第三章 演算法模擬
3.3 方法比較
在本節中我們把由 min max 指標下，所得到有限長度正數列頻譜模擬結果，
和在最小平方差指標下[8][9]，轉化為二維規劃最佳化問題，利用取樣頻率法所 設計出的頻譜，和其最大誤差|δ |做比較，並將結果做討論。
3.3.1 範例比較
在這裡所要比較的方法是利用最小平方差(Least Square Error)的指標，化為 二維規劃最佳化問題，我們把這個問題大略說明如下︰
這個原最佳化問題表示法為︰
] 0 [ 0
) cos(
) ( .
.
) cos(
) ( )
( ) ( min
0
2
0 0
π ω
ω
ω ω ω
φ
π ω
∈
∀
≥
−
∑
∫ ∑
=
= N
n
N
n
n n a t
s
d n n a w
) (ω
w 為權重函數(weighted function)，利用此權重函數可以設計出不同規格之頻 譜，φ(ω)為所要近似的理想頻譜。
在這裡
∈
= ∈
] [
0
] 0 [ ) 1
( ω ω π
ω ω ω
φ
s p
令x=[a(0),a(1),a(2),La(N)]T,s(ω)=[1,cos(ω),cos(2ω),L,cos(Nω)]T, 因此可將這個問題簡化為二維規劃型式為︰
] 0 [ ,
0 ) ( .
2 min1
π ω
ω ≥ ∈
+ x s t s
x c Qx x
T T T
其中
∫
∫
−
=
= w s s d
Q T
ω π
ω ω
ω ω ω
0 (ω) ( ) ( ) 2
1
在這個問題裡由於直接解此二維規劃問題，取樣頻率後頻譜上會有某些部位，無
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
min max 指標 方法一 方法二 方法三
圖3.3-1︰x∈R5利用min max 指標所設計出之濾波器與最小平方差指標之比較
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
min max 指標 方法一 方法二 方法三
圖3.3-2︰x∈R7利用min max 指標所設計出之濾波器與最小平方差指標之比較
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
min max 指標 方法一 方法二 方法三
圖3.3-3︰x∈R9利用min max 指標所設計出之濾波器與最小平方差指標之比較 3.3.2 比較結果
在此所比較的規格是在0≤ω ≤ωp及ωs ≤ω ≤π，ωp =0.3,ωs =0.5的範圍 內，我們發現利用Min max 指標所得到的最大誤差|δ |值，可以小於由最小平方 (least square)指標所設計的濾波器之最大誤差。在 min max 指標下，由於所設計 出之濾波器在通帶和滯帶的近似誤差是均勻分佈的，這種指標設計出的濾波器會 有等漣波的特性，使得所有的漣波誤差為等值。有了這個特性以後，我們可以發 現這種濾波器最大的好處在於，通帶及滯帶的邊緣頻率，可以保證也是最佳的誤 差，因為通帶和滯帶邊緣頻率是交替頻率，然而往往其它方法所設計出的濾波 器，通帶及滯帶邊緣頻率上，會差生極大最大誤差，且無法掌握最大誤差值，在 此之下這種等漣波的設計方法，最大誤差便能夠很容易有最佳誤差上的性能優
勢，以下我們將最大誤差之比較列表如下︰
Min max 指標︰[ωp,ωs]=[0.3*π,0.5*π] 系統
passband︰
|
|δ 值 系統 Stopband︰
|
|δ 值 Min max 指標 x∈R5 0.0753 x∈R5 0.151
方法一 x∈R5 0.268 x∈R5 0.2031
方法二 x∈R5 0.128 x∈R5 0.157 方法三 x∈R5 0.117 x∈R5 0.161
表3.3-1 x∈R5最大誤差 系統
passband︰
|
|δ 值 系統 stopband︰
|
|δ 值 Min max 指標 x∈R7 0.0391 x∈R7 0.0782
方法一 x∈R7 0.194 x∈R7 0.0922
方法二 x∈R7 0.071 x∈R7 0.135 方法三 x∈R7 0.042 x∈R7 0.161
表3.3-2 x∈R7最大誤差 系統
passband︰
|
|δ 值 系統 stopband︰
|
|δ 值 Min max 指標 x∈R9 0.0225 x∈R9 0.0449
方法一 x∈R9 0.081 x∈R9 0.0369
方法二 x∈R9 0.065 x∈R9 0.0701 方法三 x∈R9 0.025 x∈R9 0.0846
表3.3-3 x∈R9最大誤差
在這裡我們觀察可得，當K=1 且修正為正數列時，其最大誤差值產生在滯 帶上，而這個結果其最大誤差可以比其它方法的最大誤差還好。但在此處我們希 望利用等漣波設計方法，來得到一個具有最佳最大誤差的正數列。而我們知道可 以藉由改變K 值，來得到通帶和滯帶最大誤差比率，因此我們再選定一個新的 K
為正數列時，滯帶上的最大誤差為通帶的2 倍，所以我們選擇了 K=2，此 K 值 可以使得通帶和滯帶在提升後，其最大誤差會相等，選定後再重新分析這個問題。