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正五邊形尺規作圖法探究活動

Euclid and Richmond

6. 正五邊形尺規作圖法探究活動

陳少泉

中學生接觸的各種正多邊形尺規作圖法中,常常令學生摸不 著頭腦的,必定是以下這個圓內接正五邊形作圖法了:

1. 以任意點 O 為圓心,以適當半徑作圓。過 O 作直徑 AB,

及作垂直於AB 的半徑 OC。

2. 找出 OB 的中點 M。以 B 為圓心,以 BO 為半徑作弧與 圓相交。兩相交點之連線與OB 的相交點為 M。

3. 以 M 為圓心,以 CM 為半徑作弧與 OA 相交。設相交點D。

4. CD 就是圓內接正五邊形的邊長。以 C 為圓心,以 CD 為半徑在圓周上標示出圓內接五邊形的一個頂點。重複

以標出的新點為圓心,以CD 為半徑在圓周上標示出五

邊形其餘的的三個頂點。

5. 以直線連接相鄰頂點得正五邊形,作圖完畢。

這方法記載於古希臘數學家及天文學家托勒密(Claudius Ptolemy,A.D.90 – A.D.168)的著作 Almagest 之中(Pedersen, 2010, pp. 56-57)。托勒密的方法正是《幾何原本》卷二命題 十 一 、 卷 十 三 命 題 九 和 卷 十 三 命 題 十 的 結 合 (Van Brummelen, 2009, pp. 72-74)。上述步驟2 至 3 採用了卷二命 題十一的黃金比線段作圖法,其中OC 與 OD 成黃金比。卷 十三命題九指出與半徑OC 成黃金比的 OD 是圓內接正十邊 形的邊長。卷十三命題十證明了圓內接正五邊形的邊長、圓 內接正十邊形的邊長和圓半徑有勾股數組的關係,從而得知 CD 是圓內接正五邊形的邊長。雖然我們可以使用中學數學 解釋以上命題,例如參考《幾何原本》以面積和畢氏定理證 明卷二命題十一和以相似三角形去證明卷十三命題十,但相 信不是中學生能容易理解的,課堂上亦沒有足夠時間去為托 勒密的方法作詳細的解釋。因此在中學階段不妨以這作圖法 作為數學欣賞、擴闊眼界、引起興趣或作為學生的專題研習 課題之用。

托勒密的方法是「圓內接」的情況。他研究的是弦長而不是 單純的正五邊形作圖(Elert, 1994),因此他的作圖法包含了 與外接圓半徑有關的幾何定理,即《幾何原本》卷十三命題 九和十,但這成為學生理解作圖法的障礙。若我們的挑戰只

是以尺規構作正五邊形(而非圓內接正五邊形),則不一定

需要這兩個命題,難度因而降低了,學生亦因此有機會較透 徹地了解整個方法。下文將介紹一個讓學生自己設計正五邊 形作圖法的探究活動。活動要求學生以二次公式解方程,因 此較適合在高中課堂裡使用。整個活動可分為三個部分:

活動一(了解正五邊形的黃金比*特性):

首先可讓學生探究正五邊形的邊長和對角線的比例。給學生 的問題可以是:

「設正五邊形ABCDE 對角線的長度為 a,邊長為 b。

另設對角線BD 及 CE 相交於 F。試以 a 和 b 表示 CFFE 的長度,然後找出 a : b。」

學生考慮上圖各角的大小後,應得知EFD 是等腰三角形。

因此得EF = b 及 CF = a  b。接著在找出 a : b 的過程中,學 生須考慮相似三角形及使用二次公式。例如考慮CFD 和

EFB,可得 a : b = b : (a  b)。設a

bx,得方程 x2  x 1 0。 學 生 應 能 解 出 5 1 1.618

2 a x b

    , 即 : 5 1:1 a b 2

 1.618 : 1。

* 黃金比的定義:一線段分為長短兩部分,若全線段比長線段等於長線

段比短線段,則稱長線段與短線段成黃金比(參考藍紀正、朱恩寬(譯),

2002, 卷 六 定 義 三 )。 由 此 定 義 可 計 算 出 長 線 段 與 短 線 段 之 比 是 5 1 :1

課堂進行到這裡是引入黃金比的好時機。部分學生可能認出 1.618 : 1 成黃金比。可先與學生分享黃金比的定義以及習慣 上我們以符號  (或 ,只是另一寫法)代表 5 1

2

 。介 紹黃金比可從幾何入手,因為學生對數式 a : b = b : (a  b) 或  : 1 = 1:(  1),甚至「長比短等於短比長減短」或許沒 有什麼感覺,但對數式的圖像版,即黃金矩形卻可能甚感興 趣。可向學生介紹黃金矩形是長闊比為  : 1 的矩形。若從 矩形分割出以矩形闊度為邊長的正方形,則餘下的矩形之長 闊比是1 : (  1)。從剛才的數式  : 1 = 1 : (  1) 得知大小 兩個矩形的比例相同*

黃金矩形的比例剛好容許以這種切去正方形的分割法生出 小一號的「自己」。教師更可進一步介紹重複這樣的分割後 產生的漂亮圖案。(見下圖)

* 黃金矩形亦可以此性質定義:若一矩形能分割為一個以矩形闊度為邊

長的正方形及一個和自身相似的小矩形,則該矩形是黃金矩形。

活動一讓學生得知正五邊形的對角線和邊長成黃金比,並使 用二次公式求得該比例的真確值為 5 12 :1。既然如此,只

要學生懂得構作 5 1

2

 ,就能繪畫成黃金比的線段,亦能自

行創作正五邊形的尺規作圖法了。

活動二(構作黃金比線段):

學生繪畫成黃金比的線段,關鍵在於 5 的構作。這時給學

生的挑戰可以是:

「給定長度為1 單位的線段,試以尺規構作長 5 單位 的線段,進而構作一對成黃金比的線段。」

學生可透過繪畫直角邊為1 和 2 單位的直角三角形來構作長

5 單位的線段。教師可考慮給予學生方格紙進行作圖,好

處是讓學生能集中思考比例的問題,不用花精神去進行繪畫 垂直線段的基本作圖。

若 要 以 上 述 直 角 三 角 形 構 作 黃 金 比 線 段 , 學 生 可 考 慮 2

: 1 5 1 2 :

1

5  

或 2

1 : 5 1 2 1

1 : 5

1 1 2 :

1

5  



  

  1

5 :

2 

 。上圖正好有長度為 5、1 和 2 的線段,容易組

合成 51:2和2: 51。後者2: 51似乎較易構作,方 法是以 P 為圓心,以 PQ 為半徑畫弧與 PR 相交於 S。

QR : SR =2: 51,成黃金比。

活動三(構作正五邊形): 最後的探究是

「利用在活動二構作的一對黃金比線段,以尺規構作正 五邊形。」

學生須自行結合正五邊形的黃金比性質和黃金比線段的作 圖法。教師可提示學生把正五邊形分拆成兩種不同的黃金三 角形,分別是邊長為1 : 1 :  和  :  : 1 的等腰三角形。

以下是其中一種可能的作圖法,以活動二的SR 和 QR 構作 正五邊形。

1. 一個較自然的處理是以 QR 為正五邊形的對角線,以 SR 為半徑,分別以Q 和 R 為圓心在 QR 上方作弧。兩弧的

相交點是五邊形的頂點,連同 Q 和 R 成為正五邊形的

三個頂點,即上圖的ABE。

2. 接續繪畫正五邊形下方的頂點,以 SR 為半徑,以 Q 為 圓心在QR 下方作弧。再以 QR 為半徑,以 R 為圓心在 QR 下方作弧與剛才的弧相交。

3. 類似地以 SR 為半徑,以 R 為圓心在 QR 下方作弧。再QR 為半徑,以 Q 為圓心在 QR 下方作弧與剛才的弧 相交。

4. 最後把各頂點連結,作圖完畢。

以上介紹的活動讓學生從圖形的性質及根式的數值自行想 出作圖方法,相信比跟著書本進行不明所以的作圖更有意 義。完成活動後學生應可自行讀懂一些互聯網上的正五邊形 作圖法,認出作圖法中包含了產生黃金比的 1: 2 : 5 直角三 角形。以上活動的方法並沒有指定正五邊形的邊長,若學生 仍有興趣,可加上「以給定線段為正五邊形的一邊」這條件,

讓學生試作正五邊形。

在互聯網搜索一下,可發現不同的正五邊形作圖法。各種方 法在簡潔及數學的美感上各有不同,例如H.W. Richmond 的方法步驟簡易而富美感,它巧妙地利用了與三角形角平分 線有關的比例關係,以及黃金三角形所衍生的直角三角形的 比例,有興趣的讀者可於網上找找看。

參考資料

藍紀正、朱恩寬(譯)(2002)。《歐幾里得.幾何原本》。台 灣:九章出版社(本書原本由陝西科學技術出版社於1990 年 出版)。

Elert, G. (1994, June 28). Ptolemy’s Table of Chords:

Trigonometry in the Second Century. Retrieved from http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml

Pedersen, O. (2010). A Survey of the Almagest: With Annotation and New Commentary by A. Jones. New York, NY: Springer.

Van Brummelen, G. (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. U.S.A.:

Princeton University Press.

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