管制上限(upper control limit, UCL)，管制下限(lower control limit, LCL)和中心線 (central line, CL)：
控狀態的 ARL。
2.2 EWMA 管制圖
EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)管制圖最早由 Roberts (1959) 所提出，主要目的在於改善連串檢定法(Run Tests)在偵測製程平均偏移之能力。
( ) ( ) ( )
Crowder (1987a)針對計算單變量平均值的 EWMA 管制圖之 ARL 導出其疊代 的式子，如(6)式。
方程式為Fredholm 第 II 型積分方程式，故 Crowder (1987a)藉由線性代數等式系 統(systems of linear algebraic equations, SLAE)，使用高斯積分(Gaussian quadrature) 的方式，以求得ARL數值近似解，其步驟如下：
步驟三、由於高斯24 點不包含 0，所以計算
( )
24( )
1
0 1 1 j j
j
L x j f p w
λ = λ
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟×
⎝ ⎠
∑
，即可得起始值為0 的ARL。
以上即為Crowder (1987a)所提計算 EWMA 管制圖ARL近似值的數值方法，
而Crowder (1987b)則提供計算該ARL近似值方法的電腦程式碼，並利用電腦計算 出較為精準的ARL近似值，供使用者參考。
Lucas and Saccucci (1990)利用 Brook and Evans (1972)所提之馬可夫鏈
(Markov chain)觀念，將 EWMA 統計量視為連續狀態之馬可夫鏈，來求出連串長 度分配(run-length distribution)。
2.2.2 參數的選擇
Roberts (1959)，Crowder (1987a)和 Lucas and Saccucci (1987)均指出 EWMA 管制圖在平均數發生不同偏移大小之下，在較大偏移的製程下，建議使用較大的 參數λ ，而在較小偏移的製程下，建議使用較小的參數 λ ，方能達到較好的偵測 效率。
在平均數偏移製程的監控，Lucas and Saccucci (1987)提出一種監控策略，在 設定ARL0及平均數偏移量之後，找到最小的ARL1所對應的參數
λ
值及管制界限係 數L的組合，此時的參數λ 稱為最佳的 λ 。Crowder (1989)提出了平均數偏移製程在數種ARL0之下，製程平均數呈現不 同偏移大小，所對應最佳的λ 之圖形，也提供了在數種ARL0之下，各種不同參數
λ 對管制界限係數L的圖形。
以上兩篇文獻可以讓品管工程師在使用EWMA 管制圖來監控製程平均數偏 移時，如何選擇正確的參數，以做有效的監控。
2.3 工具汰換策略
Duncan (1986)提出的允收管制圖(acceptance control chart)，用於製程平均數在 一個小範圍中偏移的監控。Steiner and Wesolowsky (1994)定義允收管制圖的型一
錯誤(type I error)和型二錯誤(type II error)。型一錯誤定義為產品品質特性是可接 受的，但是允收管制圖卻做出拒絕此產品的錯誤判斷，其發生之錯誤風險為
α
， 亦稱為生產者風險(producer’s risk)；而型二錯誤定義為產品品質特性是不可接受 的，允收管制圖卻接受此產品，其發生之錯誤風險為β ，亦稱為消費者風險 (consumer’s risk)。Wu (1998)提出另一種適應允收管制圖(adaptive acceptance control chart, AACC)，將其應用在工具磨損的製程上，目的在工具持續磨損情況下，使用 AACC 監控此種製程，指出何時應該汰換工具，提供給品管工程師一個監控方法。AACC 採用變動的抽樣樣本數，當製程平均數距離規格界限甚遠時，抽樣的樣本數不用 太多，以達到低成本的目標；只有當製程平均數越來越接近規格界限時，抽樣的 樣本數必須變多，才不會造成過晚做工具汰換，避免不良率的增加，以達到高品 質的目標。另外，AACC 還採用變動的管制界限，同時考慮了
α
和β ，創出一個 變動管制界限，在α
和β 兩種準則中取得一個最佳折衷的辦法，盡量降低α
跟β ， 以做正確的監控。Quesenberry (1988)提出工具磨損速率已知下，在一個工具壽命區間上，可以 藉由迴歸分析方法，將此區間建立一個適當的模型，提出三種補償增加量
(compensating increment)，分別寫出期望值、變異數跟期望均方差(expected mean squared error, EMS)，推導出製程控制的最佳批量樣本數，並比較三種補償增加量 的效率，指出考慮量測時的誤差所產生的成分變異(gauge variability)，分批配置 適當的模型，並計算出觀察值的均方根(root observed mean square, ROMS)，建立 管制界限，並找出離群值。
製程能力指標(Process Capability Indices, PCI)為可以用來評估製程能力好壞 的指標，兼具管制及評估標準之雙重功能。在實際製程中，有些變異是無法避免 的，PCI 提供的資訊可以用來降低製程變異以及控制製程平均達到規格中心的位 置，於是許多PCI 的式子逐漸被發展出來，Juran (1974)提出Cp之後，Kane (1986)、
Chan et al. (1988)及 Pearn et al. (1992)接續提出Cpk、CPU、CPL、Cpm及Cpmk，數種 PCI 的定義如下：
( )
2( )
2( )
2其中USL(upper specification limit)為規格上限，LSL(lower specification limit)為規 格下限，μ 為製程平均數，
σ
為製程標準差，T為製程目標值。Pearn et al. (2006)、Pearn and Hsu (2007)和 Pearn et al. (2007)分別將製程能力 指標Cpk、Cpmk和CPU、CPL應用在監控工具磨損製程上面，指出在監控此種製程
可藉由電腦統計軟體R，直接載入套件 “spc”，輸入適當的指令及其參數，即可 迅速地得到很精準的 ARL 或管制界限係數 L。
2.5 模型選取準則
對於欲配適的模型參數個數不同，Akaike (1974)最早將參數個數一併考慮，
提出了AIC (Akaike Information Criterion)，其定義如下：
ˆ
2Akaike (1978)提出 BIC (Bayesian Information Criterion)，其定義如下：
ˆ
2Schwartz (1978)提出 SIC (Schwartz Information Criterion)，其定義如下：
ˆ
2log log
SIC
=
n σε+
m n (11) Hurvich and Tsai (1989)提出 AICc (Bias-Corrected Akaike InformationCriterion)，其定義如下： Sepulveda (1998)提出 WIC (Weighted-Average Information Criterion)，一併考慮了 AICc 和 BIC 準則，給予不同的權重以擷取兩準則的優點，其定義如下：
ˆ
2 SBIC，但為了跟 Wu and Sepulveda (1998)所提出的式子相對應，我們仍採用此篇 文獻所寫的SIC 跟 BIC 式子。我們常用估計誤差的方法，如均方根誤差RMSE (root mean squared error)和平 均絕對誤差MAE (mean absolute error)，亦可拿來做為模型選擇的依據，選取方法 一樣是以最小值所對應的模型為較合適的模型，其定義分別是(14)式和(15)式。