第二章 預備知識
2.3 電力系統模型
本節中，我們主要是研究Dobson 和 Chiang [8] 的電力系統數學模型。利用 Dobson 和 Chiang 的模型，並且在原始模型中加入一個變壓器(tap changer)[7]，
以變壓器的匝數比作為控制器輸入，達到電壓調節的目的。
明顯地，利用戴維寧等效結果E Y 與E Y 是相同的，其等效圖形表示於圖 2.1(b)。
(a)
(b)
圖 2.1:電力系統模型(a)原始電力系統模型加上變壓器(b)戴維寧等效
計算其網路中所消耗功率，在網路中無效功率損耗與有效功率損耗可以表示 如下：
P δ , δ, V E Y Vsin δ θ 1
nE Y Vsin δ δ θ
Y sinθ Y sinθ V (2. 39) Q δ , δ, V E Y Vcos δ θ 1
nE Y Vcos δ δ θ
Y cosθ Y cosθ V (2. 40)
由(2. 36)-(2. 38)以及(2. 39)-(2. 40)，我們可以得到電力系統的動態方程式如下：
δ ω (2.41)
Mω d ω P 1
nE Y Vsin δ δ θ E Y sinθ (2.42) K δ K V K V Q δ , δ, V Q Q (2.43) K K V K K V K K K K V
K P δ , δ, V P P K Q δ , δ, V Q Q (2.44) 我們的系統參數是採用於[8]，其參數值如下：
負載參數
K 0.4，K 0.3，K 0.03，K 2.8，K 2.1，T 8.5，P 0.6，
Q 1.3，P 0 網路與發電機參數
Y 20.0，θ 5.0，E 1.0，C 12.0，Y 8.0，θ 12.0，E 2.5，
Y 5.0，θ 5.0，E 1.0，P 1.0，d 0.05，M 0.3 全部的參數以標么值(per unit value)為單位，其角度以度數表示。
我們令x δ ，x ω，x δ，x V，u ，由(2. 41)-(2. 44)，我們可 將動態方程式表示為
x x
x 1.8807 0.1667x 16.6667x sin 0.0873 x x u
x 43.333 93.333x 334.1297x 666.6667x cos 0.0873 x 33.3333Q 166.6667x cos 0.0873 x x u
166.0.325x u d
(2. 45) (2. 46)
(2. 47) x 7.0327 14.5229x 53.0961x
104.5752x cos 0.0873 x 7.8431x sin 0.0873 x 5.2288Q 26.1438x cos 0.0873 x x
1.9608x sin 0.0873 x u 26.2152x u d (2. 48) 其中 0,0, d , d T代表系統可能具有的不確定因素或外在干擾。有兩種類型 的 在文獻[8], [19]中提到，其中一種起因於負載的變動，也就是Q 隨著電力的需 求所產生的變動；另一種則來自於動態感應馬達模型的參數。
第三章
二次多項式系統之穩健輸出追蹤
3.1 問題描述
考慮一個單輸入單輸出之二次多項式系統如下：
u u t (3.1)
y h (3.2)
其中 代表系統狀態變數，u 為控制輸入， t 為系統中一個會隨
時間改變的參數，假設 t 可寫成
t t t (3.3)
其中 t 代表我們事先可以預測或是量測的系統參數， t 為系統參數預測或是 量測的不確定因素，此不確定因素來自系統參數的估計誤。假設 · 、 · 、 · 為平滑向量場。(3.1)可表示成
u u t t (3.4)
因為動態方程式(3.1)中有u 項，我們可以得知動態方程式不是非線性仿射系統 (nonlinear affine system)。主要的控制目標是設計控制器使系統在有參數不確定因 素的情況下，系統輸出可以達到所要的輸出值y ，即y y ，其中y 為非零的常
數，且內部動態要維持穩定。
為了將輸出追蹤問題轉換成穩定化問題，我們定義狀態誤差為︰ 其中u 為標稱控制(nominal control)。
由於積分型順滑模控制(Integral-Type Sliding Mode Control)有許多優點，如 反應速度快、穩健性(robustness)及容易實現，所以我們採用積分型順滑模控制來 對系統(3.12)設計控制律。我們仿照 ISMC 的設計流程[5][6]進行設計二次多項式
系統的控制律，在系統(3.12)中控制律 v 主要分為兩個部分
影到 g 的行空間取為 ， 投影到 的行空間取為 ，即
，
以上為非線性仿射系統匹配與非匹配的系統參數不確定因素定義。
以幾何意義來說，在 空間中 與 如圖3. 1 所示
圖3. 1: 空間中 與 示意圖
但是，目前文獻中並無定義非線性非仿射式系統中匹配的與非匹配的系統參數不 確定因素，故我們仿照非線性仿射式系統中匹配式與非匹配式的概念，自行定義 二次多項式系統參數的不確定因素中的匹配式與非匹配式。
考慮單輸入單輸出之二次多項式系統(3.12)，可將 分為兩部分
(3.17)
其中 將代表匹配的系統參數不確定因素, 代表非匹配的系統參數不確定因
素，接下來我們討論 的選取形式。
3.2.1 方程式(3.17)中
的選取形式 1
在仿射系統(3.15)中 col(g)，且 在此取法下 有最小值，
我們仿照仿射系統中匹配的系統參數不確定因素的選取方式，取 S ，其中
col
col(g)
S α α |α (3.18)
且 的選取為使得 有最小值，即 有最小值
S 的幾何意義為 空間中的一條過原點的一維流形(manifold)，實際上 S 如圖 3. 2 所示為一維的拋物線。
圖3. 2: S 在 空間中之示意圖
接下來我們必須決定如何選定α，使得 有最小值，其中 S。
因為根據文獻[6]我們知道在順滑模態上，匹配的系統參數不確定因素會因 非連續控制律的的控制下而被完全消除，所以只需考慮非匹配的系統參數不確定 因素所造成的效應，且希望造成的效應希望能越小越好。如圖3. 3 所示，當給定
d，我們想要試著找到 S，使得 最小，意即找到α，使得
α α 最小，我們定義α 如下
α arg min α α
S
我們可得 如下
α α (3.19)
圖3. 3: 給定 時， 與 在R 空間中與 S 之關係
在選定 α α 之後，我們必須驗證α 的存在性。
引理 3. 1(存在性)：當給定 、 及 時，P α min α
α 必存在，意即α 存在且 α α 存在。
證明：
當給定 、 及 時，假設多項式P α 如下
P α α α
α α T α α
a α a α a α a α a (3.20)
S
d
其中
情況 1：ΔP 0 (當P α 0有共軛複數根)：
假設P α 0 有共軛複根 x yi，y 0，則P α α x yi α
x yi α x y ，P α 0 ，因此可得P 為開口向上之拋物線且與
α 軸無交點。P 可由P 對α積分可得，其中P 為絕對遞增且 P ∞ ，當 α ∞ P ∞ ，當 α ∞ 則P 與 α 軸交於一點，故P 只有一個實數零點 r，另外兩個為複數零點p qi。例 如：考慮P α 0 有共軛複根 1 √2i，如圖 3. 4 所示，很明顯看出P 只有一實 數零點r，且在此零點處P 有極小值。由以上推論可得P (r)為P 的全域極小值且 α r。
圖3. 4: ΔP 0之P , P 與P 圖形
情況 2：ΔP 0 (當P α 0有二重根)：
假設P α 0 有二重根 z，則P α α z ，可得P 為開口向上之拋物線且與 α 軸有一個交點。P 可由P 對α積分可得，其中P 為絕對遞增且
P ∞ ，當 α ∞
P ∞ ，當 α ∞ ，則P 與 α 軸交於一點，故P 只有一個實數零點，另外 兩個為複數零點。例如：考慮P α 0 有二重根在 α 1，如圖 3. 5 所示，很明 顯看出P 只有一實數零點 r，且在此零點處P 有極小值。由以上推論可得P (r)為P 的全域極小值；考慮P α 0 有二重根r r 1，如圖 3. 6 所示，P 與α軸相 切，根據勘根定理，P 0在α r 有 3 重根，明顯的P (r )為P 的全域極小值且 α r 。
圖3. 5: ΔP 0且P α 0 有二重根之P , P 與P 圖形
圖3. 6: ΔP 0，P α 0 有二重根且P α 0 有三重根之P , P 與P 圖形
情況 3：ΔP 0 (當P α 0有相異實根)：我們將分為三種情況討論
情況 3.1：P k P k 0，其中k 、k 為P 的零點，且k k
若P k 0，即P 在k 與α軸相切，根據勘根定理可知，P α 0在k 有二重 根 ， 故 P α α k α k 。 且 P α P α 3α 2 2k k α k 2k k ，檢查ΔP 是否大於零，ΔP =4 k k 0。例如：取k 1, k 6，
如圖3. 7 所示，P α 在α 1處有兩個相同實數零點，α 6處有一個實數零點，
且P α 的全域極小值發生於α 6。由以上推論可知，P (k )為P 的全域極小值。
圖3. 7: ΔP 0, P 1 P 6 0且P 1 0之P , P 與P 圖形
若P k 0，即P 在k 與α軸相切，根據勘根定理可知，P α 0在k 有二重 根，故P α α k α k 。且P α P α 3α 2 2k k α
k 2k k ，檢查ΔP 是否大於零，ΔP =4 k k 0。例如：取k 1, k 6，
如圖3. 8 所示，P α 在α 6處有兩個相同實數零點，α 1處有一個實數零點，
且P α 的全域極小值發生於α 1。由以上推論可知，P (k )為P 的全域極小值
圖3. 8: ΔP 0, P 1 P 6 0且P 6 0之P , P 與P 圖形
結論：情況 3.1 中，若P α 0的根分別為r , r r ，則P (r )為P 的全域極小 值且α r 。
情況 3.2：P k P k 0，其中k 、k 為P 的零點，且k k
考慮P k 0 且P k 0，如圖 3. 9 所示，P 與 α 軸交於一點，故P 只有一 個實數零點r，且此零點處P 有最小值，故P r 為P 的全域最小值。
圖3. 9: ΔP 0, P k P k 0且P k 0, P k 0之P , P 與P 圖形
考慮P k 0 且P k 0，如圖 3. 10 所示，P 與 α 軸交於一點，故P 只有一 個實數零點r，且此零點處P 有最小值，故P r 為P 的全域最小值且α r。
圖3. 10: ΔP 0, P k P k 0且P k 0, P k 0之P , P 與P 圖形
情況 3.3：P k P k 0
考慮P 0 的根分別為r , r 及r ，其中r r r ，且令d r r ，d r r 假設P (α α a d α a α a d ，當d d ，如圖 3. 11 所示，
P (α 的全域最小值為P (r 且α r ；當 d d ，如圖 3. 12 所示，P (α 的全 域最小值為P (r 且α r ；當 d d ，如圖 3. 13 所示，P (α 的全域最小值 為P (r 或P (r ，其中P (r P (r 且α r r 。
圖3. 11: ΔP 0, P k P k 0 且d d 之P , P 與P 圖形
圖3. 12: ΔP 0, P k P k 0 且d d 之P , P 與P 圖形
圖3. 13: ΔP 0, P k P k 0 且d d 之P , P 與P 圖形
接下來我們要得到表3. 1 中P (α 0之根的分類依據，且求出P (α 0之
表3. 2：D 所對應的α 與minP α
圖3. 14：給定P α a α a α a α a α a 且a 0，求α
所以當給定 、 及 ，我們得到(3.20)式，然後我們可由圖 3. 14 得
狀態軌跡相同。
我們希望控制律v 會使得(3.29)的系統軌跡與標稱系統在標稱控制下的軌跡相
中只有匹配的系統不確定性下，所對應的控制律使得系統維持順滑模式時，系統
所以當 與 線性獨立時，D 的選取考慮情況 1 與情況 2 時，我們必 須將d 改變為其他形式。在形式 1 中，S 的選取如(3.18)式，其中 向量的係
數為 向量的係數的平方倍，我們接下來嘗試選取 向量的係數與
向量的係數都為未知數，考慮二次多項式系統中只有匹配的系統不確定性下，當 系統維持順滑模式時，求出對應的控制律代入系統，可求出使得系統軌跡與標稱
系統在標稱控制下的軌跡相同時所滿足的 向量的係數與 向量的係數。
以下考慮d 的另一種形式。
3.2.2
的選取形式 2
當系統處於順滑模式下時，σ σ 0，我們可得到
圖3. 15: S 與S 在R 空間中的幾何意義
接下來我們必須決定如何選定α ，使得 有最小值，其中 S 。。
因為根據文獻[6]我們知道在順滑模態上，匹配的系統參數不確定因素會因 非連續控制律的的控制下而被完全消除，所以只需考慮非匹配的系統參數不確定 因素所造成的效應，且希望造成的效應希望能越小越好。如圖3. 16 所示，當給
定 d，我們想要試著找到 S ，使得 最小，意即找到α ，使得
α 2u α α 最小，我們定義α 如下
α arg min α 2u α α
我們可得 如下
α 2u α α (3.51)
S S
圖3. 16：給定 時， 與 在R 空間中與S 之關係
a
情況 2: 且
3.3.1 設計針對無干擾系統之 LQR 控制律
response weighting matrix)與 (控制力加權矩陣，control force weighting matrix)值 如下， 值的回授增益矩陣(feedback gain matrix)為
1
3.3.2 設計針對有干擾系統之 ISMC 控制律
v u α v u α (3.65)
我們欲求系統在順滑模式時對應的控制律v 。當系統處於順滑模式下時，
設計控制律
根據ISMC 設計步驟[5][6]，系統(3.69)的順滑平面選取如下：
3.3.2.2 考慮非匹配的系統參數不確定因素
設計控制律
Γ
I (3.86) 其中Γ 為系統(3.80)非匹配參數不確定因素的效應，且Γ 會隨狀態改變，
我們只能試著調整 D 使得Γ 的效應最小。
當我們考慮 ， 為常數時，我們選取 D= ，則
Γ I I
由[06]中證明可得 I 1，故
Γ
由上式可知若當我們考慮 ， 為常數時，我們選取 D= 時，非匹
配的參數不確定因素不會被放大。
情況 B： D 且 D
我們欲求系統在順滑模式時對應的控制律v 。當系統處於順滑模式下時，
根據ISMC 設計步驟[5][6]，系統(3.94)的順滑平面選取如下：
e u α α
u α 2u α α
u u
u α α u
Γ u α α u
(3.98)
其中Γ 為系統(3.94)非匹配參數不確定因素的效應，且Γ 會隨狀態改變，
我們只能在 且 的條件下調整 值使得Γ 的效應最小。
第四章
應用於變壓器控制電力系統的電壓 調節研究
在本章中我們將應用3.2 節中設計的控制律於 Dobson 和 Chiang[8]的電力系 統模型，在原始模型中加入一個變壓器[7]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，以 變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統負載電壓能穩定在我們 希望的電壓值，來達到電壓調節的功能及內部狀態穩定的目的。在4.1 節中，我 們整理Dobson 和 Chiang 的電力系統模型加入變壓器之系統動態方程式。在 4.2 節中，我們將3.3 節針對單輸入單輸出的二次多項式系統設計的控制律應用於電 力系統中，並對模擬結果進行討論與分析。在4.3 節中，我們將比較 ISMC、SMC 及CLF 控制律應用於電力系統時的性能表現。
4.1 系統動態方程式
f 43.3333 93.3333x 334.1297x 666.6667x cos 0.0873 x
f 7.0327 14.5229x 53.0961x
104.5752x cos 0.0873 x 7.8431x sin 0.0873 x
p 0
4.2 控制律設計 0 284.1297 666.6667 cos 0.0873 x 33.3333Q
166.6667 cos 0.0873 x x u 166.0325u (4. 7)
圖4. 1: u 為正值，平衡點 與u 對Q 的變化
4.2.2 穩定點分析
a 666.6667sin 0.0873 x 166.6667sin 0.0873 x x u 將由 4.2.1 節所得的平衡點x 、x 與控制律u 、u 分別代入(4. 9)，其中
圖4. 3: (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為u ，Q 對三個特徵值的影響
x 0 x 1 ， t 的值會隨Q 變化，x 為系統狀態。將(4. 10)與(4. 11)代入(4.