考慮非匹配的系統參數不確定因素

設計控制律

Γ

I (3.86) 其中Γ 為系統(3.80)非匹配參數不確定因素的效應，且Γ 會隨狀態改變，

我們只能試著調整 D 使得Γ 的效應最小。

當我們考慮 ， 為常數時，我們選取 D= ，則

Γ I I

由[06]中證明可得 I 1，故

Γ

由上式可知若當我們考慮 ， 為常數時，我們選取 D= 時，非匹

配的參數不確定因素不會被放大。

情況 B： D 且 D

我們欲求系統在順滑模式時對應的控制律v 。當系統處於順滑模式下時，

根據ISMC 設計步驟[5][6]，系統(3.94)的順滑平面選取如下：

e u α α

u α 2u α α

u u

u α α u

Γ u α α u

(3.98)

其中Γ 為系統(3.94)非匹配參數不確定因素的效應，且Γ 會隨狀態改變，

我們只能在 且 的條件下調整 值使得Γ 的效應最小。

第四章

應用於變壓器控制電力系統的電壓 調節研究

在本章中我們將應用3.2 節中設計的控制律於 Dobson 和 Chiang[8]的電力系 統模型，在原始模型中加入一個變壓器[7]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，以 變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統負載電壓能穩定在我們 希望的電壓值，來達到電壓調節的功能及內部狀態穩定的目的。在4.1 節中，我 們整理Dobson 和 Chiang 的電力系統模型加入變壓器之系統動態方程式。在 4.2 節中，我們將3.3 節針對單輸入單輸出的二次多項式系統設計的控制律應用於電 力系統中，並對模擬結果進行討論與分析。在4.3 節中，我們將比較 ISMC、SMC 及CLF 控制律應用於電力系統時的性能表現。

4.1 系統動態方程式

f 43.3333 93.3333x 334.1297x 666.6667x cos 0.0873 x

f 7.0327 14.5229x 53.0961x

104.5752x cos 0.0873 x 7.8431x sin 0.0873 x

p 0

4.2 控制律設計 0 284.1297 666.6667 cos 0.0873 x 33.3333Q

166.6667 cos 0.0873 x x u 166.0325u (4. 7)

圖4. 1: u 為正值，平衡點 與u 對Q 的變化

4.2.2 穩定點分析

a 666.6667sin 0.0873 x 166.6667sin 0.0873 x x u 將由 4.2.1 節所得的平衡點x 、x 與控制律u 、u 分別代入(4. 9)，其中

圖4. 3: (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為u ，Q 對三個特徵值的影響

x 0 x 1 ， t 的值會隨Q 變化，x 為系統狀態。將(4. 10)與(4. 11)代入(4.

26.2152 e 1 u 5.2288Q 其中u 為標稱控制(nominal control)，我們依照 3.3.1 節中利用LQR設計控制律u 使系統(4. 13)區域漸進穩定。

在 3.3.2 節中我們分別考慮情況A、情況 B 與情況 C 下，利用 ISMC 設計 控制律v，使系統在有干擾下能夠克服干擾使狀態誤差收斂到零。因為系統(4. 12) 不存在矩陣 滿足情況A 與情況 C，但存在矩陣 D 滿足情況 B，故我們考慮系統 屬於情況B 下設計控制律。

以下我們考慮Q 固定且在情況 B 下， 0且 0 ，因為

其中 設計控制律如下

v u ρ σ

| σ|, 若σ 0

u , 若σ 0

(4. 18)

其中系統(4. 12)只考慮匹配的不確定因素則ρ |α |；若系統(4. 12)考慮非匹配 的不確定因素則ρ |α | _| ^{| |} _|

4.2.4 模擬結果

且取邊界寬度度(boundary layer width) ε 0.01。下面的討論我們首先對系統沒

有參數不確定因素與外在干擾，即 的情況來討論，再來針對 且系統只

的目的。

4.2.4.3 系統有非匹配的參數不確定因素與外在干擾( )

我們考慮ΔQ 0且d 0的情況，選取 0 ,0.1,1, 0.1579 且選定 Q 9，ΔQ 0.2，由於Q 為定值，使無干擾系統電壓固定在 1，所得的平衡 點與u 皆為固定值。選定初始狀態 0.3,0.5,0.2,0.8 進行模擬，模擬結果如圖 4. 12。圖 4. 12(a)是控制過程中的Q 值，圖 4. 12 (b)- 圖 4. 12 (e)分別是四個狀態 的變化情形，圖4. 12 (f)- 圖 4. 12 (i)分別是四個狀態誤差的變化情形，圖 4. 12 (j) 為順滑變數σ，圖 4. 12 (k)為控制過程中的 u 值。由圖 4. 12 (f)- 圖 4. 12 (i)可以看 出非匹配的參數不確定因素造成狀態誤差 0.005, 0,0.0026, 0.035 ，雖然

，但e , e , e , e 的絕對值都能收斂至某個範圍內。在圖 4. 13 中我們選取 0 ,0.38,1, 0.1579 時，狀態誤差 0.0004,0, 0.0012, 0.00001 ，由此 可見我們可能可以透過 D 的選取降低非匹配效應(unmatched effect)，然而如何有 效的選取 D 使非匹配效應能最小，將是未來研究方向。

4.3 控制律比較

且取邊界寬度度(boundary layer width) ε 0.01。

4.3.2 CLF 控制律設計

其中a ^T , t ，b ^T , t ，c ^T , t 。一般來說是 無 法預測的。

a 0.01660325e 26.2152e e 1 且e 代表負載電壓的相角誤差，

e 的值介在0~2π，可知a 0發生在e 0，滿足假設 2. 4。

4.3.3 LQR 與 ISMC 控制律比較

4.3.4 SMC、CLF 與 ISMC 控制律比較 段(reaching phase)會造成閉迴路系統不穩定的現象，而 ISMC 的順滑變數一開始 就在順滑平面上，所以不會有迫近階段可能發生的不穩定現象。圖4. 22 為控制

我們首先考慮無外在干擾之下SMC、CLF 與 ISMC 控制律的性能比較。在 表4. 1 中我們考慮∆Q 0的情況，其中 T 為模擬時間。表 4. 1 中 ISMC 的收斂 時間t 雖然較 CLF 與 SMC 多 4 秒左右，但 CLF 與 SMC 的收斂時間t 卻是 ISMC 的10 倍以上。模擬間控制力道最大值即 u t ，最小的是ISMC 控制律，最 大的是CLF 控制律；此外 ISMC 控制律模擬期間的控制能量總和也是三種控制 律中最小的。最後，我們比較成本指標(cost function)可以發現 ISMC 控制律的成 本指標明顯小於其他二種控制律。

我們接下來考慮有外在干擾之下SMC、CLF 與 ISMC 控制律的性能比較。

在表4. 2 中我們考慮∆Q 0.2的情況，其中 T 為模擬時間。ISMC 除了收斂時 間t 較慢以外，在收斂時間t 、模擬間的最大控制力道、模擬間的控制能量總和 及成本指標ISMC 都有非常優異的表現。

表4. 1: 性能比較表(無外在干擾)

性能指標

控制方式

LQR ISMC SMC CLF

t

3.428 3.428 49.458 53.414

t

4.048 4.048 0.032 0.034

u t 1.3924 1.3924 1.6356 1.8268

u t dt

T 17.5062 17.5062 17.6244 17.7306

t ^T t u t ^T u t dt

T 15.8279 15.8279 17.6394 17.7256

t min t |e τ | 0.002, 1,2,3,4, τ t ， t_e4 min t |

e

₄ τ | 0.0005, τ t ， u t 為模擬期間最大控制力， ^Tu t dt為模擬期間的控制能量總 和， ^T t ^T t u t ^T u t dt為成本指標(cost function)，其中Q I ， R 0.9

表4. 2: 性能比較表(有外在干擾)

性能指標

控制方式

LQR ISMC SMC CLF

t

X 4.336 75.196 50.712

t

X 4.202 0.038 0.034

u t 1.3809 1.3711 1.6356 1.7397

u t dt

T 17.2821 16.8824 16.9845 17.6501

t ^T t u t ^T u t dt

T 15.6307 15.2688 17.0316 16.0329

t min t |e τ | 0.002, 1,2,3,4, τ t ， t_e4 min t |

e

₄ τ | 0.0005, τ t ， u t 為模擬期間最大控制力， ^Tu t dt為模擬期間的控制能量總 和， ^T t ^T t u t ^T u t dt為成本指標(cost function)，其中Q I ， R 0.9

(a)

(b)

圖4. 4：Q 9，白色區域為誤差狀態e 、e 、e 滿足Ω 的區域，(a) k=0.38 (b) k=10

圖4. 5：Q 10，ΔQ 0，初始電壓為正值，模擬時間 10 秒，(a)Q 值，(b) 狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀態x ，(f)狀態e ，(g)狀態e ，(h)狀態e ， (i)狀態e ，(j)順滑變數σ ， (k) u 值

圖4. 6：Q 10，ΔQ 0，初始電壓為負值，模擬時間 10 秒，(a)Q 值，(b) 狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀態x ，(f)狀態e ，(g)狀態e ，(h)狀態e ， (i)狀態e ，(j)順滑變數σ ， (k) u 值

圖4. 7：Q 9，ΔQ 0.2，只考慮匹配的不確定因素，模擬時間 10 秒，(a)Q 值，

(b) 、 、 的範數，(c)狀態x ， (d)狀態x ， (e)狀態x ， (f)狀態x ， (g)狀 態e ，(h)狀態e ， (i)狀態e ， (j)狀態e ， (k)順滑變數σ， (l) u 值

圖4. 8：Q 9，ΔQ 為介於 0.2~0.2的隨機訊號， 0 ,0.1,1, 0.1579 ， 考慮只有匹配的不確定因素，模擬時間10 秒，(a) 的範數，(b) 的範數，(c)

的範數

圖4. 9：Q 9，ΔQ 為介於 0.2~0.2的隨機訊號，只考慮匹配的不確定因素，

模擬時間10 秒，(a)Q 值，(b)狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀態x ，(f)狀態 e ，(g)狀態e ，(h)狀態e ，(i)狀態e ，(j) 順滑變數σ (k) u 值

圖4. 10： Q 9，ΔQ 0.2sin 5t ， 0 ,0.1,0.1579,1 ，考慮只有匹配的 不確定因素，模擬時間10 秒，(a) 的範數，(b) 的範數，(c) 的範數

圖4. 11：Q 9，ΔQ 0.2sin 5t ， 0 ,0.1,0.1579 ,1 ，考慮只有匹配的不 確定因素，模擬時間10 秒，(a)Q 值，(b)狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀 態x ，(f)狀態e ，(g)狀態e ，(h)狀態e ，(i)狀態e ，(j)順滑變數σ (k) u 值

圖4. 12：Q 9，ΔQ 0.2，k 0.1，考慮有非匹配的不確定因素，模擬時間 10 秒，(a)Q 值，(b)狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀態x ，(f)狀態e ，(g) 狀態e ，(h)狀態e ，(i)狀態e ，(j)順滑變數σ (k) u 值

圖4. 13：Q 9，ΔQ 0.2，k 0.38，考慮有非匹配的不確定因素，模擬時 間10 秒，(a)Q 值，(b)狀態x ，(c)狀態x ，(d)狀態x ，(e)狀態x ，(f)狀態e ，(g) 狀態e ，(h)狀態e ，(i)狀態e ，(j)順滑變數σ，(k) u 值

圖4. 14：Q 9，ΔQ 0.2sin 5t)，初始狀態x 0.4 0.4 0.3 0.8 ，模擬時間 10 秒，誤差狀態比較圖(控制律為 LQR0 與 LQR1)

圖4. 15：Q 9，ΔQ 0.2sin 5t)，初始狀態x 0.4 0.4 0.3 0.8 ，模擬時間 10 秒，誤差狀態比較圖(控制律為 LQR0 與 ISMC)

圖4. 16：Q 9，ΔQ 0.2sin 5t)，初始狀態x 0.4 0.4 0.3 0.8 ，模擬時間 10 秒，u 值比較圖(控制律為 LQR0 與 ISMC)

圖4. 17： Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.5 0.3 0.3 1.3 ，模擬時 10 秒，

狀態誤差e 時間響應比較圖

圖4. 18：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.5 0.3 0.3 1.3 ，模擬時 10 秒，

狀態誤差e 時間響應比較圖

圖4. 19：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.2 0.5 0.3 1.2 ，模擬時 10 秒，

狀態誤差e 時間響應比較圖

圖4. 20：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.2 0.5 0.3 1.2 ，模擬時 10 秒，

狀態誤差e 時間響應比較圖

圖4. 21：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.2 0.5 0.3 1.2 ，模擬時約 0.2 秒，

順滑變數σ比較圖

圖4. 22：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.2 0.5 0.3 1.2 ，模擬時約 0.15

圖4. 23：Q 9，ΔQ 0.2，初始狀態x 0.2 0.5 0.3 1.2 ，模擬時 10 秒，u 值比較圖

第五章

結論與未來研究方向

5.1 結論

在本論文中，我們將積分順滑模控制技術應用於二次多項式系統穩健輸出追 蹤並達成內部動態穩定之性能。此外，論文中所提出的ISMC 設計方式不但改善 了論文[4]中利用順滑模態控制技術來達到穩健輸出追蹤時不保證內部動態穩定 的問題，同時改進了論文[17]中利用控制李亞普諾夫理論來達到穩健輸出追蹤時 內部狀態收斂速度慢的問題。為了利用ISMC 設計穩定控制律，我們首先將追蹤 問題變成穩定化問題，接著仿照ISMC 設計流程[5][6]對二次多項式系統設計控 制律。由於ISMC 設計具有能將匹配式干擾完全消除且可經由順滑面的選取使非 匹配式干擾影響最小的特性，故我們自行定義二次多項式系統的匹配式與非匹配 式干擾。在定義二次多項式系統的匹配式與非匹配式干擾之後，我們針對三種情 況設計ISMC 控制律，在所設計的控制律下我們證明了當系統只有匹配的參數不 確定因素時，系統狀態不但能維持在順滑面上，且干擾系統之狀態也會與標稱系 統之軌跡相同。最後我們也將ISMC、SMC 及 CLF 控制律應用於電力系統時之

性能表現進行比較，模擬結果不但顯示ISMC 控制律可達成穩定輸出追蹤，而且 內部動態收斂速度遠快於其他二者，同時在模擬期間所需的最大控制力道、控制 能量總和、以及成本指標方面，ISMC 控制律都有比較優異的表現。

5.2 未來研究方向

在本論文中，我們針對系統控制器存在輸入二次項且系統相對階數為一階時 利用ISMC 設計控制律，未來可將研究主題延伸如下：

1. 研究系統相對階數為高階時 ISMC 穩定控制律之設計策略。

2. 探討系統控制器存在高次項時之 ISMC 控制設計。

3. 進一步考慮系統有非匹配的參數不確定因素時，如何選取順滑變數中之投影 矩陣 D 使得非匹配效應能降至最低。

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在文檔中 應用積分順滑模控制技術於二次多項式系統穩健輸出追蹤之研究 (頁 65-0)