那麼，以 下的相等關係必定成立：

兩組對邊長度的乘積之和（即對邊長度相乘之後，

然後相加） 相等於兩條對角線長度的乘積（即對 角線長度相乘）

換言之，結論會為一個等式：等式的一方為一個乘積；另一 方為兩個乘積的和。

應用

當學生認識了托勒密定理以後，我們便可舉不同的例子幫助 學生瞭解托勒密定理的實用性。教師可先讓學生嘗試解決問 題和說出問題的不同解法，透過同學和教師的討論，學生作 出 自 己 的 解 題 策 略 。 當 然 ， 教 師 亦 可 利 用 例 如 Polya 波利亞^(II) 所建議的解決問題策略，先與學生探究未知和已

知資料的關係，設定計算或證明的步驟；教師可示範思考的 方向，讓學生完成他們能做到的計算和證明。

例一：在圖中，ABCD 是一圓內接四邊形。已知 AB = 13, BC = 20 及 AC = 21。若 AD、BD 及 CD 的長度分別為 2x, 5x 及5 13，求x 的值。

20

D

C B

A

5 13 13

21 2x

5x

圖 3 解題思路

教師可參考下列的步驟與學生探索和討論解決問題的方 向。

了解題目。圖 3 是一個圓內接四邊形，除了一邊 AD 和 對角線 BD 之外，其他的邊和對角線的長度都以實數表 示，是已知的數值。ABC 的三條邊都是以實數表示，

並沒有未知數；其他的三角形都有未知數 x 。現在要找 出 x 的值。

看着未知數 x。學生的已有知識對解題策略有決定性的 影響。

如果學生已懂得托勒密定理。兩組對邊長度的乘積之和

（對邊長度相乘之後，然後相加）相等於兩條對角線長 度的乘積（長度相乘）即時成立：

 

 

^{ }

20 2x 13 5 13 21 5x (1) (1) 是未知數 x 的一元一次方程，問題可解決。

如果學生未懂得托勒密定理。學生卻已認識三角形中的 正弦和餘弦定理，解題的思路便略有不同。

看着的未知數 x 出現在 ABD 的兩條邊上，而第三條邊 是已知的 13。如果能夠將三條邊連起來變成一個方程，

解法可能出現！

聯想已有的知識。在任意的三角形中，三條邊的關係似 乎可以有兩個在高中學習的定理來表達：正弦定理和餘 弦定理。利用一般的符號，我們有

正弦定理： R C c B b A

a   

sin sin

sin (2)

餘弦定理：a² = b² + c² – 2bc cos A (3) 選擇已有知識。比較 (2) 和 (3)，同時又回到圖 3 中的

ABD。(3) 似乎是較合適解決問題的選擇，因為 ABD 的三邊是 13，2x，和 5x，只要知道其中一隻角，便可 應用 (3) 來建立只有未知數 x 的方程，問題便可解決。

尋找最可行的角。先考慮 ABD。應先計算 ABD 中哪 一隻角呢？A？B？D？如何選取呢？在這三角形中，我 們似乎看不到更多的資料讓我們找到其中一隻角的值。

退而求其次，我們要借助其他的已知資料和如果有的 話，實際的數值來計算 ABD 中的角。

重看題目和圖3，ABC 具備已知的三邊：13、20 和 21。

由此，我們可以利用 (3) 來解出 ABC 的三隻角 A、B、

C。但是，這三隻角又與 ABD 的三隻角 A、B、D 何關 呢？再看看圖 3，兩三角形中的角 C 和角 D 相等 – 同 弓形內的圓周角相等！即 c = d（圖 4）。

20

D

C B

A

5 13 13

21 2x

5x

d

c

圖 4

因此，學生可以先求 c , 然後利用 d = c，解 x。

當然，我們亦應接受學生提供的其他的可行解法。同學 可討論各個不同的解，增強自己解決問題的能力。以下 是三個合理計算 x 的方法。

一題多解

解法1：托勒密定理

    _{20 2 13 5 13}

 

  _{21 5} 65 65 13

13

x x

x x

 





解法2：餘弦公式 在圖 4 的 ABC 中，

13² = 20² + 21² – 2(20)(21) cos c 即 169 = 400 + 441 – 840 cos c 即 840 cos c = 672

5 cos c = 4 (1)

在 ABD 中，13² = (2x)² + (5x)² – 2(2x)(5x) cos d 即 169 = 4x² + 25x² – 20x² cos d

即 20x² cos d = 29 x² – 169 (2) 由於同弓形內的圓周角相同，所以，c = d

即 cos c = cos d

(1)  20x² – (2)  5 得 80x² = 145x² – 845 即 65 x² = 845

x² = 13 所以， x =  13

因我們考慮邊長，所以 x = 13

解法 3：利用餘弦定理的另一解

在ABC 中，   

2 2 2

13 21 20 cosBAC 2 13 21  ⁵

13

BDC = BAC (同弓形內的圓周角) 在BCD 中，

 ²

 

²  

 

2

2

20 5 5 13 2 5 5 13 cos 400 25 325 50 13 5

13

x x BDC

x x

   

 

     13x210x3 130



x 13



13x 3



0 x 13 或 ³

 13 (捨去) 例二：黃金比

在圖中，ABCDE 是一正五邊形。若正五形的邊長為 1 及 AC = BE = CE = x，則 x 為黃金比的值。證明 5 1

x 2 。

E

D

C

B A 1

x x x

圖 5

解題思路

教師可參考下列的步驟與學生探索和討論解決問題的方 向。

了解題目。圖 5 是一個圓內接五邊形。除了對角線的長 度 x 之外，其他的邊都以實數 1 表示，是已知的數值。

但是，圖 5 中沒有一個圖形的邊是全部以實數表示的，

即每一個多邊形如三角形、四邊形等都有未知數 x。現 在要找出 x 的值。

看着未知數 x，聯想已有的知識。學生的已有知識對解 題策略有決定性的影響。

如果學生已懂得托勒密定理。明顯的圓內切四邊形應該 是 ABCE，因為它的兩組對邊長度和兩對角線不是 1 便 是 x 。利用兩組對邊長度的乘積之和與兩條對角線長度 的乘積可即時建立以下可解的方程：

        1 x  1 1  x x (1)

如果學生未懂得托勒密定理。假設學生卻已認識了 1. 初中的多邊形內角和公式、三角形的各性質等，和

高中的三角形正弦和餘弦定理，或 2. 初中的相似三角形概念和定理 解題的思路便略有不同。

1. 未知數 x 出現在 ABC （或 ABE、或 CDE）（圖 6）或 BCE（或 ACE）（圖 7）。ABC 的三條邊分別 是 1、1、x，而 BCE 的三條邊卻分別是 1、x、x。正 五角形的每一內角 = (5 – 2)  180  5 = 108，而各角 的度量分別根據等腰三角形性質計算，記錄在圖 6 和圖 7 中。

C

A B

36

36 108

x 1

1 圖 6

C

B E 36

72

72

x x

1

圖 7

顯然，利用三角形的正弦定理或餘弦定理，都應該可以 計算 x 吧。例如，在圖 6 中分別應用正弦定理和餘弦定 理，我們得

1 sin108 sin 36

x 

  (2)

和 x²  2 2cos108 (3)

在圖 7 中分別應用正弦定理和餘弦定理，我們得 1

sin 72 sin 36 x 

  (4)

和 x² 1 x²2 cos 72x  (5)

但一般中學生對有關三角函數的值只限於以小數表示，

而並未具備以無理數表達 sin 36、 cos 108 或 cos 72 等 數值的能力^(III)，所以，學生雖然看似可以利用正弦定 理和餘弦定理解決這黃金比問題^(IV) ，根據題目的要求，

只修讀高中數學課程的必修部分的學生是無能為力 的。

2. 未知數 x 出現在 ABC 的 邊 AC，其他兩邊為 1。

計算各角的度量後，圖 8 中所標示的角  全是 36。設 BE 交 AC 於 K（圖 9）。設 AK = t 。現希望由三角形相 似性質找到兩個未知數 x 和 t。

參考圖 9。KBC 是等腰三角形，所以，

KC = 1

所以， x = 1 + t (6)

明顯地，ABC AKB。所以，

AC：AB = AB：AK

即 ¹

1 x

t (7)

由 (6) 和 (7) 消去 t，我們得到只有 x 為未知數的方程 1

1 1

x

 x

 (8)

E

D

C

B

A 1

x x x

圖 8 3 2



 2



1 1

C

A  B 3



1

1

2

2

圖 9 t

 K

x

一題多解

解法 1：利用托勒密定理

由方程 (1)， x + 1 = x² 即 x²  x 1 0

1 1 4

x  2 因 x 是正，所以 x =

2 5 1

從上面的運算得知，同學可利用托勒密定理輕易找出黃金比 的值。

解法 2：利用相似三角形 由方程 (8)， ¹

1 1

x

 x



即 x²  x 1 0 ， 結果與解法 1 相同。

例三：証明恆等式 sin² + cos² = 1, 0   90^(V) 解題思路

教師可參考下列的步驟與學生探索和討論解決問題的方 向。

了解題目。要證明的恆等式具下列的特色：

恆等式的左方是兩個相同數值 sin  與 sin  及 cos  與 cos  的乘積的和，而右方可以看成一個相同數值 1 的 乘積

看着未知數 x，聯想已有的知識。學生的已有知識對解 題策略有決定性的影響。

如果學生已懂得托勒密定理。只要在圓內選擇一個內切 四邊形，使它的一對對邊是 sin  而另一對對邊是 cos ，同時，兩對角線的長度都是 1 便可以了。圖 10 的 ABCD 便是一個這樣的圓內切四邊形：圓的直徑是 1。

AC 和 BD 是兩直徑，所以，ABCD 是一長方形。設其中 一角 BAC 為 。

如果學生未懂得托勒密定理。學生可以在任何一本初中 的課本中找到定理 sin² + cos² = 1，0    90

的證明。

解法：利用托勒密定理

ABCD 為一圓內接長方形，而 AC 和 BD 均為該圓的直徑。

設AC = BD = 1 及 BAC = ，

則 ACD = BAC (錯角，AB // DC) BC = AC sin 

= sin 

同理，AD = sin  及 AB = CD = cos 。

利用托勒密定理，

(AD) (BC) + (AB) (CD) = (AC) (BD)  sin² + cos² = 1



D

C B

A

圖 10 活動：試證明畢氏定理。

參考資料

香港課程發展議會（1999）。《中學課程綱要 – 數學科 – 中 一至中五》。香港：政府印務局。

香港課程發展議會與香港考試及評核局（2007）。《數學教育 學習領域 – 數學課程及評估指引（中四至中六）》。香港：

政府物流服務署。

筆記 (I)

托勒密（約公元90 – 168 年）是古希臘一位舉足輕重的天文 學家、地理學家、光學家及數學家。基於當時古希臘人於天 文、測量及航海等領域之需要，托勒密編製了弦表，從而發 現美麗的托勒密定理。可參考以下文獻：蔡聰明。星空燦爛 的數學（II）– 托勒密定理。《數學傳播 24 卷》1 期。中央 研究院數學研究所。

網址：

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d241/24105.pdf 托勒密定理指出：在一圓內接四邊形上，兩對對邊長度之積 的和相等於對角線長度之積。（香港課程發展議會與香港考 試及評核局，2007, 頁 85）

根據維基百科，上述的定理只是狹義的托勒密定理。它的逆 定理也是成立的：若一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩 條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓。托勒密定理 實際上可以看做一種判定圓內接四邊形的方法。托勒密定理 是歐幾里得幾何學中的一個關於四邊形的定理。更多有關托 勒密定理和它的逆定理的證明方法可參考下列的網址：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%98%E5%8B%92%E5%

AF%86%E5%AE%9A%E7%90%86

(II)

可參考 Polya, G. (1990). How to Solve it: A New Aspect of Mathematical Method (2^nd ed.). London, England: Penguin.

(III)

因 sin 36 sin 90    54  cos54，設  = 18，ssin， 我們由 sin 2 cos3

利用倍角定理

sin 2A2sinAcosA和cos3A4cos³A3cosA 得 2sin cos  4cos³ 3cos

即 _{2 coss  cos}



_4cos²_{ 3}



即 cos 0 或 _2s



_{4 4 s}²



_{3 （因cos}²_{  1 s}²_）

即  90 或 4s²2s 1 0

即  90 或 2 4 16 1 5

2 4 4

s     

 



在這裏    18 90，和 ssin18為正，所以， 1 5 s  4

因此， 1 5

sin18

4

  

再利用基本的三角函數關係，我們可得到以下的結果：

cos18 1 sin 182

1 10 2 5 4

   

 

 ²

2

2

sin 36 2sin18 cos18

1 10 2 5 4

   



 

  

sin 36 1 10 2 5

 4 

2

cos 36 cos 2 18 1 2sin 18

1 5

4

   

  



 

(IV)

讓我們利用例二「解題思路」環節中所建立的方程 (2) 至 (5)

1 sin108 sin 36

x 

  (2)

2 2 2cos108

x    (3)

1 sin 72 sin 36

x 

  (4)

2 2

1 2 cos 72

x  x  x  (5)

和筆記 (III) 的三角函數結果計算 x，從而證明 5 1 x 2 。 我們首先處理方程 (2)、(4) 和 (5)，最後才考慮方程 (3)，亦

順道介紹處理無理數式的一些方法。

因 sin108 sin 72， 方程 (2) 和 (4) 等價， 所以由任一方 程，我們有

sin 72 sin 36

x 



2sin 36 cos 36 sin 36 2 cos 36 1 5

2

 

 

 

  由方程 (5)，

 

 

  

 

  1 2 cos 72

1 2sin18

4 2 1 5

4 1 5

2 1 5 1 5

4 1 5 2 1 5 1 5

2 x



 

  

  

   

  



 

現在考慮方程 (3)。

2 2 2 cos108 2 2 cos 72 2 2sin18

1 5

2 2 4

3 5 2

x   

  

  

   

 

設 x a b 5， a，b 為有理數 (6)

那麼， _x² _



_a²_5b²



_{2ab 5}

設 ² 5 ^{2 3}

a  b 2 (7)

和 2 ¹

ab 2 (8)

由 (8)， ¹ b 4

 a 將 ¹

b 4

 a 代入 (7)， ² 5₂ 3 16 2 a  a  所以， 16a⁴24a² 5 0

即 4t5 4 t 1 0，這裏 ta²

因為 a，b 都是有理數，所以 ^{2 1}

a  t 4，或 ¹ a 2

所以，(a , b) = ( 2 1 ,

2

1 ) 或 (a , b) = (–

2 1 , –

2 1 )

因為 x 為正，所以，(a , b) = ( 2 1 ,

2 1 )

所以，由 (6)， 1 1 1 5

2 2 5 2 x   

(V)

可用托勒密定理證明不同的三角恆等式。

例如：證明三角複角公式 sin



  



sin cos  cos sin 

設ABCD 為一圓內接四邊形，其中 AC 為直徑，而∠BAC =  及 DAC = ，0 < ,  < 90。

設 AC = 1，則 AB = cos ，BC = sin ，CD = sin  及 AD = cos 。

O

D C B

A  

根據托勒密定理，

(BD)(AC) = (AB)(CD) + (BC)(AD)

BD = cos  sin  + sin  cos  (1) 在ABD 中，根據正弦公式，

 

sin sin

BD AD

 ABD

   

 ^cos 

sin 90 DBC

 

  

 ^cos 

sin 90 DAC

 

  



^cos



sin 90 cos cos 1

 

 

 





BDsin



 



(2) 由 (1) 和 (2)，可得 sin



  



cos sin  sin cos 

同學可利用相同的原理證明更多的三角複角公式。

更多的有關利用托勒密定理證明三角函數公式，可參考蘇惠

玉。三角函數公式的托勒密方法。《HMP 通訊第四卷》第五

期。網址：http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm。

(同弓形內的圓周角)

在文檔中 School Mathematics Newsletter (SMN) Foreword (頁 47-71)