第三章 演算法模擬
3.4 最佳正數列
其原始數列和修正後之正數列分列如下，選擇K=2 重新分析︰
系統 原始數列 2
2 1 =
= δ
K δ ，ωp =0.3*π,ωs =0.5*π
R5
x∈ [0.4069,0.3098,0.1073,-0.0366,-0.0668]
R7
x∈ [0.3934,0.2951,0.0901,-0.0540,-0.0675,-0.0163,0.0223]
R9
x∈ [0.3941,0.2967,0.0930,-0.0505,-0.0614,-0.0039,0.0299,0.0206,-0.0042]
表3.3-4︰原始數列 系統
passband
|
|δ 值 1 系統 stopband
|
|δ 值 2
R5
x∈ 0.1182 x∈R5 0.0591 R7
x∈ 0.0674 x∈R7 0.0337 R9
x∈ 0.0342 x∈R9 0.0171 表3.3-5︰原始數列最大誤差|δ | 系統 正數列
R5
x∈ [0.4400,0.2925,0.1013,-0.0346,-0.0631 ] R7
x∈ [0.4132,0.2855,0.0872,-0.0522,-0.0653,-0.0158,0.0216]
R9
x∈ [0.4043,0.2917,0.0914,-0.0497,-0.0604,-0.0038,0.0294,0.0203,-0.0041]
表3.3-6︰正數列 系統 |δ |值
R5
x∈ 0.111 R7
x∈ 0.0652 R9
x∈ 0.0336
表3.3-7︰正數列最大誤差|δ |值
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R5 K=2 正數列頻譜 R5 K=2 原始數列頻譜
圖3.3-4︰x∈R5原始數列與正數列模擬結果
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R7 K=2 正數列頻譜 R7 K=2 原始數列頻譜
圖3.3-5︰x∈R7原始數列與正數列模擬結果
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R9 K=2 正數列頻譜
令z=ejω
[0.2730 0.4057 0.3503 0.1170 -0.0874 -0.1067 -0.0167 0.0967 -0.0150]
我們再把這個結果和其它方法的最大誤差做比較，比較可得︰
系統 passband︰
|
|δ 值 系統 stopband︰
|
|δ 值 Min max 指標 x∈R7 0.0652 x∈R7 0.0652 方法一 x∈R7 0.194 x∈R7 0.0922 方法二 x∈R7 0.071 x∈R7 0.103 方法三 x∈R7 0.042 x∈R7 0.135
表3.3-9︰x∈R7最大誤差比較 系統
passband︰
|
|δ 值 系統 stopband︰
|
|δ 值 Min max 指標 x∈R9 0.0336 x∈R9 0.0336 方法一 x∈R9 0.081 x∈R9 0.0369 方法二 x∈R9 0.065 x∈R9 0.0701 方法三 x∈R9 0.025 x∈R9 0.0846
表3.3-10︰x∈R9最大誤差比較
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R5 K=2 min max 指標 R5 K=2 方法一 R5 K=2 方法二 R5 K=2 方法三
圖3.3-7︰x∈R5 K 值設定為 2 時的比較
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R7 K=2 min max指標 R7 K=2 方法一 R7 K=2 方法二 R7 K=2 方法三
圖3.3-8︰x∈R7 K 值設定為 2 時的比較
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R9 K=2 min max 指標 R9 K=2 方法一 R9 K=2 方法二 R9 K=2 方法三
圖3.3-9︰x∈R9 K 值設定為 2 時的比較
K=2 時通帶和滯帶之最大誤差相等，且此時最大誤差值比 K=1 時之最大誤差還 小，因此在比較後仍舊有較佳之最大誤差，在此處我們希望能夠驗證出K=2 時，
是否就為正數列最佳最大誤差值，因此我們再分別模擬出，大於K 值及小於 K 值的例子討論它。
R5
x∈ K 值 |δ |值 passband︰
|
|δ 值 stopband
1 0.0753 0.151
1.5 0.0893 0.119
2 0.111 0.111
2.5 0.1319 0.105
3 0.1507 0.100
表3.3-11 x∈R5K 值變化之最大誤差|δ |值 R7
x∈ K 值 |δ |值 passband︰
|
|δ 值 stopband
1 0.0390 0.0782
1.5 0.0531 0.0708
2 0.0653 0.0653
2.5 0.0754 0.0603
3 0.0845 0.0564
表3.3-12 x∈R7K 值變化之最大誤差|δ |值 R9
x∈ K 值 |δ |值 passband︰
|
|δ 值 stopband
1 0.0225 0.0449
1.5 0.0288 0.0384
2 0.0336 0.0336
2.5 0.0374 0.0300
3 0.0408 0.0272
表3.3-13 x∈R9K 值變化之最大誤差|δ |值
我們將各個K 值通帶和滯帶之最大誤差分別圖示之︰
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R5 K=1 R5 K=1.5 R5 K=2 R5 K=2.5 R5 K=3
圖3.3-10 x∈R5各K 值最大誤差
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R5 K=1 R5 K=1.5 R5 K=2 R5 K=2.5 R5 K=3
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R5 K=1 R5 K=1.5 R5 K=2 R5 K=2.5 R5 K=3
圖3.3-12 x∈R5各K 值滯帶最大誤差
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R7 K=1 R7 K=1.5 R7 K=2 R7 K=2.5 R7 K=3
圖3.3-13 x∈R7各K 值最大誤差
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.9
0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R7 K=1 R7 K=1.5 R7 K=2 R7 K=2.5 R7 K=3
圖3.3-14 x∈R7各K 值通帶最大誤差
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R7 K=1 R7 K=1.5 R7 K=2 R7 K=2.5 R7 K=3
圖3.3-15 x∈ 各 K 值滯帶最大誤差 R7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R9 K=1 R9 K=1.5 R9 K=2 R9 K=2.5 R9 K=3
圖3.3-16 x∈R9各K 值最大誤差
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R9 K=1 R9 K=1.5 R9 K=2 R9 K=2.5 R9 K=3
圖3.3-17 x∈R9各K 值通帶最大誤差
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Amplitude
Zero-Phase Response
R9 K=1 R9 K=1.5 R9 K=2 R9 K=2.5 R9 K=3
圖3.3-18 x∈R9各K 值滯帶最大誤差
在我們設定K=2 時，等漣波濾波器原始數列的最佳最大誤差，產生在通帶 部位，而在修正為正數列後，因為通帶和滯帶最大誤差為等值，且比原始數列之 最大誤差還小(因為乘上最 1/(1+δ)倍)，所以這個正數列之最大誤差，仍舊擁有 原始數列最大誤差的最佳性。在我們由不同K 值模擬結果上來討論，由以上圖 表我們可以得到一個結論，當K 值設定為 2 時，其誤差在修正為正數列後之最 大誤差為最佳，也就是說K=2 時，正數列最大誤差為最佳，因為當我們將 K 值 設為大於或是小於2 時，必定有一邊通帶或滯帶之最大誤差增加，因而大於 K=2 時之最大誤差，所以在K 值設定為 2 時，我們可以得到一組具有最佳最大誤差 之正數列頻譜。
第四章 結論
本論文裡所探討的是濾波器設計問題，在我們所設計的濾波器中，我們希望 它在通帶及滯帶部位能夠有較佳的最大誤差，因此選用了min max 指標來設計，
在利用Parks-McClellan 演算法求得頻譜後，再做處理可得新的頻譜，詳細解釋，
就是說利用Parks-McClellan 演算法，可以得到一個等漣波A(ejω)，而我們目的 是希望得到在頻率區段ω∈[0,π]中，皆為正的正數列頻譜，因此再加上A(ejω)≥0 之限制條件，在這裡我們解決這個問題的方法為，將所得到的A(ejω)平移上升提 升δ值，整體再乘上1/(1+δ)，而可得(3.1-7)之正數列頻譜。由於等漣波濾波器 的設計方法，我們可以任意調整通帶和滯帶誤差間的比值K 時，會有不同的最 大誤差產生，在此我們分別做了K=1，K=2 的模擬，並將結果做適當的分解，再 以FIR 系統做近似。設定 K=2 重新分析的原因在於，我們希望此正數列之通帶 和滯帶之最大誤差為等值，此處我們也做了不同大小之K 值模擬，並分析這個 結果，由K=2 模擬結果中我們可以得到一項結論，也就是當通帶和滯帶最大誤 差等值時，我們可以產生最佳解。
在這裡我們把這項結論說明之，在K=2 時我們可以得到，具有最佳最大誤 差正數列頻譜，原因在於當K 值設定大於 2 時，其通帶具有最大誤差，而此誤 差大於K=2 時之最大誤差﹔當 K 值設定小於 2 時，其滯帶具有最大誤差，此滯 帶最大誤差也大於K=2 時之最大誤差，也就是說 K 值設定為大於或小於 2 時，
其最大誤差必定在通帶或滯帶上，且大於K=2 時的最大誤差，有此結論所以當
K=2 時我們可以得到，其具有最佳最大誤差之正數列頻譜。
本論文中雖然我們可設計出，具有最佳最大誤差之正數列，此處我們並沒有 以數學式加以推導和證明，在此我們希望證明出當K 值遞減時，其通帶會慢慢 遞增，而在K 遞增時其滯帶會慢慢遞增，而在 K=2 時會得到最佳誤差，而由圖 表及比較之結果而言，此設計方法也確實可以得到一套具有最佳最大誤差之正數 列設計方法。
參考書目
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Impulse Response Digital Filters”IEEE Trans.on Audio And Electroacoustics,vol.AU-20,NO. 3
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