濾波器組前置編碼求解法

以上兩種估測反矩陣的方法，都是以單一濾波器來近似估測的反 矩陣，而濾波器組前置編碼(Filter bank precoding)則是利用兩個 以上濾波器組來完成訊號還原的工作[7]。

史密斯形式性質：以下我們將先介紹有關史密斯形式的一些特 性，以供我們在未來引用時的依據[12]。

定義 2.4：對於一矩陣 A，若其對角線元素依序為a₁, ,K a_n，且非對角 線元素皆為 0，則稱之為對角矩陣，並且以 diag(a₁, ,K a_n) 表示。▓

定義 2.5：對於兩多項式α(z),β(z)，若α(z)可以整除β(z)，則可以α(z)|β(z) 表示之。▓

對於一

p q ×

多項式矩陣 A(z)，其維度為 r，故

r min( , ) ≤ p q

， 則 A(z)可經由行運算及列運算得到

A(z)=E(z)B(z)F(z)

(2.16) 其中 E(z)及 F(z)分別為 p× p 以及

q q ×

方陣且行列式為常數(不

為 0)，則可說 A(z)等價於(equivalent to)B(z)，或寫成 A(z)~ B(z)，

rank(A(z))=rank(B(z))，且當 rank(A(z))=

r

_m時，其對應之 B(z)中 的對角線元素

ψ

₁

(z)= ψ

₂

(z) = L = ψ

_rm

(z)=1

^。

K K

討論：從以上所得的結論，我們可以根據其來設計一個濾波器組，使 其達到訊號還原的效果，且其步驟如下：

Step 1：對於 M×N FIR 系統 G(z)，找出其史密斯形式以及其維度 K，

當 K 小於 N，代表系統無反矩陣解。

Step 2：設計一 N×K 系統 H(z)，且 ^{K K}

(N-K) K

H(z)~ I 0

×

×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦。

Step 3：令 C(z)=G(z)H(z)，根據定理，其可找到K× M反矩陣解。

利用這個方法，我們可以將原 M×N 系統 G(z) 轉換成 M×K 系統 C(z)，如此一來，C(z)可以找到對應的 FIR 反矩陣解，等同於對於 一個 K 個輸入的訊號，能經由此濾波器組以及反矩陣得到訊號還原的 效果，因此我們只要把原本的 N 個輸入，以一次傳送 K 個的方式來通 過濾波器組以及反矩陣，就能讓此 K 個輸入訊號還原。

這個方法，其優點在於不需找出估測反矩陣，而能真正的還原訊 號。但缺點在於所需還原訊號的時間變長，尤其當 N>>K 時，分次傳 送訊號所消耗的時間就會更明顯的變大。

第三章 求解 FIR 反矩陣方法介紹

問題描述：對於一輸入 X(n)=

[

x (n) x (n)1 2 L x (n)N

]

^T，當其經過一 M×N FIR 系統 G(z)，可以得到輸出 Y(n)=

[

y (n) y (n)1 2 L y (n)M

]

^T，其 經過 N×M Equalizer F(z)之後，則會得到 N×1 的輸出訊號

X(n)^ =

^ ^ ^ T

1 2 N

x (n) x (n) x (n)

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ L ⎦ ，訊號轉換流程如圖 3.1 所示。

圖 3.1 訊號 X(n)經過濾波器 G(z)及等化器 F(z)時的示意圖

而我們的目標就是找出適當的 FIR 反矩陣 F(z)，使其能正確的 還原出輸入訊號 X(n)。另外，也須考慮輸出雜訊 V(n)=

[

v (n) v (n)1 2 L v (n)M

]

^T對於整個訊號還原過程所造成的影響，進而 找出抑制雜訊效果最佳的 FIR 反矩陣。

目前，已有許多有關於 FIR 反矩陣的研究，而也有一定的研究 成果以及其作法的特點，在簡介中也有一些說明，而本章將對於這些 方法做詳盡的介紹，並提供一些應用實例來觀察其效果，並對於這些 方法的優缺點加以討論。

3.1 利用系統子矩陣行列式求解 FIR 反矩陣法

後可得到

F(z)=

定理 3.2： 對於(3.9)式而言，其 MMSE 解經由運算可得到

F(z)階數設定：由於當 F(z)階數改變時，其 MMSE 等化器也會有所變 化，所以在此將利用 matlab 模擬隨機產生的系統 G(z)來觀察並討論 該如何取得適當的階數，來得到我們所需的 FIR 等化器。

以下將隨機產生五個 3×2 的 2 階 FIR 系統，並以

σ

_v²_{=0.04 來產}

生三維白色雜訊 V(n)，利用(3.11)式來求出每個系統 1~5 階的 MMSE FIR 等化器，觀察其 1000 筆資料均方誤差(MSE)的變化。

F(z)最高階 數

1 2 3 4 5

系統 1 0.0322 0.0109 0.00585 0.00534 0.00494 系統 2 0.0124 0.00513 0.00362 0.00302 0.00252

系統 3 0.0367 0.0289 0.0153 0.0134 0.0121

系統 4 0.0304 0.0201 0.0105 0.0094 0.0082

系統 5 0.0421 0.0358 0.0151 0.0142 0.0129

表 3.1 五個隨機系統 1~5 階 MMSE 等化器的均方誤差變化

從表 3.1 可以看出，F(z)階數 2 以下時，明顯的比 3 階以上的均方誤 差還要大，若根據 2.1 中利用係數方程式求解的觀點來看的話，可以 將其視為未知數不足以至於無法求出較好的等化器所導致，因此代表 若我們想求得好的 MMSE 等化器的話，則須要足夠階數來滿足，也就 是在

f c

L ≥ (N(L -1)/M-N)

(3.13) 的情況之下，會讓等化器 F(z) 有足夠的延遲階數。

另外，在延遲階數 3 階以上，則可以看出其均方誤差的落差不 大，代表我們只需要得到滿足 (3.13) 的 L ，就能有不錯的抑制雜_f 訊效果，而提升階數效果則有限。

例 3.2：以下將隨機產生一 2 階 3×2 FIR 系統，分別求出其

σ

v²_=0.1，

0.05，0.01 時的 3 階 MMSE 等化器，並將其與直接係數求解所得的 3 階 FIR 反矩陣，兩者做位元錯誤率(bit error rate,BER)比較(10000 筆資料)，觀察訊號雜訊比(Signal to noise ratio,SNR)變化時兩者 BER 的變化，另外雜訊則是以 matlab 指令 v_n=10^(-0.125×ii)

×randn(1,10000)，ii=0,1,_L,20,n=1,2,3 來分別產生 3 維雜訊：

-10 0 10 20 30 40 50 60

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

SNR(dB)

BER

係數解 MMSE

圖 3.2 假設

σ

v²=0.1 時的 MMSE 等化器與係數解反矩陣 BER 比較

-10 0 10 20 30 40 50 60 10^-3

10^-2 10^-1 10⁰

SNR(dB)

BER

係數解 mmse

圖 3.3 假設

σ

_v²=0.05 時的 MMSE 等化器與係數解反矩陣 BER 比較

-10 0 10 20 30 40 50 60

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

SNR(dB)

BER

係數解 MMSE

圖 3.4 假設

σ

_v²=0.01 時的 MMSE 等化器與係數解反矩陣 BER 比較

討論：從圖 3.2~圖 3.4 可以看出，MMSE 等化器主要適用於本身設計

因此，若我們經由史密斯分解得知 G(z)存在 FIR 反矩陣解，由於V( )z

第四章 最小費氏範數 FIR 反矩陣設計

在這個部分，將介紹一個新的尋找反矩陣的方法，而這個方法將 以降低反矩陣的費氏範數( Frobenius norm)來作為尋找的根據，而 利用費氏範數當作尋找反矩陣的指標主要是因為其對於抑制輸出雜 訊有極大的影響力，當能有效的降低反矩陣的費氏範數，輸出雜訊對 於整個系統的影響也會變小。

而在此使用的方法仍是以求解係數解為主要的依據，根據(2.10) 式及(2.11)式，可以知道求解係數解的過程是以每次求得一列的係 數，重複運算Af_q = b_q q=1, ,L N 列來得到反矩陣 F(z)各列的係數，

所以每一列的係數其實是獨立的，因此我們也可以將 M 個輸入 N 個 輸出(MINO)的 FIR 系統視為 N 個 M 個輸入單一輸出(MISO)濾波器組，

來一一找出各列的係數。

而為了找出所有反矩陣中的最小費氏範數解，在求解過程中也會 使用的最佳化理論的方法來快速求得我們所想要得到的解，也將會在 以下章節介紹其理論基礎以及如何與我們的問題做相關的聯結。另 外，也會針對當系統係數允許複數存在時，求得最小費氏範數的方法 該做的改變。

4.1 凸型最佳化(convex optimization)理論與證明 定義 4.1：考慮以下非線性最佳化問題，

x

i j

min f(x) subject to :

g (x) 0 ,h (x)=0 ,i 1,...,m, j=1,...,l ≤ =

則卡羅需-卡-塔克條件(Karush-Kuhn-Tucker Conditions，KKT

conditions)可寫成 0 ^{* * * * *} 的零空間(null space)，R(A)代表矩陣 A 的值空間(range space)，

則 v∈N(A)，則若想找出最佳解需

(4.1)式中的兩個方程式合併成一增廣矩陣如下：

0 1 -jω 0 1 jω 0 1 -jω 0 1 jω

1 cosω cos2ω 0 0 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 大小(10000 筆資料)，並以二進位相位偏移調變(Binary Phase Shift Keying,BPSK)為判定標準。

0 1 2 3 4 5 6

會有抑制通過其角度訊號的功效，所以當雜訊為低通時，將加權角度

0 0 0 0

jω 2 0 0 1 1 -jω 2 2 -2jω

1

方法就是把角度放在雜訊通過的通帶(passband)上，使其產生零點的

有係數的 2 次範數平方，因此我們可以將最小 2 次範數反矩陣解視為 寡(30000 筆資料)，以正交相位偏移調變(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)當做錯誤判定標準，另外雜訊則是以 matlab 指令 v_n=10^(-0.125×dd) ×randn(1,10000)，dd=0,1,_L,10,n=1,2 來分

dd=8 dd=9 dd=10

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

8 0 0

4377 2153 730

表 4.1 隨機系統 1 所得反矩陣對於雜訊的錯誤次數

dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5

1 158 14 2 0 0

2 1502 438 60 2 0

3 1143 256 35 0 0

4 4204 2052 649 108 6

5 1460 397 40 3 0

6 1185 262 39 0 0

表 4.2 隨機系統 2 所得反矩陣對於雜訊的錯誤次數

從表 4.1 及表 4.2 可以看出，最小 2 次範數反矩陣相較於其他反 矩陣而言，抑制雜訊的效果明顯較佳，也代表我們所做的假設成立，

因此，當無法得知雜訊的特性時，亦或其為白色雜訊時，可以利用最 小 2 次範數解來找反矩陣，且其會有良好的抑制雜訊的效果。

4.4.1 最小 2 次範數 FIR 反矩陣階數設定

當利用係數解求得反矩陣時，我們可以得知對於一 M×N 系統 G(z)，當方程組 Ax=b 的未知數個數大於方程式個數時，系統通常有

解，也就是N (k + k + 1 )_r ≤ M (k + 1 )_r 即有反矩陣解的存在，因此假 設反矩陣階數在

a

時有解存在，那麼階數在 a 以上必也會產生反矩陣 的解。且因為 Ax=b 方程式自由度變多，最小 2 次範數也會隨著階數 變高而降低，並且產生更良好的抑制雜訊效果。

然而，在真正實現電路時，過高的階數卻會提高實現電路的難 度，且當系統 G(z)有不確定度(uncertainty)產生時，過高的階數也 會受到更多的影響，因此，我們必須在 BER 以及系統階數間歸納出平 衡點，才能提高濾波器的效率。

由於階數會影響自由度大小，因此我們主要將目標放在自由度與 BER 的關係上， 希望能找出兩者間的關係而找出平衡點。

以下模擬將分別隨機產生 3×2，4×2，5×2 的 2 階系統，並且分別找 出其各階數的最小 2 次範數反矩陣，觀察其均方差變化：

5 6 7 8 9 10 11

3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

order of F(z)

AVG 2-norm of error

圖 4.4 隨機 3×2 系統不同階數下的等化器均方差變化

4 5 6 7 8 9 10 11

AVG 2-norm of error

圖 4.5 隨機 4×2 系統不同階數下的等化器均方差變化

AVG 2-norm of error

圖 4.6 隨機 5×2 系統不同階數下的等化器均方差變化

由度 3&6)，則得到一階的平均誤差為 0.4077，2 階的誤差為 0.33419，

與 11 階時的狀況相比，可看出差距仍在 0.1 內，代表所假設系統反 矩陣在自由度 3 或 4 以上即會有不錯的反矩陣抑制雜訊的效果。而若 為了保險起見，則可將自由度選擇在 5 來選擇階數。

第五章模擬結果與分析

在本章中，主要將對於原本已知求得 FIR 等化器的方法與最小費 氏範數解法做一個比較，探討在不同形式的輸出雜訊干擾下，哪一種 等化器會有較好的抑制雜訊的效果，並以符元錯誤率(symbol error rate,SER)來判定等化器的優劣程度(以 BPSK(實數情況)及 QPSK(複 數情況)當作判定標準)。

另外，我們也要觀察在有不確定度存在下(階數及係數)，最小 2 次範數是否會比其他反矩陣有較好的抵抗效果。

5.1 在白色雜訊下系統等化器錯誤率比較

在本章節所做的模擬中，主要是想觀察在白色雜訊下，利用最小 2 次範數所得的等化器解與其他等化器的錯誤率比較，並分別以 4×2 及 5×2 的 2 階 FIR 系統來觀察，並且也會觀察系統係數分別為實數 以及複數時的錯誤率。

而我們將分別求出四個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)_{1 2 3 4} ，其中F (z)₁ 為設定σ_v² =0.1所得到的 MMSE 等化器。F (z)₂ 為直接求係數解所得反矩

陣。F (z)₃ 為最小 2 次範數反矩陣解，而F (z)₄ 則是平均加權角度在

0, , ,3 , 4 2 4

π π π π 所得的最小費氏範數解。

5.1.1 實係數等化器對於雜訊錯誤率比較

在系統 G(z)以及等化器係數均為實數下，我們可以求得 BER 比較四 個等化器的優劣。

而對於 4×2 的 2 階系統 G(z)，其係數是以 c_n=1×randn(4,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的係數。並且觀察輸出雜訊變化時的 BER 變

化，並以 v_n=10^(-0.05×dd) ×randn(1,10000)，

dd=0,1,_L,15,n=1,2,3,4 來分別產生 4 維白色雜訊。並可得到四個 等化器的錯誤比較次數如下(以 BPSK 做判定，輸入x x_{1, 2} 各 10000 筆 資料)：

dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 1648 1211 903 862 834 821 801 769 F (z) 2 1707 1235 898 543 311 133 64 19 F (z) 3 1521 1075 711 430 251 94 34 11 F (z) 4 1588 1152 749 462 277 116 42 13

dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 753 741 729 711 702 698 695

F (z) 2 8 0 0 0 0 0 0

F (z) 3 5 0 0 0 0 0 0

F (z) 4 5 0 0 0 0 0 0

表 5.1 4×2 實數系統 1 所產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較

dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 3521 3247 2981 2694 2428 2270 2132 1926 F (z) 2 4551 3965 3454 2939 2402 1972 1496 1080 F (z) 3 3364 2804 2279 1748 1390 962 605 346 F (z) 4 3416 2814 2312 1788 1398 998 646 375

dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 1911 1771 1695 1685 1644 1598 1564 F (z) 2 732 460 274 152 84 30 15 F (z) 3 216 99 58 16 5 1 0 F (z) 4 243 104 61 19 7 3 0

表 5.2 4×2 實數系統 2 產生等化器在雜訊下的錯誤次數比較

由上面的數據可以得知，最小 2 次範數解^{F (z)}₃ 的確在白色雜訊干 擾之下，相對於其他等化器有較好的抑制效果，而 MMSE 等化器F (z)₁ 雖

由上面的數據可以得知，最小 2 次範數解^{F (z)}₃ 的確在白色雜訊干 擾之下，相對於其他等化器有較好的抑制效果，而 MMSE 等化器F (z)₁ 雖

在文檔中 利用凸型最佳化法設計有限脈衝頻率響應等化器 (頁 20-0)