研究背景

第一章緒論

1.1 研究背景

一串數列的離散傅立葉轉換，亦稱為傅立葉頻譜或簡稱為頻譜，若其頻譜在所限定的頻率之內皆大於或等於零，如假設ω∈[0,π]，而在ω∈[0,π]內此數列的頻譜沒有負的部分，則這個數列即可稱之為正數列。本論文就是要找到一串有限長度正數列，利用min-max 的評判標準[1]，去近似一個已給定的頻譜(例如低通理想濾波器)，而得到將誤差最大值最小化的最佳頻譜，再經處理後即可得正數列頻譜。而此有限長度正數列頻譜即可作頻譜分解，並以 FIR(finite impulse response)系統實現。

首先我們討論min max 指標的數學表示式，再加上限制條件下，我們可將頻譜設計的問題表示為︰

∑

=−

−

∈

≥

−

L n

n j j

j j

e n h e

e A t s

e A e

H W

ω ω

π ω

π ω ω

] [ )

(

] , 0 [ 0

) ( . .

)) ( ) (

| ) ( max min{ [0, ]

(1.1-1)

表示式中A(e^j^ω)為我們所要找的頻譜，H(e^j^ω)為給定的理想頻譜，而W(ω)為權重函數(weighted function)，然而對每一個ω ，A(e^j^ω)≥0 ω∈[0,π]，每一頻率ω

均有一個限制，因此限制條件有無限多個，因此文獻上我們稱此問題為半無限維規劃問題。

在這裡權重函數我們定義為︰







≤

= ≤

π ω ω

ω ω ω

K p

, 1

0 1 , )

( , (1.1-2)

其中ω_p、ω_s分別稱為通帶邊緣頻率(passband edge frequency)及滯帶邊緣頻率 (stopband edge frequency)，藉由權重函數中 K 值的變化，可以讓我們得到不同比率的δ 、₁ δ 近似誤差值，而此特性對於得到正數列最佳頻譜，將有極大的用途。 ₂ 1.2 章節介紹

第二章裡我們先介紹正數列的一些基本特性，以及本論文中設計方法 min max 指標的定理基礎和 Parks-McClellan 利用此定理基礎下所發展出的演算法，

最後再介紹頻譜分解理論。第三章裡我們將利用這一套演算法，模擬出設計結果，並且求出具有最佳之最大誤差正數列頻譜，其中再和一些其它方法的模擬結果做最大誤差上的比較。第四章則為本論文之結論。

第二章定理及演算法

在本章節裡我們在2.1 節中首先介紹正數列特性，接著 2.2 節再介紹 min max 指標問題所需使用解多項式方法的交替定理，和此定理其應用在設計濾波器上出現的性質，而交替定理並沒有確切指出如何解得濾波器。因此2.3 節我們再討論 Parks-McClellan 疊代演算法，這個演算法將會實現交替定理應用到濾波器上的設計。2.4 節再介紹分解理論來分解所設計出之頻譜，即可以 FIR 系統做近似。

2.1 正數列的特性

我們稱一串數列

{

x(n)

}

為正數列其數學式子上的定義，即為：

∑

^∞

−∞

− ≥

n j

j x n e

X( ^ω) ( ) ^ω 0 (2.1-1) 也就是說若且為若其離散傅立葉轉換大於或等於零，在此需注意的一點 (2.1-1)之定義並非指數列

{

x(n)

}

內之元素皆為正數，而是指這串數列的離散傅立葉轉換後的函數值大於或等於零。而一串數列所有元素皆為非負仍有可能具有負的離散傅立葉轉換函數。然而正數列總是有實數值的離散傅立葉轉換，如此一來，此正數列同時也必須遵守共軛對稱(Conjugate Symmetric)性質，亦即：

) ( ) ( n x n

x − = ∀n (2.1-2)

x 表示x的共軛複數。我們以一個代數上的表示法來說明正數列的特性，此表示法即是Parseval’s 關係式的應用，如下所示:

∑ ∑

∫

∞

−∞

∞

−∞

−

k m

j j

k w m w k m x

d e W e X

) ( ) ( ) (

) ( ) 2 (

1 ^π ²

ω ω

π (2.1-3)

其中 X(e^j^ω)和W(e^j^ω)為任意兩數列

{ }

x(n) 和

{

w(n)

}

的離散傅立葉轉換。

(2.1-3)是構成正數列的一個必要但不是充分條件，因為有很多數列雖滿足(2.1-3)

卻不是一個正數列。假如X(e^j^ω)為離散傅立葉函數轉換的非負實數，則(2.1-3) 即為非負實數值。因此建立了如下正數列的基礎特性[3]。

定理 2.1.1 一串共軛對稱數列

{ }

x(n) 為正數列之充分必要條件為

∑ ∑

^∞

−∞

∞

−∞

≥

−

k m

k w m w k m

x( ) ( ) ( ) 0 (2.1-4) 對於每個複數數列

{

w(n)

}

，上述定理提供了我們對於測試數列一串無限數列是否

為正的方法，我們進而可以將之利用到有限數列上，把(2.1-4)改為如下所示︰

∑ ∑

=− =−

≥

L −

L k

L m

k w m w k m

x( ) ( ) ( ) 0 (2.1-5) 我們把(2.1-5)中的共軛對稱數列

{

^x⁽ⁿ⁾

}

^{轉換成相關的}k 階資料矩陣(date matrix)來考量。這個矩陣具有下列型式︰













−

= −

) 0 ( )

1 ( ) (

) 1 ( )

0 ( ) 1 (

) ( )

1 ( ) 0 (

x k

x k x

k x x

x X_k

L M M

L L

(2.1-6)

(2.1-5)的(k+1)×(k+1)的資料矩陣是一個Hermitian-Toeplitez 的矩陣，而 Hermitian-Toeplitez 矩陣我們可以利用(2.1-5)來得到。

下列我們做簡單的推導，

[

矩陣我們可得以下定理。

定理 2.1.2 共軛對稱數列

{ }

x(n) 是正數列，則若且唯若其相關資料矩陣 ,L

2 , 1 , 0 ,k =

X_k 為半正定。

由(2.1-5)所示，這個數列稱之為正數列的條件為大於等於零，因此(2.1-9) 0

) ( )

(k ^*X W k ≥

W _k ，其中^W⁽^k⁾⁼

{

^w⁽ⁿ⁾

}

^{為任意複數數列，因此}Xk ^≥⁰，也就是說

若X 為半正定則這個數列即為正數列。 _k

這個定理可以讓我們更明確的測試出，一串數列是否為正數列，然而這裡有一項需要注意的是，在測試這串數列否為正數列時，這個數列的所有資料矩陣都應該是半正定。也就是說這個數不論取數列中對稱的任何一段數列，其X 都應_k 該是半正定。因此若整個資料矩陣族皆為半正定時，此數列不論是有限或無限長度，都可稱之為正數列。

在介紹完正數列的定義以及測試正數列的方法後，我們接下來再介紹濾波器設計上，所需使用到的定理基礎也就是交替定理[1]和設計的演算法。

2.2 交替定理(Alternation Theorem)

假設 F 表示包含在實軸 x 上之封閉子集所成的不連續聯集。P (x)表示一個L 階多項式，如下所示︰

∑

= ^L

k k kx a x

)

( (2.2-1) 在此我們定義一個誤差函數E_p(x)，使其具有以下的表示方式︰

)]

( ) ( )[

( )

(x W x H x P x

E_p = _p _p − (2.2-2)

) (x

H_p 為一個給定之理想函數，它在 F 上連續；W_p(x)是一個權重函數，在 F 上 連續。此外我們再定義出最大誤差|| E 為︰ ||

| ) (

| max

||E E_p x

x∈F

= (2.2-3) 在定理中指出，當一個使|| E 為最小的唯一 L 階多項式|| P(x)，若且唯若條件為

|| E 最少有 (L+2) 個 x_i 在 F ，使得 x₁ <x₂ <K<x_r₊₂ ，而且

) 1 ( )

(x E x E

E_p _i =− _p _i+ =± ，i=1,2,...,(r+1)。也就是說當我們找到了一個 L 階多項 式P(x)，而這個多項式在不連續聯集 F 中，最少有(L+2)個端點存在，且此

) 2

(L+ 個極端點之誤差絕對值大小皆相等，並具有一正極端值後為一負端極值順 序特性者，則此 L 階多項式P(x)即為一個使得(2.2-2)中E_p(x)為最大，且為唯一的多項式解。

定理 2.2.1

在一個 L 階的多項式之最大可能交替數目是(L+3)個且最少有(L+2)個交替。

我們對這個定理做簡單說明如下，由於在等漣波濾波器的設計中，一個 L 階的多項式最多會有(L−1)個極端值，而在ω=0,ω_p,ω_s,π 亦有可能有交替，所以最大可能的交替數目為(L−1)個極端值，再加上四個邊緣頻率，因此最多會有

) 3

(L+ 個交替，而由交替定理可知最少有(L+2)個交替，若交替數達到最大可能

交替數目(L+3)個時，則此濾波器也可稱為超越漣波濾波器(extraripple filter)。

在此我們考慮一個三角多項式

∑

= ^L

) (cos )

(cosω ω

) ) (cos )

1 ( ( sin

) ) (cos (

) sin (cos

1 0

∑

−

= +

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

⇒

k k

a k

a d k

ω ω

ω ω ω

(2.2-4)

其在ω=0及π 兩點上總是零，而(L−1)次多項式的(L−1)個根也會使(2.2-4)為零，在此交替頻率已有(L+1)個，因此再來討論ω_p和ω_s是否也必定為交替，由於在交替定理中，我們已知交替頻率點上，其誤差必須要在δ =±|| E||間，且ω_p 和ω_s為相連接之交替頻率，也就是說|E(ω_p)|=−|E(ω_s)|，因此若ω_p和ω_s其中

有一個不為交替頻率會連帶移走兩個交替，而使得交替頻率少於L+2個，不合定理。

2.3 派克司-麥克連演算法(Parks-McClellan algorithm) 2.3.1 Parks-McClellan 演算法介紹

交替定理提供了誤差在 min max 下是否具最佳性的充分且必要條件。而這個定理並沒有明確告訴我們，如何尋找最佳濾波器，但是這個條件卻提供了尋找濾波器的基礎，而 Parks-McClellan 演算法[1]則提供了我們，利用交替定理為基礎下所發展出的一套疊代設計方法。

以下我們介紹交替定理如何套用在濾波器設計上，以及Parks-McClellan algorithm 演算法做詳細的介紹。通常我們可以先考慮設計一個零相位的濾波器，

也就是說濾波器之係數有以下性質︰

] [ ]

[n h n

h = − n∈ (2.3-1) R 而這個濾波器可以假設為︰

∑

=−

在Parks-McClellan 演算法中，它的目的是為了把一個濾波器的設計問題轉換成一個多項式近似問題，再利用解多項式的方法而來得到所要求的濾波器。因此就必須將(2.3-5)改成多項式的型式。明確的說，就是把A(e^j^ω)中的cos( nω )能夠表示成為cos(ω)的多項式，因此在這個演算法裡套用了︰

)

ωp

ω ≤

≤

0 (通帶)處的交替頻率ω_i，A(e^j^ωⁱ)= 1±Kδ，在ω_s ≤ω≤π(滯帶)處交替

頻率ω_i，A(e^j^ωⁱ)=±δ ，且E(ω)≤δ,ω∈[0 π]。如果有E(ω)≥δ則表示這並非是最佳的，必須再找一組新極端點，而我們所找的新極端點為誤差曲線(在此我

們稱還未得到最佳誤差濾波器時，疊代過程中所得到的曲線為誤差曲線)中 )

(L+ 個最大尖點頻率，重新計算直到找到最大誤差為止，而這個重複的程序也一定可以收斂，並找到最佳濾波器。在這裡Parks-McClellan 運用 Lagrange 內插法，得到可以直接求得A(e^jw)和E(ω)的公式。

∑

= +

−

= ₁ −

1 1

)] [(

)

( _L

k k

k L

k k k j

x x

m x C x

m e

A ^ω (2.3-13a)

其中

) (

) 1 ) (

( ¹

k k j

k H e W

C ^k

ω − − ⁺δ

= (2.3-13b)

∏

⁺

≠= = − +

= ¹ −

2) ) (

( 1

k i i

L k k i k

k b x x

m x (2.3-13c)

其中ω_k,k =0,1,...,L+1，為原先所猜測的極值頻率，但並不限定是前(L+1)個，

也就是說ω_k只要是這一組極值頻率中任意L+1個頻率即可。

我們將整體設計流程整理如下，首先我們將所要設計的頻譜A(e^j^ω)表示式改換成多項式形式，並且套用至交替定理上可得(2.3-11)，而由(2.3-11)為基礎下 Parks-McClellan 找出了一組公式，此公式可以得出演算法每次疊代時所需之數據，也就是誤差δ 值和新的誤差曲線，在這些數據的獲得後，我們即可做演算法

誤差濾波器後，我們再做第三章所介紹之處理方法，即可得到我們所要的正數列頻譜。下一章節我們將把演算法疊代過程以條列表示出，並展示其流程圖。

2.3.2 Parks-McClellan 演算法疊代過程及流程圖

2.3.1 演算法

1、一開始先猜測L+2個交替頻率，ω_i,i=0,1,2,L,(L+2)，而這個L+2個頻率，

包含通帶邊緣頻率ω_p 和滯帶邊緣頻率ω_s。 2、此L+2個頻率利用(2.3-12)可計算出δ值。

3、將猜測之交替頻率中L+1個極端點頻率代入(2.3-13)中，可以得到A(e^j^ω)。 4、由A(e^j^ω)可以算出E(ω)值，若| E(ω)|≥δ ，尋找A(e^j^ω)的極端點。

5、比較新找出的極端點是否為原先之頻率，若不是則重新 2 的步驟。

6、演算終止，所得到的δ值即為最佳值，而此L+2個頻率即為交替頻率。

以下我們將這個演算法展示出其流程圖。

任意猜測(L+2)個起始極端點頻率

內插(L+1)個點以得到A(e^jw)

計算E(w)當|E(w)|≧δ 時找出區域極大值

極端點的數目大於(L+2)?

檢查極端點是否改變了

最佳近似

保留(L+2)個最大極端點計算在極端點集上

的最佳δ值

不變是

不是

改變

圖2.3-1 演算法流程圖 2.4 頻譜分解定理

在介紹頻譜分解定理[3]之前，我們首先要將一串數列轉換到 z-domain 來分析，因為在 z-domain 下我們可以更了解數列上的特性，以及更容易分析這串數列，在此我們舉出一串典型的共軛對稱數列來敘述這個定理，其 z 轉換表示如

下︰

∑

− +

= ^q

n x n z

z n x x

z X

] ) ( )

( [ ) 0 ( )

( (2.4-1)

而由於此數列具有共軛對稱的特性，因此我們可以得到︰

∑ ∑

= =

− −

− + = + + =

= ^q

n n

n x n z x x n z x n z X z

z n x x

z X

1 1

1) ( ] ) ( )

( [ ) 0 ( ] ) ( )

( [ ) 0 ( )

( (2.4-2)

其中x(0)= x(0)為實數取共軛相等且z= ，而由(2.4-2)我們可得到若z z 是₀ X(z)

的一個零點(zero)，則其共軛倒數(Conjugate Reciprocal) 0¹

非落在單位圓上便會以共軛倒數成對出現。

定理 2.4.2 分解理論(Factorization Theorem)

一串有限長度2q+1的正數列

{

^x⁽ⁿ⁾

}

若且為若其 z 轉換可被因式分解為下：

∏

− −

−

= ^q

kz z z

z z

2 (1 )(1 )

)

( α (2.4-6)

此處α²為一正數，由(2.4-6)我們可以發現一個正數列的特性，也就是其在單位圓上的零點會以偶數重數出現，如2、4、6….個，因此我們可以比較出正數列以及一般共軛對稱數列的不同點，就在於單位圓上零點，正數列會出現偶數個數，而一般共軛對稱數列則奇、偶數重數都有可能，如2、3、4…個出現。

利用(2.4-6)我們可以得到以下型式︰

) ( ) ( )

(z =B z ⋅B z⁻¹

X _q _q (2.4-7) 其中

∏

−

− = + + +

−

= ^q

q k

q z z z b b z b q z

1) (0) (1) ( )

1 ( )

( α L (2.4-8)

∏

− = ^q − = + + +

q k

q z z z b b z b q z

1) (1 ) (0) (1) ( )

( α L (2.4-9) 在此我們必須注意到一點，也就是(2.4-8)和(2.4-9)之組合解非唯一，而這個原因

和零點z 及_k z 有關，也就是說當我們沒有限定⁻k¹ B_q(z)內的零點，皆為單位圓內或

在文檔中最小最大最佳化頻譜近似FIR濾波器設計 (頁 10-0)

第一章 緒論

1.1 研究背景

∑

第二章 定理及演算法

{

}

∑

{

}

∑ ∑

∫

{ }

{

}

{ }

∑ ∑

{

}

∑ ∑

{

}

[

{ }

{

}

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∏

∑

∑ ∑

{

}

∏

∏

∏

第一章緒論

第二章定理及演算法