2-1 能力指標中的數學證明
設計「外角定理」的教材之前，要先了解現階段能力指標對於此單元的教學目標 為何。在教育部現行九年一貫的數學科課程綱要(教育部, 2003)中，根據學生的學習 方式與思考型態兩項特徵，將學生的學習分成四個階段，各階段的主要內涵分別是：
第一階段（1～3 年級）：具體操作，視覺 第二階段（4～5 年級）：具體表徵、察覺形式
第三階段（6～7 年級）：類化具體表徵、辨識形式間的關係 第四階段（8～9 年級）：符號表徵，非形式演繹
如果從能力指標分年細目來看，下列幾個是跟幾何證明有直接相關的 8-s-06 能理解線對稱的意義，以及能應用到理解平面圖形的幾何性質。
8-s-14 能用線對稱概念，理解等腰三角形、正方形、菱形、箏形等平面圖形。
8-s-16 能舉例說明，有一些敘述成立時，其逆敘述也會成立；但是，
也有一些敘述成立時，其逆敘述卻不成立。
8-s-17 能針對幾何推理中的步驟，寫出所依據的幾何性質。
9-s-12 能認識證明的意義。
按照課程綱要能力指標的設計，分年細目8-s-06,8-s-14 中，八年級的學生要能 夠解釋等腰三角形、正方形、菱形、箏形等平面圖形的幾何性質，解釋的方法是利用 線對稱的概念，或者說利用摺紙的方式來進行非形式化的演繹；分年細目8-s-16 中，
學生可能知道一個定理的逆敘述未必成立，而課本中說明逆敘述不成立的方式就是舉 反例來說明。
在分年細目8-s-17 中，八年級的學生被要求能分辨每個幾何推理步驟所依據的 幾何性質，或用填空的方式將幾何推理完成。而九年級學生被要求根據已知與求證，
完成幾何推理，但分年細目9-s-12 也限制「僅要讓學生初步認識證明的意義，因此
推理的步驟以二、三個步驟為限」，所以不會進行複雜的幾何證明。也就是說，此階
段的學生學生要能熟悉各種幾何的表徵，並能建立直觀式的論證分析，只是證明過程
過往的記憶與經驗自己選取訊息、組織訊息，猜測訊息，甚至自動將缺空的部分填補
事實上，教學的過程中，這兩種注意力系統也不斷彼此交互運行。如果是突然出 現或移動的物件、聲音，學習者就會自動處理，往那邊望過去或仔細聆聽。如果是教 學者以手勢、顏色、或口語引導，期待學習者專注在某個物件，這就屬於控制處理。
由於自動處理需要心力比較少，處理也比較快速，所以在教材設計時，我們希望幫助 學生更多的自動處理，減少控制處理。要達到這目標，就必須在視覺上能吸引學生的 注意力，以下將從特徵整合理論探討注意力與視覺的關係。
2-2-2 特徵整合理論
特徵整合理論（Feature Integration Theory）由 Treisman 提出(A. M. Treisman &
Gelade, 1980)。他認為不同型態的基本視覺特徵會透過一個快速的初始平行歷程分 別登錄在不同的特徵圖（feature map）中，例如色彩圖（color maps）、方位圖
（orientation maps）(葉素玲, 1999b)。比較特別的是，不同的顏色會登記在不同的 色彩特徵圖中，而非將所有的色彩視覺訊息登記在同一張特徵圖中，再經由這些所有 的色彩特徵圖來建構出色彩維度的視覺訊息。同樣的，不同方位如水平方位、斜角方 位以及垂直方位…等視覺訊息也會登記在不同的方位圖中。特徵圖如圖 2- 1 所示。
在所有特徵圖中，位置圖（Map of Locations）亦稱為主要位置地圖（Master map of locations），因為位置圖不僅只是記錄關於位置的訊息而已，也包含了這個位置涉 及哪些特徵圖的索引資料。注意力會先以序列的方式，針對主要位置地圖內每個被記 錄的特定位置進行掃描，此時被掃描位置的各個特徵圖所記錄的訊息會進入短期記憶，
並按各個特徵進行組合(A. Treisman & Souther, 1985)。因此當注意力探照燈掃描到 某個位置時，便可依照索引資料存取與這個位置相關的特徵圖。
特徵整合理論包含兩個階段－前注意階段以及注意階段。前注意階段以快速且平 行的方式將各種基本視覺特徵登錄在適當的特徵圖中；而注意階段則是由注意力像探 照燈一樣有次序地進行掃描，並將同一位置的特徵結合起來，整合成一個完整的物體 訊息(葉素玲, 1999b)。
關於注意力搜尋，林煜庭整理其特點如下：(林煜庭, 2008) 1. 特徵搜尋（Feature search）：
如果目標物與干擾物在某一個視覺特徵存在明顯的差異，例如紅色目標物 與一堆綠色干擾物放在一起時，搜尋就不會被干擾，此時搜尋速度會非常快速。
2. 結合搜尋（Conjunction search）：
當目標物與干擾物沒有存在明顯的視覺特徵差異時，例如字母「Ｆ」與一 堆字母「Ｅ」放在一起，此時就不是平行搜尋，而是需要使用注意力將主要位置 地圖內的各個物件循序掃描，並且將各特徵圖內的訊息結合後成為完整的物體訊 息，這樣的搜尋速度很慢，而且如果要掃描的物件越多，所需花費的時間就越久。
3. 搜尋非對稱性（Search Asymmetry）：
不同基本特徵的存在或是缺乏對視覺搜尋速度有不同的影響。Treisman 跟 Sato 的研究指出(A. Treisman & Sato, 1990)，大小的搜尋速度是最快的，其次 是顏色，再來是移動
圖 2- 1 特徵整合理論架構圖
資料來源(A. M. Treisman & Gelade, 1980)
4. 特徵抑制(（The Feature Inhibition Hypothesis）
如果預先告知要搜尋的目標，視覺系統可先將特定視覺特徵的干擾抑制住，
直接搜尋剩下的特徵。若剩下的特徵與特徵搜尋條件相符，即可進行平行式搜尋，
如此搜尋速度會加快。可是如果沒有先告知要搜尋的目標是什麼，就無法知道要 先被抑制的視覺特徵是哪一個，所以就不能採用特徵抑制的方式進行搜尋。
事實上，當學生看到畫面時，在沒有任何引導的時候，大腦就會開始自行運作，
隨意選取訊息，隨意組織，有意義的就留下來，沒意義的就自動忽略。我們希望製作 的教材可以「悅人的眼目，且是可喜愛的，能使人有智慧」(聖經創世紀 3:6)，透過 注意力的引導，讓學生可以將有限的心智資源投注在我們所期待的內容上。本研究所 設計的教材，除了進行適當切割之外，還盡可能透過顏色與突現吸引學生的注意力，
讓學生可以進行不耗費注意力的平行性「特徵搜尋」，盡可能避免耗費注意力的序列
性「結合搜尋」。並且在口語與畫面上讓學生知道要搜尋的是什麼，使學生可以很快
搜尋到特定的教學內容，而不會被其他干擾物所影響。
2-2-3 視覺搜尋與注意力對本研究之影響
學生在學習幾何說明題時，常常面對一個問題，就是要在圖形中找出適當的已知 條件。有時我們會透過顏色來表達相同的長度，如圖2- 2，這樣學生在視覺選取上，
因為具備相同的視覺特徵，很容易將等長的邊辨識出來，只要再確認中間相等的夾角，
就知道左右兩個三角形是全等的。
但若只單純用顏色區隔兩組相等的邊，學生只會看到三角形的邊，很難看到每一 個三角形，一方面是因為被著色的是邊而不是三角形本身。另一方面當圖形互相重疊，
會互相干擾。因此我們必須要將合適的子圖凸顯出來，好讓學生可以看到整體的三角 形。
林煜庭提出的解決方法就是透過開關的設計，將希望學生注意的三角形凸顯出來，
而暫時用不到的就隱藏起來，一次只顯示一個三角形，如圖2- 3，這樣可以改善圖層 相疊的問題(林煜庭, 2008)
此外，使用「突出(salience)」也幫助學生學習，Pashler 認為物件突出時，會在 感知的面向產生局部的對比，使學生的注意力被吸引過去 (Pashler, 1999)，例如顏 色變化、方向變化、物件移動、或是突然性地出現消失都是一種「突出」。這樣不只
圖 2- 2 用顏色區隔不同條件 資料來源:(林煜庭, 2008) p.40
圖 2- 3 利用開關解決圖形重疊的問題 資料來源:(林煜庭, 2008) p.41
可以減少減少學生搜尋的時間，另一方面也可以捕捉住學生的注意力。相關研究整理
徵，更能有效捕捉注意力 Hillstrom & Chai(2006) 資料來源：(李鈴茹, 2009),p.33
2-3 多媒體學習理論
傳 統 板 書 教 學 在 幾 何 推 理 單 元 上 有 許 多 的 不 方 便 ， 因 此 使 用 多 媒 體 來 輔 助 教 學 便 成 為 一 種 思 考 的 方 向 。 隨 著 科 技 發 展 ， 硬 體 的 投 影 機 、 電 子 白 板 ， 軟 體 的 動 態 幾 何 、 動 態 呈 現….， 各 類 型 多 媒 體 工 具 也 不 斷 發 展 創 新 。
我 們 在 製 作 多 媒 體 時 ， 必 須 考 慮 「 人 機 介 面 」， 也 就 是 從 學 生 的 角 度 考 慮 所 呈 現 訊 息 的 適 當 性 ， 或 者 說 ， 製 作 教 材 的 人 必 須 考 量 學 生 的 感 官 對 於 處 理 訊 息 的 限 制 ， 來 設 計 數 位 教 材 呈 現 方 式 。 因 為 真 正 影 響 學 習 成 效 的 因 素 除 了 在 於 這 些 媒 體 所 顯 示 的 內 容 外，也 包 括 了 內 容 呈 現 的 方 式 ， 因 此 本 節 將 針 對 多 媒 體 學 習 理 論 及 教 學 設 計 原 則 進 行 介 紹 。
2-3-1 多媒體學習理論的定義
多 媒 體 學 習(Multimedia Learning)指 的 是 利 用「 文 字 (Word)」與「 圖 像(Picture)」來 呈 現 教 材 內 容 的 方 式 進 行 學 習。其 中「 文 字 」有 兩 種 呈 現 方 式 ， 一 種 是 透 過 視 覺 通 道 的 印 刷 文 字 ， 另 一 種 是 透 過 聽 覺 通 道 的 口 述 文 字 。「 圖 像 」 則 區 分 為 靜 態 圖 像 與 動 態 圖 像 。(Mayer, 2002)
2-3-2 訊息處理的過程
Mayer(2009)認 為 人 類 會 透 過 耳 朵 (聽 覺 通 道 )與 眼 睛 (視 覺 通 道 )接 收 多 媒 體 訊 息 時 ， 會 依 序 進 行 以 下 三 種 認 知 處 理 過 程 ， 如 圖2- 4：
1. 選取(Select)：
當 學 習 者 接 觸 到 文 字 或 圖 像 等 多 媒 體 訊 息 時 ， 會 自 動 選 取 對 其 有 意 義 的 文 字 或 圖 像 ， 將 其 儲 存 在 工 作 記 憶 區 中 。
2. 組織(Organize)：
學 習 者 在 工 作 記 憶 區 中，將 選 取 後 的 文 字 與 圖 像 加 工 分 別 成 為 一 個 連 貫 的 、 有 整 體 性 的 語 文 模 型(Verbal Model)和 圖 像 模 型 (Pictorial Model)。
3. 整合(Integrate)
最 後，學 習 者 在 工 作 記 憶 區 中，將 語 文 模 型 及 圖 像 模 型 加 以 配 對 、 連 結，並 與 長 期 記 憶 中 既 有 的 基 模 加 以 融 合，形 成 外 在 關 聯，這 就 是 多 媒 體 學 習 的 認 知 過 程 。
圖2- 4 多 媒 體 學 習 認 知 模 型 資 料 來 源: 廖 真 瑜 (2011) p.9
2-3-3 多媒體學習理論之認知假設與教學設計原則
Mayer 在 2002 年 的 論 文 中，提 出 多 媒 體 學 習 的 架 構，並 提 出 三 個 基 本 假 設 ： 雙 通 道 假 設(Dual-channel Assumption)、 有 限 容 量 假 設
(Limited-capacity Assumption)及 主 動 處 理 假 設 (Active-processing Assumption) (Mayer, 2002)。 在 此 分 述 如 下 ：
1. 雙通道假設(Dual-channel Assumption)
根 據 Paivio 的 雙 碼 理 論 （ Dual-coding Theory） ， Mayer 認 為 人 類 視 覺 通 道 與 聽 覺 通 道 是 獨 立 分 開 的 ， 當 訊 息 被 呈 現 到 眼 睛 時 ， 該 訊
根 據 Paivio 的 雙 碼 理 論 （ Dual-coding Theory） ， Mayer 認 為 人 類 視 覺 通 道 與 聽 覺 通 道 是 獨 立 分 開 的 ， 當 訊 息 被 呈 現 到 眼 睛 時 ， 該 訊