第一章 緒論
1.3 文獻回顧
壓電原理電能與機械能互換現象是在 1880 年，由 Pierre Curie 和 Jacques Curie 所發現，之後許多壓電材料的應用就一直被開發出來。到了 1967 年 T.R. Sliker 和 D.A. Roberts 提出了可製造出薄膜 CdS-石英共振腔（Thin-Film CdS-Quartz Composite Resonator）的方法，使得薄膜共振腔的概念與各種不同的薄膜架構開 始進入研發的階段。[ ]
接著K.M. Lakin 和 J.S Wang 在 1981 年開發出利用體聲波傳導的共振腔，也 使薄膜體聲波濾波器開始受到各學者的研究與注意。這之中陸續有不同的架構一 直被提出，諸如TFR（Thin film Resonator）、SBAR（semiconductor bulk acoustic resonators）等等[ ]。1990 年 R.J.Weber 並提出了可以將半導體製程與壓電材料 製作在一起的製程方法。
到了1994 年Agilent的R.C. Ruby利用微機電方式，以low stress SixNy（silicon nitride）材料當基底，成功製造出以Al為壓電材料的FBAR，同時也將FBAR的Q 值提升到1000 以上，頻率範圍可從 1.5 GHz到 7.5 GHz。[ ] 接著 1999 年 J.D.
Larson III與Agilent一同提出針對CDMA PCS（Personal Communications Service）
頻段所使用的薄膜體聲波頻率雙工器（FBAR based duplexer），突破SAW（Surface Acoustic Wave） 對功率承受的限制及受限於線寬大小的條件，達到PCS所需要 求的insertion loss與rejection[ ]，Agilent並且在 2002 年開始量產販售應用於PCS
頻段的FBAR Dupexer，也正式宣告FBAR產品的問世。
近年來因為在通訊上規格的要求更加的窄頻、體積更加的縮小，許許多多 FBAR 的相關實作文獻不斷發表出來，雖針對理論原理的研究文獻仍是少數，不 過也代表著FBAR 在通訊應用方面仍有許多值得研究的地方。
第二章 FBAR 高頻等效電路模型 Chapter 2
2.1 FBAR 物理架構
FBAR（thin Film Bulk Acoustic wave Resonator）是一個利用非壓電材料與壓 電材料內部體聲波的共振來產生電能訊號的元件。如圖（2.1）即為一個FBAR的 立體結構與剖面圖；其結構最上層是一個非壓電體材料所組成的非壓電層
（non-piezoelectric layer），又稱電極層（electrode’s layer）組成，第二層是由壓 電材料所組成的壓電層（piezoelectric layer），第三層則由另一個非壓電材料所組 成，最下一層則是由一個Si3N4當作製程底板。
圖（2.1）FBAR 結構圖
為了找出可利用數學軟體來計算出的等效 FBAR 模型，我們必需知道 FBAR 上下電極與中間壓電層的電路模型。底下的推導過程有許多材料係數及方程式，
因與設計 FBAR 等效模型沒有直接關係，在此僅列出相關方程式來了解 FBAR
的電路模型。
2.2 一維非壓電體電路模型
一個聲波在非壓電體外部受力可如圖（2.2a）所示，其內部聲波則可如圖
（2.2b）所示：
F1 F2
v1 v2
area A 圖（2.2a） 一維非壓電層平板
z = z2
z = z1
圖（2.2b） 一維非壓電體內部波的傳導
由波的傳導方程式可知一個不考慮時變的入射與反射的波 u 為：
其中
Z
a= c γ ω / j
，由此可知：為了能夠找出體聲波與傳輸線的關係，我們可將Eq（2.4）等號左邊項視為 電路的電壓源、等號右邊第一項與第二項分別為電路壓降來，其對應關係如下：
force → voltage
particle velocity → current
如此圖（2.3）則可看成圖（2.4）的模型。
接著觀察圖（2.4）且由電路學 super position 原理可得：
1 1 1
Z1 Z2
Z3
圖（2.5）T 型電路圖
所以經由圖（2.5）轉 ABCD 矩陣的式子可知，圖（2.4）一維非壓電體的 ABCD 矩陣為：
2.3 一維壓電體電路模型
由圖（2.7）左右兩圖可知，其 v 和受力 為： F
3
3 3 1 2
而從三角函數定理可知 1 1 電路模型如圖（2.8）所示。此電路模型即為 Mason model，圖中可看出壓電體的
電路模型多了一個 transformer 的電路，此即代表壓電體在外加電壓時訊號的等 效電路。其所對應的參數 h 可以由壓電材料量測出的參數 electro-mechanical copuling constant，kT來求出。其關係如下：
2 2 2 2 效電路BVD circuit（Butterworth-Van Dyke circuit），如圖（2.9）。等效的BVD circuit 共有四個元件值，當 FBAR 在它的串聯共振頻率時，FBAR 等效電路只會看到
外力作用（空氣），即F=0，對應傳輸線即形同接地。
圖（2.10）FBAR 將電極等效為 T.L
接下來我們只要知道電磁學傳輸線公式與非壓電層參數間的轉換關係後，就 可以轉為用一般電磁學的傳輸線（transmission line，T.L）公式來計算非壓電層 的等效阻值。在計算阻值前，我們要先知道非壓電體的三個材料參數：Va（phase velocity of acoustic wave）、ρ（Mass density）、α( )f （attenuation of the frequency）， 這三個參數可以從一般討論非壓電材料的參考書目或文獻中找到。 acoustic wave （km/s）
ρ：density （kg/m3） T.L propagation constan：γ α= + jβ
a
V c
β = ω ，ω 為任一工作頻率
0 0
( ) ( )f
f f
α = α ，α0為在 f 下量測到的 absorption，單位為 0
Np（若α0為dB 值需除 8.686）
T.L length：即為非壓電體的厚度 d （µm）
如此以來如可以知道電極的輸入阻抗大小，也就可以把上下層的電極看作是 一個阻抗，如圖（2.11）所示。
ZL
ZR
圖（2.11）上下電極等效阻抗
接下來利用前（2.3）節所推導的中間壓電層電路模型，就可以串成如圖（2.12）
的電路再利用一般電路學的方式，就可以取出我們所要的FBAR等效電路如圖
（2.13b）。因壓電體比非壓電體多了外加電壓的電場效應，所以在壓電體部份除 了與非壓電體的三個參數相同的：Va、ρ、α( )f ，我們仍需另二個參數為：
（electro-mechanical copuling constant）、
2
kT
ε （piezoelectric dielectric constant）。所S
對應電路模型的關係如下：
0
SA C d
=ε
2
ZX C0
C0
−
圖（2.13b）FBAR 等效電路模型 b
圖（2.13b）即為一 FBAR 在任何頻率下的電路模型，此模型可以幫助我們 計算出該頻率下的輸入阻抗。圖（2.14）所示則為任一厚度組合下，利用 MATLAB 軟體計算出圖（2.13b）的 FBAR 虛部總阻抗。其計算步驟大致如下：
Step1：利用材料參數Va、ρ、α及電極厚度計算出傳輸線ZL與ZR。 Step2：計算Zt = Z1+(Z2+ ZL)// (Z2+ ZR)。
Step2：計算ZX = (hC0)2．Zt。
圖（2.14）所列出為等效後 FBAR 看入的第一次諧波，圖中所示當虛部總阻 抗為0 時，此時的頻率即為 FBAR 的串聯共振頻率，稱為 f ；當虛部總阻抗為s 正負無窮大時，此時即為並聯共振頻率，稱為 。這兩個頻率的差值（ ） 代表著一個 FBAR 的頻寬，其大小會直接影嚮電路設計的效能，這在後幾節將 會做較祥細的討論。我們在此主要目的是要找出BVD circuit 的四個元件值，以 及如何從圖（2.13b）的等效電路模型計算出某組厚度下 FBAR 的
f p fp − fs
f 與s f p 。
f
pf
s圖（2.14）FBAR 等效電路模型看入的第一次諧波虛部阻抗
2.4.1 f 與s f p 兩頻率點的近似方法
從前面的等效電路模型我們可計算山輸入電路的總阻抗，而觀察虛部總阻抗 時， f 是在虛部總阻抗為 0 時的工作頻率，s 是在虛部總阻抗為無窮大時的 工作頻率，且BVD circuit 中的
f p
R 值通常理論上會很小，由此我們可推理出： m
當 f = 時，串聯部份Zfs x + (-C0)虛部阻抗應為 0。
當 f = fp時，電路的虛部總阻抗應為無窮大。
從串聯電路元件來看，當串聯共振時，共振頻率為 1
s
m m
ω = L C ，所以在求 取等效電路上，求出 後即可反推 ；又我們知道並聯共振時，虛部總阻抗為 無窮大，即虛部總導納應為0，所以我們可依這兩個條件透過數學的推算，就可 以找出 ，其推導如下：
Cm Lm
Cm
首先令BVD circuit series( ) m m 1
經過以上的推導，我們可從圖（2.13b）中等效電路的串聯虛部阻抗為 0，及 虛部總阻抗無窮大時的兩個點找出 f 與s fp，再來就可以計算出Cm及反推Lm，而
R 的求取方法，只要在頻率為m f 時，算出s Zseries( )ωs 的實部阻抗值即可。 則由 平行板電容公即可求出來。如此以來BVD circuit 四個元件值皆找出後，我們就 可以帶到電路模擬軟體來看近似的結果。
C0
圖（2.15）即為計算出的 BVD circuit 元件值代入電路模擬軟體後，與圖
（2.13b）直接計算 FBAR 等效電路模型的兩個輸入虛部阻抗。從圖中可以發現，
兩條線幾乎是重疊的，表示經由上面方式近似出的四個元件值與直接計算的 FBAR 特性是相同的，所以往後在設計電路時，我們只需擁用 FBAR 每層的各項 物理厚度及材料參數，就可以經MATLAB 軟體轉換帶入電路模擬軟體，來模擬 設計FBAR 的應用電路。
圖（2.15）FBAR 等效模型與電路模擬軟體模擬出的虛部阻抗值比對
Chapter 3 第三章 FBAR 材料特性與共振頻率的關係
由第二章 2.4 節的 FBAR BVD equivalent circuit 的建立過程知道，FBAR 電 極層的三個材料參數，與壓電層的五個材料參數，會對FBAR 的串聯共振頻率 fs 與並聯共振頻率 有所影嚮。當我們在製作 FBAR 電路時，所選擇的不同的電 極或壓電材料將會影嚮效能，所以除了設計 FBAR 的電路架構之外，了解每個 材料參數特性對FBAR 兩共振頻率的影嚮，將能對電路的設計更加有所概念。
fp
3.1 FBAR 非壓電體 Va、ρ、α參數的特性
從 2.2 節的非壓電體的電路等效中，我們知道 FBAR 電極層等效電路只與 Va、ρ、α三個參數有所關係，底下圖（3.1）到圖（3.3）分別是使用 MATLAB 軟體計算Va、ρ、α三個材料參數單獨做為變數時，對兩共振頻率變化的關係圖，
目的是要觀察出這三個材料的特性，對 f 與s fp的影嚮變化。
圖（3.1）電極材料參數 Va 對共振頻率點的關係
圖（3.2）電極材料參數 ρ 對共振頻率點的關係
圖（3.3）電極材料參數α對共振頻率點的關係
由圖（3.3）可觀察出，電極材料參數α並不會對兩共振頻率點有所影嚮，
所以α的值只會影嚮FBAR Q 值的大小。而其餘兩個材料參數 Va 及 ρ 則分別會 對 f 與s 同時造成正比與反比的關係。其中從圖（3.2）可發現，電極材料參數 ρ 的變動，並不會影嚮 FBAR 的設計頻寬，而 acoustic velocity Va 則是愈大頻寬 就愈大，在選擇FBAR 電極材料時，我們可依上述的材料特性來做適當的擇取，
以達到所需要設計的效能。
fp
3.2 FBAR 壓電體 Va、ρ、α、kT2、
ε
r參數的特性如同 2.4 節的討論，壓電體材料參數共有五項會影嚮兩共振頻率點。圖（3.4）
到圖（3.8）是使用 MATLAB 軟體，來計算壓電材料參數 Va、ρ、α、kT2、
ε
r對 FBAR 兩共振頻率變化的關係圖。圖（3.4）壓電材料參數 Va 對共振頻率點的關係
圖（3.5）壓電材料參數 ρ 對共振頻率點的關係
圖（3.6）壓電材料參數α對共振頻率點的關係
圖（3.7）壓電材料參數kT2對共振頻率點的關係
圖（3.8）壓電材料參數
ε
r對共振頻率點的關係由圖（3.6）與圖（3.8）知，壓電材料參數α與
ε
r皆不會對兩個共振頻率點 有所影嚮。其餘三個參數Va與ρ皆會使共振頻率同時上升，且由圖（3.4）可知道 壓電體材料參數Va的變化並不會對FBAR頻寬有所影嚮，由圖（3.5）則知ρ愈大 頻寬則是愈大；而材料參數kT2的上升則是只對 f 有所下降，s 則不變，所以 FBAR的頻寬會因材料參數k由圖（3.6）與圖（3.8）知，壓電材料參數α與