監控線性趨勢製程之研究

國

立

交

通

大

學

 

統 計 學 研 究 所

 

碩

士

論

文

 

 

 

 

 

監控線性趨勢製程之研究

Monitoring Processes with Linear Trend

研 究 生：陳清豪

指導教授：洪志真 博士

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

監控線性趨勢製程之研究

Monitoring Processes with Linear Trend

研  究  生：陳清豪      Student：Ching-Hao Chen

指導教授：洪志真  博士      Advisor：Dr. Jyh-Jen Horng Shiau

國  立  交  通  大  學 

統  計  學  研  究  所 

碩  士  論  文 

 

A Thesis

Submitted to Institute of Statistics

College of Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Statistics

June 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

 

 

監控線性趨勢製程之研究

學生：陳清豪 指導教授：洪志真 博士

國立交通大學理學院

統計學研究所

摘 要

近年來，在製造工業界裡，某些製程可能會因為工具磨損、操作員疲勞、原

料劣化等因素，導致製程呈現某種趨勢。然而此現象是無法避免的，我們必須把

造成此種趨勢的原因視為機遇原因，並非可歸屬原因，所以若使用一般的管制圖

來監控，會太早出現製程失控的假警報，導致不必要的成本增加。

目前已有多位研究學者提出了許多有關工具磨損製程的監控計劃，針對此種

製程訂出了數種不同的工具汰換策略。然而現今的生產過程逐漸邁向自動化，對

產品的要求也越來越高，在原本正常的趨勢製程裡，可能會因為某種可歸屬原

因，例如不正常的工具汰換、換新操作員、異常的原料更換等因素，而導致製程

發生了異常線性偏移的情況。本研究著重於管制圖在此種製程的偵測力，計算出

Shewhart 和 EWMA 兩種管制圖在不同偏移程度下的平均連串長度，並比較這兩

種管制圖的偵測效率，進而找出一套有效的監控計劃，供業界在監控此種製程時

作為參考。

在偵測出製程偏移後，最關心的往往是此偏移製程的可歸屬原因為何，於是

本論文也針對此問題做了深入的探討。利用模型選擇方式來找出此偏移製程的模

型，推論何種參數發生了偏移，進而找出可歸屬原因。近年來已有多位學者提出

許多不同的選取準則來選擇模型，這些模型選取準則各有其適用性，因此本研究

在眾多準則中，找出一套較適用於我們問題的準則，並分析其選取正確率，供業

界在處理此種異常線性偏移資料的參考。

關鍵字：線性趨勢製程、工具磨損製程、舒華特管制圖、指數加權移動平均管制

圖、模型選取準則

Monitoring Processes with Linear Trend

Student：Ching-Hao Chen

Advisor：Dr. Jyh-Jen Horng Shiau

Institute of Statistics

National Chiao Tung University

Abstract

In many manufacturing processes, it is fairly common that the quality

characteristic of interest exhibits a trend due to, say, tool wearing, material

replenishing, machinery fatigue, etc. Unfortunately, this deteriorating trend is

inevitable and is part of the system. Take tool wearing as an illustrative example: as

the machining operation continues, tools wear gradually, which deteriorates the quality

of the product/process and may eventually cause the product items out of specification.

Hence, a proper control on tool wearing is necessary. Most of the tool-wear control

focus on tool replacement, trying to set a policy to replace the tool at appropriate times

that is cost-effective while keeping product items in spec.

In this thesis, we study controlling processes with linear trend from the aspect of

statistical process control (SPC) and focus on Phase II process monitoring. The main

objective of SPC process monitoring is to keep the process in statistical control, which

can be achieved by using control charts to detect process shifts and then find/eliminate

the corresponding assignable causes. Since the trend is inevitable and systematic, it

should be viewed as a common cause of process variation instead of as an assignable

cause. Thus, when implementing a control chart for such processes, it is necessary to

adjust charts for the linear trend to avoid unwanted out-of-control signals due to the

trend.

Assume the in-control linear trend is available. We first adjust the quality

characteristic by this in-control linear trend and then apply the ordinary Shewhart chart

and EWMA chart on the adjusted quality characteristic to monitor the process. We

compute and compare the average run length (ARL) of these two control charts for

various shift sizes of the intercept and/or slope. It is well known that the Shewhart

chart is good for detecting large shifts while the EWMA chart is more sensitive to

small shifts. By computing the range of the shifts for which the EWMA chart with the

smoothing parameter has a better detecting power in terms of the ARL than the

Shewnart chart, we provide a chart that can help engineers to choose between the two

charts, if they know roughly where the process shifts might be. Moreover, when a

process shift is detected by the chart, for diagnosis purpose, we provide a model

selection technique to help engineers to determine whether the shift is on intercept or

slope or both. Finally, we illustrate the applicability and effectiveness of the proposed

scheme with a real-life tool-wear example.

Keywords: linear trend process, tool wear process, Shewhart control chart, EWMA

control chart, model selection criteria

誌 謝

本論文能順利完成，由衷地感謝老師 洪志真教授這兩年來細心地指導與諄諄

教誨。在論文研究期間，老師總是不厭其煩地悉心指正，

鉅細靡遺

地將論文中的

錯誤挑出，一再地批閱及修改，讓學生學習到嚴謹的研究態度，更學到處事上必

備的耐心和細心，使學生獲益良多。老師對學生的照顧及付出，點滴在心。師恩

浩瀚，永銘於心。

此外還要感謝口試委員 陳志榮老師、 曾勝滄老師和 黃榮臣老師於口試過程

中，以各自的專業給予本論文最實際、可行的建議，使得本論文更加嚴謹與完備，

在此致上最誠摰的謝意。

在就讀的這兩年間，感謝博士班 侑峻學長和 家鈴學姐在課業及論文上的指

導。感謝同窗好友和憲、銘弘和世賢在課業上相互勉勵、相互學習討論，在生活

中也給予無限地協助與歡笑。也要感謝大學好友逢迪、銘鴻、美榆和政娜，一直

陪伴著我，一起聊天，一起出遊，謝謝你們帶給我無限歡笑的回憶。有了你們的

陪伴，讓我能順利地渡過這段艱辛的研究歲月，希望大家往後的日子都能夠一帆

風順。

最後，更感謝的是我最親愛的父母，總是不辭辛勞，提供我不虞匱乏的生活。

也要感謝我的姐姐，即使工作再忙、再累，也願意陪我聊天，分享生活上的點點

滴滴。在求學生涯這幾年，家人無限的愛和付出，給了我最大的幫助及支持，感

謝家人貼心的關懷及陪伴，讓我能專心致力於課業學習及論文寫作。謹將此論文

獻給我最摰愛的家人。

陳清豪 謹誌於

國立交通大學統計學研究所

中華民國九十九年六月

目 錄

摘 要 ... i

Abstract ...ii

誌 謝 ...iii

目 錄 ... iv

圖 目 錄 ... vi

表 目 錄 ... vi

附錄A 目錄 ...vii

附錄B 目錄 ...vii

附錄C 目錄 ...vii

第一章

緒論... 1

1.1

研究背景

...1

1.2

研究動機與目的

...2

1.3

研究架構

...3

第二章

文獻回顧... 4

2.1 Shewhart管制圖 ...4

2.1.1

一般ARL的計算方法 ...4

2.2 EWMA管制圖 ...5

2.2.1 ARL的數值計算方法 ...6

2.2.2

參數的選擇

...7

2.3

工具汰換策略

...7

2.4 R套件-spc...9

2.5

模型選取準則

...10

第三章

管制圖監控計劃... 12

3.1

建立模型

...12

3.2 Shewhart管制圖 ...12

3.2.1

推導過程

...13

3.2.2

結果分析

...14

3.3 EWMA管制圖 ...16

3.3.1

管制界限之選擇

...17

3.3.2

管制界限係數 L 之選擇 ...17

3.3.3

模擬方法

...18

3.3.4

模擬結果

...20

3.3.5

平滑參數λ之選擇 ...20

3.4

兩種管制圖之比較

...21

3.5

偏移參數大小的界定

...22

3.6

小結

...23

第四章

模型選取與診斷... 25

4.1

模型選取準則之選用

...25

4.1.1

選用方法

...26

4.1.2

各模型選取準則之比較分析

...27

4.2 WIC模擬過程 ...28

4.2.1

模擬結果分析

...29

4.3

小結

...30

第五章

應用實例分析... 32

5.1

實例介紹

...32

5.2

參數估計值

...33

5.2.1

單一觀察值的Shewhart管制圖介紹 ...33

5.2.2

估計方法

...34

5.3

監控計畫

...35

5.4

模型選取

...37

第六章

結論與未來展望... 39

6.1

結論

...39

6.2

未來展望

...40

參考文獻 ... 41

附錄A ... 43

附錄B ... 45

附錄C ... 56

圖 目 錄

圖

1 趨勢製程的範例 ...2

圖

2 偏移參數(

δ δ

₁

,

₂

)同號時的

β

_t

比較

...15

圖

3 截距偏移量(

δ

₁

)所對應之

ARL 值 ... 16

₁

圖

4 斜率偏移量(

δ

₂

)所對應之

ARL 值... 16

₁

圖

5 截距和斜率偏移量(

δ δ

₁

,

₂

)所對應之

ARL 值(左)及小偏移參數時之放大圖(右)... 16

₁

圖

6 不同EWMA管制圖參數

λ 及

ARL 所對應之管制界限係數 L 值... 18

₀

圖

7

δ

₁

所對應最佳

λ 值之曲線 ...19

圖

8 常用參數

λ 之下，兩種管制圖相近

ARL 的偏移參數(

₁

δ δ

₁

,

₂

) ...23

圖

9 選擇較佳的監控計劃流程圖 ...23

圖

10 鋁蓋高度量測值之趨勢圖 ...33

圖

11 第一階段的Shewhart管制圖 ...35

圖

12 第二階段的Shewhart管制圖 ...36

圖

13 第二階段的EWMA管制圖 ...37

表 目 錄

表

1 不同偏移參數(

δ δ

₁

,

₂

)所對應的

ARL ... 15

₁

表

2 各準則的整體選取正確率表格之標準差 ...26

表

3 AIC, AICc及SIC三個準則的整體分數...28

表

4 已知或未知偏移程度大小下的最高整體分數所對應之權重 ...30

表

5 鋁蓋高度之量測值 ...32

附錄 A 目錄

A.1 高斯數值積分節點和權重的取法 ...43

A.2 R package “spc”程式xewma.crit及xewma.arl用法說明...43

附錄 B 目錄

附圖B.1 不同偏移參數

δ

₂

下的 q ( t )分佈圖形...45

附圖B.2 未知製程偏移程度下，不同權重的WIC準則之整體分數...53

附圖B.3 已知製程會呈現小偏移，不同權重的WIC準則之整體分數...54

附圖B.4 已知製程會呈現大偏移，不同權重的WIC準則之整體分數...55

附錄 C 目錄

附表C.1 截距偏移下，由電腦套件指令所得的

ARL 值 ... 56

₁

附表C.2 電腦模擬一百萬次截距偏移下估計的

ARL 及其標準誤差 ... 57

₁

附表C.3 電腦模擬一百萬次斜率偏移下估計的

ARL ... 58

₁

附表C.4 電腦模擬一百萬次截距與斜率皆偏移下估計的

ARL ... 59

₁

附表C.5 EWMA管制圖在三種偏移下，選取較佳的

λ 所得到的

ARL ... 69

₁

附表C.6 Shewhart管制圖在三種偏移製程下，所算出的

ARL 理論值 ... 70

₁

附表C.7 優化EWMA管制圖和Shewhart管制圖之

ARL 比值 ... 70

₁

附表C.8 EWMA管制圖和Shewhart管制圖之

ARL 比值 ... 71

₁

附表C.9

2 adj R

之模型選取正確率

...73

附表C.10 BIC之模型選取正確率...75

附表C.11 AIC之模型選取正確率...77

附表C.12 AICc之模型選取正確率...79

附表C.13 SIC之模型選取正確率 ...81

附表C.14 MAE之模型選取正確率...83

附表C.15 在不同樣本數下，不同權重的WIC準則之全距分數...85

附表C.16 在不同樣本數下，不同權重的WIC準則之整體分數...85

附表C.17 最高整體分數所對應權重的WIC之模型選取正確率...86

第一章 緒論

1.1 研究背景

現今不管是工業界還是科技業都十分重視產品的良率，每一個不良品對公司

來說都是成本上的浪費。為了能以最低的成本來創造最高的利潤，因此站在公司

的立場來說，當然是希望可以在最短的時間內找出錯誤的發生，以減少成本的浪

費。對於誤差的要求也較嚴格以提高良率，因此對於品質管制十分重視。

在任何生產的製程中，不論它被設計或維持得多好，總會有一些自然的變異

存在，例如環境因素、機器本身特性等；這種自然的變異通常被稱為機遇原因的

變異(chance causes of variation)。另外還有一種變異有時也會出現在製程上，這種

變異常常會導致產品品質不能達到想要的水準，例如不良的材料、不當的機器操

作等；這些不是由機遇原因產生的變異常被稱為可歸屬原因(assignable causes)的

變異。另外，品管專家

Deming 博士將機遇原因稱為一般原因(common causes)，

稱可歸屬原因為特殊原因(special causes)。一個只存在機遇原因的製程稱為在統計

管制下(in statistical control)，而製程若產生可歸屬原因的話，則被稱之為失控(out

of control)。

就品質管制而言，統計製程管制(Statistical Process Control，簡稱 SPC)一直是

個十分重要的課題，希望能迅速偵測出可歸屬原因所造成的偏移，而目前管制圖

(control charts)是最常用來監控製程的工具。當可歸屬原因的變異出現時，管制圖

必須能盡快偵測出來；即管制圖上所描的點會落在管制界線外，發出警訊使工程

人員能在第一時間點查出問題的根本原因(root cause)，並做出修正動作，盡快讓

製程恢復到原本的管制狀態以減少不合格產品。但單憑管制圖本身一般無法查出

根本原因所在，也無法做出修正的動作，這都需要工程人員的經驗。後續的這些

動作我們稱為

OCAP (out of control action plan)，管制圖一定要有 OCAP 的配合，

才能成功。

1.2 研究動機與目的

在製造工業界裡，某些製程可能會因為工具磨損(tool wearing)、操作員疲勞、

原料劣化等因素，導致製程呈現某種趨勢(trend)，圖 1 即為趨勢製程的範例。

 

圖

1 趨勢製程的範例

對某些趨勢製程而言，呈現趨勢現象是正常的。然而這種現象並無法避免，

此時我們必須把造成此種趨勢的原因視為機遇原因，而非可歸屬原因。若使用一

般的管制圖來監控，會太早出現製程失控的錯誤訊號，導致不必要的成本增加。

在線性趨勢的製程裡，一般較常見的是工具磨損製程。由於有些機器設備持

續運轉製造產品，工具會逐漸產生磨損，這種現象通常發生於生產過程中，包含

有車床、鑽床、銑床等製程。在此種工具磨損的製程裡，產品的品質特性(quality

characteristics)會隨著時間出現某種趨勢，然而這種現象是無法避免的，因此從製

程一開始就必須做有效地監控。當工具磨損到一定程度，導致產品的品質特性靠

近或超出預定的規格界限時，就需要進行工具汰換的動作，以維持產品的品質。

從工廠生產出來的產品品質，必須要滿足消費者的要求，過早做工具汰換會

增加生產的成本；反之，太晚做工具汰換，則會導致不良的產品品質，因此，如

何才能找出最佳工具汰換的時間點，我們稱之為工具汰換策略(tool replacement

strategy)。在工具磨損製程裡，一定要撘配一套良好的工具汰換策略，才能節省

成本並維持產品的品質。

由於現今工業及科技業，對於產品的要求越來越嚴格，在原本正常的趨勢製

程裡，可能會因為某種可歸屬原因，例如不正常的工具汰換、換新操作員、異常

的原料更換等因素，而導致製程發生了異常線性偏移的情況，此時，品管工程師

該如何制定一套良好的監控計劃來監控此種製程，儼然成為一個重要的議題。

標準的管制圖用法包含兩個不同的階段有著不同的目標，分為第一階段

(phase I)和第二階段(phase II)。在第一階段中，主要目標是分析歷史製程的資料，

並建立試驗的管制界限(trial control limits)以檢測這段時間內製程是否有失控，快

速偵測製程變異，進一步了解變異來源，以確保製程穩定。若變異是可歸屬原因

即可將該組資料去除，去除後由剩下的穩定資料可得到在穩定狀態之下的製程參

數。第二階段則是強調製程的監控(process monitoring)，採用第一階段得到的製程

參數估計值，建立管制界限上、下限來進行線上監控製程，而平均連串長度

(average run length, ARL)則是用來評估第二階段製程表現的有效基礎。

本文著重於第二階段線上監控製程，將深入探討線性趨勢製程之監控，計算

出

Shewhart 管制圖和 EWMA 管制圖的 ARL，並將兩種管制圖的偵測力做比較，

以及如何制定一套良好的監控計劃，將其應用在監控此種製程上。另外，在偵測

出製程已發生偏移後，如何利用這些異常偏移的資料來進行模型選擇，以判斷出

此製程可能是哪些參數發生異常偏移，進而提供值得參考的資訊給工程師調整製

程。

1.3 研究架構

第一章敘述本篇論文的前言及研究動機。第二章主要探討許多學者提出監控

趨勢製程的方法以及模型選取準則的相關文獻。第三章計算出

Shewhart 和 EWMA

管制圖在監控線性趨勢製程的

ARL

，並針對這兩種管制圖之偵測力作比較，進而

提出一個較佳的監控計劃。第四章提出一個新的模型選取準則，應用於此種異常

偏移製程之資料分析上。第五章利用一個有關於柴油引擎內部連結桿的實例，來

說明並驗證前兩章所提出來的方法。第六章提出本文的結論和未來展望。

第二章 文獻回顧

2.1 Shewhart 管制圖

就生產者而言，無非希望所有的產品都具有好品質；為確保產品之品質，品

質管制即為達到此目標的途徑之一。在

1920 年代，Shewhart 於美國貝爾實驗室

率先提出管制圖的操作原理，因用法簡單、效果顯著且應用範圍廣，可用來監控

品質特性之量測值隨著時間變化的情形，便成為一種廣泛使用的製程管制工具。

其基本的假設是在資料為獨立常態分配狀態下來進行管制。主要的管制參數包括

管制上限(upper control limit, UCL)，管制下限(lower control limit, LCL)和中心線

(central line, CL)：

X X X X X UCL L CL LCL L

μ

σ

μ

μ

σ

= + ⎧ ⎪ ₌ ⎨ ⎪ _{= −} ⎩

(1)

其中

μ 為製程品質特性

X

X

的期望值，

σ 為標準差，

X

L

為管制界限距離平均數的

單位標準差倍數。通常

L

會設定為

3，在

L=3

時，管制界限上限為

UCL

=

μ

_X

+

3

σ

_X

，

管制界限下限為

LCL

=

μ

_X

−

3

σ

_X

。所以資料落在管制界限內的機率為

99.73%，而

落在管制界限外的機率為

0.27%。當資料落在管制界限外時，我們即認定該製程

出現異狀。

2.1.1 一般 ARL 的計算方法

為了顯現出管制圖的績效，我們使用 ARL 來評估，ARL 是指製程出現失控點

所需要的平均樣本點數。假設任一點超過管制界限的機率皆為

p

，若製程的觀察

值彼此獨立且有相同分配，則對任一管制圖，

ARL

1

p

=

，即為幾何分配之期望值。

當製程處於管制狀態時，ARL 是越大越好，可以減少因錯誤警訊所造成的檢

測成本；當製程處在失控狀態時，ARL 則是越小越好，以便能快速偵測出製程平

控狀態的 ARL。

2.2 EWMA 管制圖

EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)管制圖最早由 Roberts (1959)

所提出，主要目的在於改善連串檢定法(Run Tests)在偵測製程平均偏移之能力。

其觀念是結合過去的資料和現在的資料並給予不同的權數，由於權數對過去資料

呈現指數遞減的形式，故當時稱為幾何移動平均管制圖(geometric moving average

control chart)。假設觀察值

X

t

為獨立隨機變數，其變異數為

2

σ ，令

W

_t

代表在時間

t

時

EWMA 管制圖的統計量，定義

(

1

)

1, 1, 2,3,... t t t W =

λ

X + −

λ

W₋ t=

(2)

其中參數

λ 稱為平滑參數，並滿足

0< ≤

λ

1

的條件，而初始值

W

₀

通常定為目標值。

主要的管制參數包括管制上限 UCL，管制下限 LCL 和中心線 CL，如下列所示：

(

)

(

)

2 2

1 1

2

,

1, 2,...

1 1

2

t X X t X

UCL

L

CL

t

LCL

L

λ

μ

σ

λ

λ

μ

λ

μ

σ

λ

λ

⎧

_⎡

_⎤

=

+

− −

⎪

₋

_⎣

_⎦

⎪⎪

₌

₌

⎨

⎪

⎪

₌

₋

⎡

_{− −}

⎤

⎣

⎦

⎪

−

⎩

(3)

其中

μ 為製程期望值，

X

L

為管制界限係數。在(3)式中，當

t

逼近無窮大時，

(

)

2 1 1 t

λ

⎡ _{− −} ⎤ ⎣ ⎦

項會逼近

1，而這就表示在過了幾個時期後，管制界限會達到穩定狀

態，如下：

2

2

X X X

UCL

L

CL

LCL

L

λ

μ

σ

λ

μ

λ

μ

σ

λ

⎧

=

+

⎪

₋

⎪⎪

₌

⎨

⎪

⎪

₌

₋

⎪

−

⎩

(4)

我們將

W

t−₁

用(2)式的定義代入原式右邊，經過不斷地遞迴之後，可得到

(

)

(

)

1 0 0

1

1

t i t t t i i

W

λ

λ

X

λ

W

− − =

=

∑

−

+ −

，權數

λ

(1

−

λ

)

i

會隨著樣本的期數增加而依幾何分配

的機率減少；而權數的總和為

1，因為

(

) (

)

(

₍

)

_{) (}

)

1 0

1 1

1

1

1

1

1 1

t t i t t i

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

− =

⎡

_{− −}

⎤

−

+ −

=

⎢

⎥

+ −

=

− −

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

(5)

假如

λ

=0.2

，權數分配到目前的樣本平均值為

0.2，而權數分派到之前的觀察值

分別為

0.16，0.128，0.1024，依此類推，如果用一條平滑曲線連接時，這些權數

會依指數分配的密度函數而下降。當

λ 越大時，則 EWMA 管制圖的統計量

W

t

受

到之前的資料的影響就越小；當

λ

=1

時，EWMA 管制圖就相當於 Shewhart 管制

圖。

2.2.1 ARL 的數值計算方法

Crowder (1987a)針對計算單變量平均值的 EWMA 管制圖之 ARL 導出其疊代

的式子，如(6)式。

( )

1 1 UCL

( )

(

1

)

LCL x u L u L x f

λ

dx

λ

λ

− − ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

(6)

其中

L u

( )

代表

EWMA 管制圖統計量之起始值是

u

時的

ARL

，

UCL

和

LCL

分別為

管制界限上、下限，

λ 代表 EWMA 管制圖的權重，

f

( )

⋅

為樣本的分配。由於此

方程式為

Fredholm 第 II 型積分方程式，故 Crowder (1987a)藉由線性代數等式系

統(systems of linear algebraic equations, SLAE)，使用高斯積分(Gaussian quadrature)

的方式，以求得

ARL

數值近似解，其步驟如下：

步驟一、設定高斯積分的節點數等於

24，並將(4)式中

1 UCL

( )

(

1

)

LCL x u L x f

λ

dx

λ

λ

− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

轉型成

Ax

，其中

A i j

( )

,

1

f

p

j

(

1

λ

)

p w

i i

λ

λ

− −

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

，

{

p p1, 2,...,p24

}

代表分割

[

LCL UCL,

]

間的

24 個節點，

{

w w₁, ₂,...,w₂₄

}

代表此

24 個節點的權重，(節

點與權重的取法可參考 附錄A.1)，

x

為

24 1

×

之

ARL

向量，其第

i

個元素

( )

( )

i x i =L p

，即起始值為

p

_i

的

ARL

。所以(6)式可以轉換成

x= +v Ax

，其

中

v

為

24 1

×

且元素為

1 的向量。

步驟二、利用三角分解法(triangular decomposition)求出

(

A I x−

)

= −v

中的

x

。

步驟三、由於高斯

24 點不包含 0，所以計算

( )

24

( )

1 1 0 1 j j j p L x j f w

λ

=

λ

⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟}× ⎝ ⎠

∑

，即可

得起始值為

0 的

ARL

。

以上即為

Crowder (1987a)所提計算 EWMA 管制圖

ARL

近似值的數值方法，

而

Crowder (1987b)則提供計算該

ARL

近似值方法的電腦程式碼，並利用電腦計算

出較為精準的

ARL

近似值，供使用者參考。

Lucas and Saccucci (1990)利用 Brook and Evans (1972)所提之馬可夫鏈

(Markov chain)觀念，將 EWMA 統計量視為連續狀態之馬可夫鏈，來求出連串長

度分配(run-length distribution)。

2.2.2 參數的選擇

Roberts (1959)，Crowder (1987a)和 Lucas and Saccucci (1987)均指出 EWMA

管制圖在平均數發生不同偏移大小之下，在較大偏移的製程下，建議使用較大的

參數

λ ，而在較小偏移的製程下，建議使用較小的參數 λ ，方能達到較好的偵測

效率。

在平均數偏移製程的監控，Lucas and Saccucci (1987)提出一種監控策略，在

設定

ARL

₀

及平均數偏移量之後，找到最小的

ARL

₁

所對應的參數

λ

值及管制界限係

數

L

的組合，此時的參數

λ 稱為最佳的 λ 。

Crowder (1989)提出了平均數偏移製程在數種

ARL

₀

之下，製程平均數呈現不

同偏移大小，所對應最佳的

λ 之圖形，也提供了在數種

ARL

₀

之下，各種不同參數

λ 對管制界限係數

L

的圖形。

以上兩篇文獻可以讓品管工程師在使用

EWMA 管制圖來監控製程平均數偏

移時，如何選擇正確的參數，以做有效的監控。

2.3 工具汰換策略

Duncan (1986)提出的允收管制圖(acceptance control chart)，用於製程平均數在

一個小範圍中偏移的監控。Steiner and Wesolowsky (1994)定義允收管制圖的型一

錯誤(type I error)和型二錯誤(type II error)。型一錯誤定義為產品品質特性是可接

受的，但是允收管制圖卻做出拒絕此產品的錯誤判斷，其發生之錯誤風險為α

，

亦稱為生產者風險(producer’s risk)；而型二錯誤定義為產品品質特性是不可接受

的，允收管制圖卻接受此產品，其發生之錯誤風險為

β ，亦稱為消費者風險

(consumer’s risk)。

Wu (1998)提出另一種適應允收管制圖(adaptive acceptance control chart,

AACC)，將其應用在工具磨損的製程上，目的在工具持續磨損情況下，使用 AACC

監控此種製程，指出何時應該汰換工具，提供給品管工程師一個監控方法。

AACC

採用變動的抽樣樣本數，當製程平均數距離規格界限甚遠時，抽樣的樣本數不用

太多，以達到低成本的目標；只有當製程平均數越來越接近規格界限時，抽樣的

樣本數必須變多，才不會造成過晚做工具汰換，避免不良率的增加，以達到高品

質的目標。另外，AACC 還採用變動的管制界限，同時考慮了α

和

β ，創出一個

變動管制界限，在α

和

β 兩種準則中取得一個最佳折衷的辦法，盡量降低

α

跟

β ，

以做正確的監控。

Quesenberry (1988)提出工具磨損速率已知下，在一個工具壽命區間上，可以

藉由迴歸分析方法，將此區間建立一個適當的模型，提出三種補償增加量

(compensating increment)，分別寫出期望值、變異數跟期望均方差(expected mean

squared error, EMS)，推導出製程控制的最佳批量樣本數，並比較三種補償增加量

的效率，指出考慮量測時的誤差所產生的成分變異(gauge variability)，分批配置

適當的模型，並計算出觀察值的均方根(root observed mean square, ROMS)，建立

管制界限，並找出離群值。

製程能力指標(Process Capability Indices, PCI)為可以用來評估製程能力好壞

的指標，兼具管制及評估標準之雙重功能。在實際製程中，有些變異是無法避免

的，PCI 提供的資訊可以用來降低製程變異以及控制製程平均達到規格中心的位

置，於是許多

PCI 的式子逐漸被發展出來，Juran (1974)提出

C

p

之後，

Kane (1986)、

Chan et al. (1988)及 Pearn et al. (1992)接續提出

C

pk

、

C

PU

、

C

PL

、

C

pm

及

C

pmk

，數種

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 2 2

,

min

,

6

3

3

,

3

3

,

min

,

6

3

3

p pk PU PL pm pmk

USL

LSL

USL

LSL

C

C

USL

LSL

C

C

USL

LSL

USL

LSL

C

C

T

T

T

μ μ

σ

σ

σ

μ

μ

σ

σ

μ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

−

⎧

−

−

⎫

=

=

_⎨

_⎬

⎩

⎭

−

−

=

=

⎧

⎫

−

⎪

−

−

⎪

=

=

_⎨

_⎬

⎪

⎪

+

−

_⎩

+

−

+

−

_⎭

(7)

其中

USL

(upper specification limit)為規格上限，

LSL

(lower specification limit)為規

格下限，

μ 為製程平均數，σ

為製程標準差，

T

為製程目標值。

Pearn et al. (2006)、Pearn and Hsu (2007)和 Pearn et al. (2007)分別將製程能力

指標

C

pk

、

C

pmk

和

C

PU

、

C

PL

應用在監控工具磨損製程上面，指出在監控此種製程

中，因為製程平均數會隨著時間改變，導致資料本身含有組間(between group)變

異跟組內(within group)變異。一般在 PCI 的應用上，組間變異是不應該存在的，

否則如果用傳統

PCI 的算法，就會低估能力指標，導致工具還沒損壞就一直汰換，

會使得成本過高。因此作者建議使用迴歸分析的方法，把時間差異所造成的組間

變異給移除掉，還原成只有組內變異的資料，利用這些資料來分析，就不會高估

製程的變異數，算出來的

PCI 數值也比較符合真正的製程。使用這個方法，可以

得到工具汰換的最佳時間點，才不會出現太早或太晚做工具汰換的動作。因此，

品管工程師可以考慮產品的特性，選擇適當的

PCI 來監控工具磨損製程。

以上數篇文獻探討了在工具磨損下的製程，監控產品品質特性何時超出規格

界限，或是產品品質何時達到消費者所能接受的底限，提出了數種不同的工具汰

換策略，以進行工具汰換的動作。品管工程師可以依產品製程的需要，選擇最適

合的工具汰換策略，以達到低成本且高品質的目標。

2.4 R 套件-spc

Knoth (2009)提出了統計軟體 R 的套件 “spc”，此套件提供在 CUSUM 管制圖

和單邊、雙邊

EWMA 三種管制圖裡，利用數值積分來計算製程平均一開始就偏

移或直到特定偏移發生的

ARL

；還有在設定

ARL

₀

之下，單邊、雙邊

EWMA 管制

可藉由電腦統計軟體

R，直接載入套件 “spc”，輸入適當的指令及其參數，即可

迅速地得到很精準的 ARL 或管制界限係數 L。

2.5 模型選取準則

對於欲配適的模型參數個數不同，Akaike (1974)最早將參數個數一併考慮，

提出了

AIC (Akaike Information Criterion)，其定義如下：

2

ˆ

log

2

AIC

=

n

σ

_ε

+

m

(8)

其中

m

為參數個數，

n

為資料個數，

σ 定義如下：

ˆ

_ε2

(

)

2 2 1

ˆ

ˆ

n i i i

y

y

n

ε

σ

=

−

=

∑

(9)

其中

y

i

為樣本觀測值，

y

ˆ

i

為預測資料。

Akaike

(1978)提出 BIC (Bayesian Information Criterion)，其定義如下：

2

ˆ

log

BIC

=

n

σ

_ε

+

B

(10)

其中

(

)

2 2 ˆ 1 ˆ

log 1 log log

y m B m n m n m n m ε

σ

σ

⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ _{⎜ ⎟} = − _⎜ − _⎟+ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

，

(

)

2 2 1

ˆ

n i i y

y

y

n

σ

=

−

=

∑

。

Schwartz (1978)提出 SIC (Schwartz Information Criterion)，其定義如下：

2

ˆ

log

log

SIC

=

n

σ

_ε

+

m

n

(11)

Hurvich and Tsai (1989)提出 AICc (Bias-Corrected Akaike Information

Criterion)，其定義如下：

2

ˆ

log

AICc

=

n

σ

ε

+

A

(12)

其中

2

(

1

)

2

n m

A

n m

+

=

− −

。

AICc 在小樣本之下表現較佳，而 BIC 在大樣本之下表現較佳，於是 Wu and

Sepulveda (1998)提出 WIC (Weighted-Average Information Criterion)，一併考慮了

AICc 和 BIC 準則，給予不同的權重以擷取兩準則的優點，其定義如下：

2

ˆ

log

A

B

WIC

AICc

BIC

n

W

A

B

A

B

σ

ε

=

+

=

+

+

+

(13)

其中

2 2

A

B

W

A

B

+

=

+

。

上述為多位學者提出許多不同的模型選取準則來選擇模型，選取準則均以最

小準則值所對應的模型為較合適的模型。其中

SIC 也有人稱為 BIC、SBC 或是

SBIC，但為了跟 Wu and Sepulveda (1998)所提出的式子相對應，我們仍採用此篇

文獻所寫的

SIC 跟 BIC 式子。

我們常用估計誤差的方法，如均方根誤差

RMSE (root mean squared error)和平

均絕對誤差

MAE (mean absolute error)，亦可拿來做為模型選擇的依據，選取方法

一樣是以最小值所對應的模型為較合適的模型，其定義分別是(14)式和(15)式。

(

)

2 1

ˆ

n i i i

y

y

RMSE

n

=

−

=

∑

(14)

1

1

ˆ

n i i i

MAE

y

y

n

=

=

∑

−

(15)

另外，在迴歸分析中的調整後複判定係數

2 adj R

也是常用的選取準則之一，此

值可以代表對某模型的解釋能力，數值越高代表配適度越高。

2 adj R

能用來比較各

種不同模型的配適能力，選取方法則是以最大值所對應的模型為較合適的模型，

其定義如(16)式。

2

₁

1

adj

SSE

n

R

SST

n m

−

⎛

⎞

= −

_⎜

_⎟

−

⎝

⎠

(16)

其中

(

)

2 1

ˆ

n i i i

SSE

y

y

=

=

∑

−

，

(

)

2 1 n i i

SST

y

y

=

=

∑

−

。

以上介紹了數種不同的模型選擇方法，這些模型選取準則各有其適用性，使

用者可依需求選擇較適合的準則，以取得較佳的模型選取結果。

第三章 管制圖監控計劃

在原本正常的趨勢製程裡，可能會因為某種可歸屬原因，導致製程發生了異

常線性偏移的情況。本章針對這種情形下，提出

Shewhart 和 EWMA 兩種適當監

控統計量之管制圖，計算出此二管制圖在此種製程上的偵測力並比較之，以及如

何制定一套良好的監控計劃，將其應用在監控此種趨勢製程上。

3.1 建立模型

在本文中，我們假設正常及異常的製程均呈現線性趨勢，其模型分別如(17)

式及(18)式。

(

2

)

0t

~

0 1

,

0

,

1, 2,...

y

N

β

+

β σ

t

t

=

(17)

(

) (

)

(

2

)

1t

~

0 1 0 1 2 0

,

0

,

1, 2,...

y

N

β δ σ

+

+

β δ σ

+

t

σ

t

=

(18)

其中

y

_0t

為正常製程資料，

β 為正常製程截距，

₀

β 為正常製程斜率，

₁

σ 為正常製

₀

程標準差，

y

_1t

為異常製程資料，

δ 為截距偏移單位標準差的倍數及

₁

δ 為斜率偏移

₂

單位標準差的倍數。

由於本文著重於第二階段線上監控製程，所以假設正常製程參數

(

β β σ

₀, ,_{1 0}

)

皆

已知。

3.2 Shewhart 管制圖

在正常趨勢製程中，管制圖的統計量會隨著時間呈現趨勢變動，我們必須把

造成此種趨勢的原因視為機遇原因而非可歸屬原因，所以若使用一般的

Shewhart

管制圖來監控趨勢製程，會導致管制圖太早出現製程失控的假警報(false alarm)。

因此，此節使用適當的管制統計量加上一般

Shewhart 管制圖的概念，將其應用於

監控此種線性趨勢製程上，並深入探討此管制圖的偵測效率。

由於正常趨勢製程的期望值會隨著時間變動，所以為了找出偏移製程跟正常

製程的差異，我們把目前正在監控的製程之資料點

y

t

減掉正常製程的期望值

0 1

t

β

+

β

，記成

e

t

，如(19)式。

(

0 1

)

, 1, 2,... t t e = y −

β

+

β

t t =

(19)

當製程為管制中時，

e

t

彼此互相獨立且服從常態分配

(

)

2 0

0,

N

σ ，因此我們可

應用一般的管制圖於

e

_t

上以進行監控。

3.2.1 推導過程

由(17)式可知正常趨勢製程的模型為

(

2

)

0 1

,

0

N

β

+

β σ

t

，由(18)式可知偏移趨勢製

程的模型為

(

(

) (

)

2

)

0 1 0 1 2 0

,

0

N

β δ σ

+

+

β δ σ

+

t

σ

，並且設定

Shewhart 管制圖的統計量為

t

e

及考慮統計假設如下：

0 1 2 1 1 2

:

0

:

0

0

δ

δ

δ

δ

Η

=

=

Η

≠

或

≠

(20)

設定

Shewhart 管制中心線

CL=0

，管制界限上限

UCL

= +

0 3

σ

₀

，管制界限下限

0

0 3

LCL

= −

σ

，故型

I 誤差的機率

α

=0.0027

，亦可求得

ARL

₀

1

370.3704

α

=

=

，表示

製程在正常狀態下，平均每

370.3704

個資料點會出現一個假警報。

型

II 誤差的機率

( )

β

t

為當製程失控時，資料點落在管制界限內所冒的風險，

即

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2

0

0

3

3

,

1, 2,...

t

P LCL

e

t

UCL

t

t

t

β

δ

δ

δ δ

δ δ

=

≤ ≤

≠

≠

= Φ − −

− Φ − − −

=

或

(21)

其中

Φ ⋅

( )

為標準常態分佈的累積機率。

因為

β 會隨著時間

t

t

變動，也就是說每個時間點的

β 值都不一樣，而且在第二

t

階段的資料點彼此互相獨立，所以偏移製程直到第

t

點才被管制圖偵測出來的機

率為

( )

1

(

)

1

1

t i t i

q t

β

β

− =

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

−

⎝

∏

⎠

(22)

於是藉由(21)式及(22)式即可算出在時間點

t

的

q t

( )

值，附圖B.1 畫出不同偏移參

數

(

δ δ

₁, ₂

)

的

q t

( )

分佈圖形。有了

q t

( )

的分佈之後，可由此分佈推得

ARL

₁

的式子，

如

1 1

( )

t

ARL

t q t

∞ =

=

∑

×

(23)

由(23)式即可求出不同偏移參數

(

δ δ

1, 2

)

的

ARL

1

。

我們將異常偏移製程分成三種情形去探討，分別為截距偏移

(

δ

₁ ≠0,

δ

₂ =0

)

、

斜率偏移

(

δ

₁ =0,

δ

₂ ≠0

)

及截距與斜率皆偏移

(

δ

₁ ≠0,

δ

₂ ≠0

)

三種狀況。將適當的偏移

參數代入(21)式，再經由以上的計算方法可求出 Shewhart 管制圖於不同偏移參數

(

δ δ

1, 2

)

的

ARL

1

。

另外，在截距偏移

(

δ

₁ ≠0,

δ

₂ =0

)

的情況下，將

δ

₂

=

0

代入(21)式，可得到

(

3 1

)

(

3 1

)

, 1 0 t

β

= Φ −

δ

− Φ − −

δ δ

≠

，此時

β 值跟時間

t

t

無關，所以在截距偏移情況，

可以直接推得

ARL

₁

的式子，如

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 , 0 1 _t 1 3 3 ARL

δ

β

δ

δ

= = ≠ − − Φ − + Φ − −

(24)

這樣一來，在截距偏移情況下可以更方便計算其

ARL

₁

。經由以上的推導過程，我

們可以求出三種偏移情況所對應的

ARL

₁

。

3.2.2

結果分析

有了上一節的

ARL

₁

計算過程，我們可以求出任何偏移參數

(

δ δ 的 ARL，然

₁, ₂

)

而偏移參數

(

δ δ 正負號是否會影響

₁, ₂

)

ARL

₁

的計算結果，於是我們也做了以下的討

論。

為了方便比較偏移參數

(

δ δ 均正和均負的

₁, ₂

)

β ，我們由(21)式可畫出偏移參

_t

數

(

δ δ 同號時的

₁, ₂

)

β 比較，如 圖 2 所示，圖中兩垂直紅色實線之間標準常態分佈

_t

曲線下的面積為偏移參數

(

δ δ 均負的

₁, ₂

)

β 值，而兩垂直綠色虛線之間標準常態分

t

佈曲線下的面積為偏移參數

(

δ δ 均正的

₁, ₂

)

β 值，這兩塊面積對稱於中心，由此可

_t

知這兩塊面積相等。

 

圖

2 偏移參數(

δ δ )同號時的

₁

,

₂

β 比較

t

因此，

β 於偏移參數

t

(

δ δ 均正及均負這兩種情況是一樣的，也就是在計算

1, 2

)

1

ARL

的值是不會有差別的。

而當

(

δ δ 異號時，會出現截距項與斜率項抵消的情形，導致在計算

₁, ₂

)

ARL

₁

時

比較複雜，未來可能會朝著這方面繼續探討下去。因此，以下我們僅計算出偏移

參數

(

δ δ 均為正的

₁, ₂

)

ARL

₁

。

表

1 為利用上述的推導過程所計算出不同偏移參數

(

δ δ 對應的

₁, ₂

)

ARL

₁

，我們

僅列出數種偏移參數的組合。表中的第一行數據代表截距偏移，第一列數據代表

斜率偏移，其餘的數據則是代表截距與斜率皆偏移的情況。

δ 對

₁

ARL

₁

、

δ 對

₂

ARL

₁

和

(

δ δ 對

₁, ₂

)

ARL

₁

的圖形分別如 圖

3、圖 4 和 圖 5 所示。

表

1 不同偏移參數(

δ δ )所對應的

1

,

2

ARL

1 2 δ 1 δ 0 0.005 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2 0.0 370.40 134.10 89.56 57.37 43.58 30.45 21.70 18.43 8.117 4.809 3.277 2.431 1.975 0.2 308.43 108.00 74.26 48.90 37.69 26.78 19.35 16.53 7.467 4.482 3.081 2.300 1.879 0.4 200.08 83.17 59.60 40.71 31.97 23.20 17.04 14.67 6.826 4.159 2.887 2.171 1.784 0.6 119.67 61.80 46.47 33.13 26.59 19.78 14.82 12.86 6.197 3.841 2.696 2.044 1.691 0.8 71.55 44.68 35.34 26.39 21.71 16.60 12.72 11.15 5.588 3.531 2.510 1.920 1.600 1.0 43.89 31.72 26.34 20.63 17.42 13.73 10.78 9.551 5.004 3.232 2.330 1.802 1.511 1.2 27.82 22.34 19.37 15.89 13.78 11.20 9.033 8.095 4.452 2.947 2.158 1.689 1.427 1.5 14.97 13.28 12.13 10.57 9.51 8.104 6.808 6.214 3.699 2.551 1.919 1.533 1.310 1.8 8.690 8.137 7.702 7.036 6.535 5.806 5.072 4.715 3.050 2.200 1.706 1.396 1.212 2.0 6.303 6.028 5.797 5.421 5.121 4.660 4.169 3.920 2.679 1.994 1.581 1.316 1.159 2.5 3.241 3.184 3.130 3.034 2.950 2.804 2.629 2.533 1.964 1.583 1.329 1.160 1.067 3.0 2.000 1.984 1.969 1.941 1.914 1.865 1.802 1.764 1.509 1.307 1.162 1.067 1.023

 

 

圖

3 截距偏移量(

δ )所對應之

₁

ARL

₁

值

 

圖

4 斜率偏移量(

δ )所對應之

₂

ARL

₁

值

圖

5 截距和斜率偏移量(

δ δ )所對應之

₁

,

₂

ARL

₁

值(左)及小偏移參數時之放大圖(右)

 

由此結果可看出截距與斜率皆偏移的

ARL

₁

比截距或斜率偏移的

ARL

₁

更小，也

就是說相較於單一參數偏移，此種兩個參數同時異常偏移的製程會更容易被偵測

出來，此乃因為兩個參數同時偏移的偏移量會比起單一參數偏移還要大，所以才

會具有較小的

ARL

₁

。

3.3 EWMA 管制圖

此節將運用一般

EWMA 管制圖的概念，提出 EWMA 管制圖來監控此種線性

趨勢製程，深入探討此管制圖的偵測效率，並將一般常用

λ

=

0.05(0.05)0.3

的

EWMA 跟 Shewhart 兩種管制圖之偵測力做比較。

3.3.1 管制界限之選擇

將(19)式所得到的

e

t

值，代入

EWMA 管制圖的監控統計量

W

t

，如(25)式。

1

(1

)

,

1, 2,...

t t t

W

=

λ

e

+ −

λ

W

₋

t

=

(25)

其中

0< ≤

λ

1

，初始值

W

₀

通常定為目標值。因為

e

_t

的期望值等於

0，所以我們定

0

0

W

=

，並將

EWMA 管制圖統計量的遞迴式展開，得(26)式。

1 0

(1

)

,

1, 2,...

t i t t i i

W

λ

λ

e

t

− − =

=

∑

−

=

(26)

Crowder (1987a)針對計算單變量平均值的 EWMA 管制圖之 ARL 導出其迭代

的式子，如(6)式，此為一 Fredholm 第 II 型積分方程式。此方程式的積分上、下

界均為常數，也就表示 UCL 和 LCL 皆為常數，所以作者所提出的 EWMA 管制

圖是使用固定管制界限，藉由高斯數值積分方法計算

ARL

₁

數值。Lucas and

Saccucci (1990)亦使用固定的管制界限，藉由馬可夫鏈方法來計算

ARL

₁

。因此我

們沿用諸位學者的方法，使用固定的管制界限來建構

EWMA 管制圖，其管制界

限如(4)式。然而因為

E e

( )

_t =0

，也就表示(4)式中的

W

₀

=

0

，所以以下我們設定所

提出

EWMA 管制圖的管制界限如(27)式。

2

0

2

UCL

L

CL

LCL

L

λ

σ

λ

λ

σ

λ

⎧

=

⎪

₋

⎪⎪

₌

⎨

⎪

⎪

_{= −}

⎪

−

⎩

(27)

3.3.2 管制界限係數

L

之選擇

EWMA 管制圖的設計參數即為管制界限係數

L

及權數

λ ，因為

ARL

會同時受

到

L

、

λ 的影響，故當使用 EWMA 管制圖監控製程時，

L

是需要隨著不同的

λ 而

做調整。若設定

α

=0.0027

，意即

ARL

₀

=

379.3704

，則在

λ

=1

時，恰為

Shewhart

管制圖，此時管制界限係數

L=3

；但在

0< <

λ

1

的情況下，

L

會小於

3，若不做調

整而使用

L=3

，會造成管制界限太寬，導致製程失控時不易發出警訊而造成損失。

我們選了幾個常用的

ARL

₀

，使用電腦統計軟體R，並載入程式套件 “spc”，

執行程式指令xewma.crit (詳細用法敘述於 附錄A.2(a))，可以很迅速地找出EWMA

管制圖參數

λ 所對應的管制界限係數

L

，其相對應的圖形如 圖

6。

圖

6 不同 EWMA 管制圖參數 λ 及

ARL

0

所對應之管制界限係數

L

值

 

由 圖

6 我們可以在設定

ARL

₀

及參數

λ

之下，選擇適當的管制界限係數

L

。而

在之後的分析，我們均設定

ARL

₀

=

370.3704

，並使用各種

λ 所對應的管制界限係

數

L

，來分析有關此種線性趨勢製程異常偏移的情況。

3.3.3 模擬方法

我們一樣將偏移情況分成三部分來探討，分別是截距偏移

(

δ

₁≠0,

δ

₂ =0

)

、斜

率偏移

(

δ

₁=0,

δ

₂ ≠0

)

和截距與斜率皆偏移

(

δ

₁≠0,

δ

₂ ≠0

)

三種狀況，並假設正常及異

常的製程均呈現線性趨勢，其模型分別如(17)式及(18)式，利用此模型來做以下模

擬的實驗。

由於EWMA管制圖的統計量彼此之間不獨立，所以在計算

ARL

₁

並不是很容

易，通常要靠數值分析或電腦模擬估計來求得。我們使用電腦統計軟體R，並載

入程式套件 “spc”，執行程式指令xewma.arl (詳細用法敘述於 附錄A.2(b))，就可

以計算出製程在截距偏移之下，隨著EWMA管制圖參數

(

λ

, L

)

設定下，不同偏移

參數

δ 所對應的

1

ARL

1

值，並將這些

ARL

1

值整理於 附表C.1 中。此表中的粗體數字

標示出給定

δ 下，在所有考慮的 λ 值中最小之

₁

ARL

₁

值；也就是說，在此偏移參數

1

δ 之下，若使用此管制圖參數

(

λ

, L

)

來建置EWMA管制圖的話，能夠最快偵測到

製程偏移。圖

7 為在截距偏移製程中，

δ 對最佳的 λ 之曲線，

₁ x

軸為偏移參數

δ ，

₁

y

軸為最佳的

λ

。由此圖明顯看出

δ 越大，最佳

₁

λ

值也越大。

圖

7

δ 所對應最佳 λ 值之曲線

₁

 

因為斜率偏移和截距與斜率皆偏移的製程平均數會隨著時間

t

而變動，並不符

合電腦統計軟體

R 的程式指令(xewma.arl)設定，所以我們就利用電腦來模擬這種

情況，使用夾擠的方法來計算出各種偏移情況下的

ARL

₁

，模擬的步驟如下：

步驟一、設定正常製程標準差

σ ，偏移參數

₀

(

δ δ ，EWMA 管制圖的參數 λ 跟其

₁, ₂

)

所對應的管制界限係數

L

，管制界限上限

₀ 2 UCL L

σ

λ

λ

= −

及管制界限下

限

₀ 2 LCL L

σ

λ

λ

= − −

。

步驟二、令

t=1

。

步驟三、生成一個資料點

(

2

)

1 0 2 0 0

~

,

t

e

N

δ σ

+

δ σ σ

t

。

步驟四、將

e

t

代入

EWMA 管制圖統計量

Wt =

λ

et+ −

(

1

λ

)

Wt−1

，其中

W

0

=

0

。

步驟五、若

W

t

>

UCL

或

W

t

<

LCL

，則記錄連串長度

t

；否則

t

← +

t

1

，回到步驟三。

步驟六、重複步驟二至步驟五

N

次，計算此

N

次連串長度的平均值及標準誤差

(standard error)。令此平均值為

ARL

1

之估計量，而此估計量之標準誤差

則為連串長度的標準誤差除以

N

。

我們偏移模型有三種情況，包括截距偏移

(

δ

₁ ≠0,

δ

₂ =0

)

、斜率偏移

(

δ

1 =0,

δ

2 ≠0

)

和截距斜率皆發生偏移

(

δ

1≠0,

δ

2 ≠0

)

三種狀態，於模擬一開始給定適

當的偏移參數即可模擬此三種情況。在電腦模擬完之後，我們可以得到

ARL

₁

的估

計值及其標準誤差。在不失一般性下，正常製程標準差

σ 可設為 1。

₀

3.3.4 模擬結果

在截距偏移下，設定不同之參數

λ 及偏移參數

δ ，各重複模擬一百萬次

₁

(

₁₀

6

)

N

=

，所得EWMA管制圖的

ARL

₁

估計值及其標準誤差，整理於 附表C.2。可

以看出當偏移參數

δ 較小時，λ 普遍取 0.05 到 0.3 之間，

₁

ARL

₁

可以達到不錯的狀

況；而當偏移參數

δ 越大， λ 就要取越大，

₁

ARL

₁

才能達到較小的狀況。此程式模

擬出來的結果與電腦統計軟體R的程式指令(xewma.arl)計算的結果很接近，所以

我們繼續使用類似的程式步驟，來模擬斜率偏移和截距與斜率皆偏移的狀況。

我們一共模擬了三種偏移製程的

ARL

₁

，計算出在設定不同的偏移參數

1

0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1,1.5, 2, 3

δ

=

、

δ

₂

=

0, 0.01, 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.3, 0.6,1

和參數

(

)

0.05 0.05 1

λ

=

之下所對應的

ARL

₁

，並將三種偏移製程的

ARL

₁

分別整理於 附表

C.2、附表C.3 及 附表C.4。

3.3.5 平滑參數λ之選擇

那麼當給定偏移參數

(

δ δ 時，應選擇哪個 λ 值來提高EWMA管制圖的績效

₁, ₂

)

呢？我們利用上一節模擬的結果，整理出 附表C.5 來說明。此表為EWMA管制圖

在偏移參數

(

δ δ 及上述模擬中所考慮的參數

₁, ₂

)

λ

下，最小的

ARL

₁

所對應的參數

λ

值，稱此

λ 值為優化 λ 值，並記為

_{λ 。因為我們只考慮}

*

_λ

_{=0.05 0.05 1}

(

)

_，所以此

_λ

*

並非真正最優化之

λ 值。由此表我們可以看出在較小的偏移量下，需要選擇小一

點的參數

λ ，而在較大的偏移量下，λ 就應該選大一點，

ARL

₁

才能達到較佳的狀

況。

因此，工程師如果可以從歷史資料及過去的經驗中，得知製程即將會出現多

大偏移的話，也就是預先可以知道偏移參數

(

δ δ 的大致範圍，附表C.5 提供了

₁, ₂

)

工程師在選擇EWMA管制參數 λ 的參考資訊，進而選用較佳的EWMA管制圖來監

控此製程。

3.4 兩種管制圖之比較

在進行兩種管制圖比較之前，我們必須將Shewhart管制圖的偏移參數

(

δ δ

₁, ₂

)

設定成跟EWMA管制圖的偏移參數

(

δ δ 一樣，於是將Shewhart管制圖

₁, ₂

)

ARL

₁

的結

果整理於 附表C.6。

為了方便比較

EWMA 和 Shewhart 兩種管制圖在這三種製程偏移下的優劣，

我們將

EWMA 管制圖的

ARL

₁

值除以

Shewhart 管制圖的

ARL

₁

值以求得兩者之比

值。當比值小於

1 時，表示 EWMA 管制圖表現較佳；反之，當比值大於 1 時，

表示

Shewhart 管制圖表現較佳。如果比值距離 1 越遠，表示兩種管制圖的表現差

異越大，這樣一來就能夠清楚地看出在各種偏移程度下，兩種管制圖

ARL

₁

的表現

及差距。

附表C.7 為使用平滑參數為

_{λ 的EWMA管制圖所得到的}

* 1

ARL

除以Shewhart管

制圖的

ARL

₁

之比值，可以看到數值皆小於

1，也就是說此時EWMA管制圖的表

現，的確比Shewhart管制圖還要好。因此，若工程師從過去的歷史資料中，預先

知道偏移參數

(

δ δ ，就可參考 附表C.5 選擇平滑參數接近

₁, ₂

)

_{λ 的EWMA管制圖，}

*

讓EWMA管制圖發揮最大的功效。

如果此製程為較新的製程下，工程師無法從過去的資料或經驗推得製程偏移

參數

(

δ δ 的話，為了選擇較適當的管制圖來監控，我們取一般常用參數

₁, ₂

)

(

)

0.05 0.05 0.3

λ

=

的

EWMA 管制圖來跟 Shewhart 管制圖進行比較分析。

附表C.2、附表C.3 和 附表C.4 為EWMA管制圖在三種偏移製程下所算出來的