五、 模擬結果與分析
5.3 同時考慮輸出雜訊和不確定度下系統等化器錯誤率比較 52
在實際情況下，其實輸出雜訊和不確定度經常是同時存在的，所 以我們也須考慮此情況之下，不同等化器所造成的錯誤率大小，並觀 察最小 2 次範數等化器是否仍然有較好的效果。
而我們將分別求出四個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)1 2 3 4 ，其中F (z)1 為設定σv2 =0.1所得到的 MMSE 等化器。F (z)2 為直接求係數解所得反矩
陣。F (z)3 為最小 2 次範數反矩陣解，而F (z)4 則是平均加權角度在
0, , ,3 , 4 2 4
π π π π 所得的最小費氏範數解。
5.3.1 實係數等化器在同時考慮雜訊與不確定度下的錯誤率比較 在這節中，我們將對於 5×2 系統的 2 階系統，分別在系統 G(z) 中加入不確定度，並且於輸出加入雜訊，比較四個等化器對於還原訊
號後的錯誤率。
我們同樣的將固定不確定度以及輸出雜訊的值，而系統 G(z)係 數是以 cn=1×randn(5,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的係數。
而不確定度則是 un=z×randn(5,2),n=0,1,2,z=0.1，0.3，0.5 分別 產生 0 階,1 階,2 階的不確定度係數。輸出雜訊則是
vn=0.1×randn(1,10000)，n=1,2,3,4,5 來分別產生 5 維雜訊，並且 隨機產生 100 個 5×2 系統 G(z)，每次輸入x x1, 2 各 5000 筆資料，觀 察 4 個等化器對於不確定度的平均位元錯誤率(以 BPSK 做判定)：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F (z) 1 3e-5 0.029654 0.096541
F (z) 2 0.001969 0.035546 0.092934
F (z) 3 1.2e-6 0.005717 0.034701
F (z) 4 1.6e-5 0.010405 0.052932
表 5.13 5×2 實數系統所得等化器同時考慮兩因素下所得平均錯誤率
可以觀察到，當兩個造成錯誤的因素同時考慮進去時，最小 2 次範數 等化器仍然優於其他等化器，但與表 5.10 相比較可以發現由於同時 考慮兩個因素，故其平均錯誤率比單純考慮不確定度下還要高。
5.3.2 複係數等化器在同時考慮雜訊與不確定度下的錯誤率比較 在複係數的模擬中，同樣固定不確定度與輸出雜訊的值，不確定 度是 un1=z×randn(5,2), un2=z×randn(5,2), un= un1+ un2×i，
n=0,1,2,z=0.1，0.3，0.5 分別產生 0 階,1 階,2 階的不確定度係數。
輸出雜訊則 vn1=0.1×randn(1,10000) ,vn2=0.1×randn(1,10000)，
vn= vn1+ vn2×i，n=1,2,3,4,5 來分別產生 5 維雜訊，並且隨機產生
100 個 5×2 系統 G(z)，每次輸入x x1, 2 各 5000 筆資料，觀察 4 個等 化器對於不確定度的平均符元錯誤率(以 QPSK 做判定)：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F (z) 1 4.8e-5 0.074621 0.132665
F (z) 2 0.002314 0.038521 0.116974
F (z) 3 3.1e-6 0.006713 0.039521
F (z) 4 4.6e-5 0.025194 0.089112
表 5.14 5×2 複數系統所得等化器同時考慮兩因素下所得平均錯誤率
模擬分析：最小 2 次範數等化器在兩個因素同時影響下，依舊有 最好的效果，然而與只單純雜訊的 5×2 系統相比較，MMSE 等化器F (z)1 因為無抑制不確定度的功效，導致錯誤率與最小 2 次範數解相差變 大，因此，可以看出，最小 2 次範數解無論在白色雜訊干擾下，抑或 是不確定度影響系統的情況下，都能有效的讓錯誤率降低，讓訊號還 原的成功率變高。
5.4 非白色雜訊下系統等化器錯誤率比較
在本節，將針對雜訊有相關性時(correlated)，系統等化器的比 較，設計讓白色雜訊通過一低通濾波器之後成為相關雜訊，且低通濾 波器 H(z)=1+0.5625z−1 +2.8917z−2 +2.1945z−3 +0.81z−4，觀察 5×2 2 階實 數系統所得等化器對於其錯誤率的比較。
而我們將分別求出三個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)1 2 3 4 ，其中F (z)1 為設定R =1.5vv (根據 H(z)計算而得)所得到的 MMSE 等化器。F (z)2 為直 接求係數解所得反矩陣。F (z)3 則是平均加權角度在0, ,2 , ,
10 10 2
π π π
L 所得
的最小費氏範數解，其中F (z)3 是針對低通雜訊所設計。
而在數值設定方面，雜訊主要是以 vn=10^(-0.05×dd)
×randn(1,10000)，dd=0,1,L,15,n=1,2,3,4,5 來分別產生 5 維雜 訊，並且分別經過 H(z)成為相關的低通雜訊，而系統係數則是以 cn=1×randn(5,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的係數。並輸入
1, 2
x x 各 10000 筆資料，觀察 3 個等化器對於不確定度的平均位元錯 誤率(以 BPSK 做判定)：
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 2866 2111 1605 1154 547 663 562 536 F (z) 2 4231 3790 3144 2215 1079 315 14 0 F (z) 3 2832 2004 1285 967 327 28 0 0
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 505 495 494 496 504 508 517
F (z) 2 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 3 0 0 0 0 0 0 0
表 5.15 5×2 實數系統 1 所得等化器在非白色雜訊下所得錯誤次數
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 2264 1382 592 172 23 1 0 0 F (z) 2 3195 2398 1288 407 22 0 0 0 F (z) 3 1967 1002 234 98 11 0 0 0
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15
F (z) 1 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 2 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 3 0 0 0 0 0 0 0
表 5.16 5×2 實數系統 2 所得等化器在非白色雜訊下所得錯誤次數
模擬分析：由以上兩個模擬可以看出，當輸出雜訊非白色雜訊 時，只要我們知道其頻譜分布，利用最小費氏範數解等化器一樣有比 其他等化器還要好的抑制雜訊效果，代表無論雜訊的特性為何，我們 都可以用凸型最佳化來求得良好的抑制雜訊的等化器。
第六章 結論
經由這篇論文，我們可以歸納出以下幾點結論：
一．由第五章的模擬分析可知，最小 2 次範數等化器解能有效的抑制 白色雜訊以及不確定所造成訊號傳輸時的影響，並有效的完成訊號還 原。而在第四章也經由模擬得知當輸出雜訊不為白色雜訊時，亦可根 據雜訊的頻譜來設計最小費氏範數等化器解，達到抑制雜訊的效果。
二．而利用凸型最佳化求得等化器解，除了有比一般等化器更佳的抑 制雜訊功能之外，其另外一個優點就是運算等化器的方法快且簡單，
當系統須不斷變換時，其快速運算的優點將會比其他求得等化器的方 法來得更有效率。
三．適當的選擇等化器延遲階數也會降低真正實現系統時的複雜度，
經由 4.3.1 節可以得到當方程式有足夠的自由度時，就能讓等化器趨 近於穩態階數時的誤差，而不須假設更高階數來得到等化器，來達到 一定範圍誤差內的效果。
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