文獻回顧

在 1980 年代以前，已經開始有文獻利用隨機的利率模型來計算資

產與負債的價值。但是，在保險市場中，卻大多僅考慮死亡率的變動。

自 1980 年代起開始出現考慮隨機利率的保險相關文獻，以下主要分 成兩個部分來討論：第一部分的文獻是採傳統的精算方法針對單一保 險契約作評價，並考慮隨機的利率模型；第二部分的文獻為在傳統的 精算方法下考慮隨機的利率模型，並對多張保單作評價，亦可推廣至 保險公司的負債或準備金之計算。由於保單準備金對保險公司的經營 具有重要的影響力，故成為監理機關、保險公司經營階層、股東和保 戶關心的重點之一，以下將對過去的文獻作一介紹。

(一) 利率─單一保單

Panjer and Bellhouse (1980)假設利率在隨機的情況下，利用動 差生成函數(Moment Generation Function)簡化其精算公式，並分 別對連續型和離散型模型建構一套精算的計算方法，文章中死亡 率採 1958 CSO 生命表(Commissioner's Standard Ordinary Mortality Table)，保單採用躉繳型終身險保單及 n 年期生命年金，故現金 流量只有死亡給付和生存年金。文獻最後計算出保單未來給付的 期望值及變異數。

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Panjer and Bellhouse (1981) 接續 Panjer and Bellhouse (1980) 的研究，與之前文獻不同的是該文獻的利率模型採一階和二階自 我回歸模型(Conditional Autoregressive Model)。且文章只考慮離 散模型，死亡率仍採 1958CSO 生命表，利用精算方法分別計算出 終身險、年金和確定年金(Annuity Certain)之期望值與變異數。

而 Beekman and Fuelling (1990) 則提出不同的看法，該篇 文獻最主要的貢獻在於以 Bowers et al. (1986) 對於年金商品未 來給付的期望值與標準差計算公式，並考慮隨機的利率及死亡率，

主要目的為建構計算終身壽險價格的模式，用以決定危險準備金 (contingency reserves)。其中隨機的利率為 Ornstein-Uhlenbeck 過 程以及標準布朗寧運動。死亡率假設為 Makeham’s law ，現金 流量不考慮費用。

(二) 利率─保單群組

Parker (1994) 提出一個方法：當保險契約數量趨近於無限大 時，在計算未來給付的平均現值的極限分配。Parker 認為如果知道每 張保險契約的平均成本之分配，對保險契約之定價與清償能力之評估 是相當有益的。保險契約選擇方面，Parker 採定期險保單之組合，並 考慮隨機利率至精算函數中，其中假設隨機利率遵循

Ornstein-Uhlenbeck 過程。該文獻之現金流量只有死亡給付，死亡率

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採用 The male ultimate rates of the CA 1980-82，文獻最後之結果為推 導出極限分配中保單平均成本之一階、二階級三階動差函數。

Parker (1996) 進行類似 Parker (1994) 的研究，與先前不同 的是，Parker(1996)的研究以一群相同的養老險保險契約。Parker (1996) 提出兩個逼近給付現值之極限分配的方法，第一個方法與 Parker (1994)相同，第二個方法為利用定期險與養老險之間的關係作逼近，

在模型中同樣假設未來壽命與利率是隨機的且死亡率和利率之模型 與 Parker (1994)的假設相同，該文獻之現金流量亦只有死亡給付，文 獻最後同樣推導出極限分配中保單平均成本之一階、二階級三階動差 函數。

Marceau and Gaillardetz (1999) 該文獻的主要貢獻為在隨機 利率模型和死亡率的假設下，計算出多張保險契約之準備金。Marceau and Gaillardetz 認為當保險契約數量不多時，保險契約價值主要由隨 機的現金流量來決定；而當保險契約數量趨近於無限大時，死亡風險 和利率風險對現金流量期望值的影響，前者則變得比較不重要。文獻 中 Marceau and Gaillardetz 使用兩種方法計算，第一種為同時考慮隨 機利率與死亡率，第二種僅考慮隨機利率。現金流量包括保費收入和 死亡給付等。但不考慮費用支出。並假設保戶之壽命是相互獨立的，

利率採用蒙地卡羅法(Monte Carlo method)模擬現金流量之分配。並考

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慮三種保險契約之組合：A (定期險，term insurance)、B (儲蓄險，

endowment insurance)、C (定期險與儲蓄險各半)。研究結果為組合 A 的收斂速度最慢，Marceau and Gaillardetz 認為定期險的保險契約，不 應保障期間較短而低估死亡率之影響，意即在定期險中死亡率與利率 的為一樣重要。

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