四、 最小費氏範數 FIR 反矩陣設計
4.4 最小 2 次範數 FIR 反矩陣解
4.4.1 最小 2 次範數 FIR 反矩陣階數設定
當利用係數解求得反矩陣時，我們可以得知對於一 M×N 系統 G(z)，當方程組 Ax=b 的未知數個數大於方程式個數時，系統通常有
解，也就是N (k + k + 1 )r ≤ M (k + 1 )r 即有反矩陣解的存在，因此假 設反矩陣階數在
a
時有解存在，那麼階數在 a 以上必也會產生反矩陣 的解。且因為 Ax=b 方程式自由度變多，最小 2 次範數也會隨著階數 變高而降低，並且產生更良好的抑制雜訊效果。然而，在真正實現電路時，過高的階數卻會提高實現電路的難 度，且當系統 G(z)有不確定度(uncertainty)產生時，過高的階數也 會受到更多的影響，因此，我們必須在 BER 以及系統階數間歸納出平 衡點，才能提高濾波器的效率。
由於階數會影響自由度大小，因此我們主要將目標放在自由度與 BER 的關係上， 希望能找出兩者間的關係而找出平衡點。
以下模擬將分別隨機產生 3×2，4×2，5×2 的 2 階系統，並且分別找 出其各階數的最小 2 次範數反矩陣，觀察其均方差變化：
5 6 7 8 9 10 11
3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
order of F(z)
AVG 2-norm of error
圖 4.4 隨機 3×2 系統不同階數下的等化器均方差變化
4 5 6 7 8 9 10 11
AVG 2-norm of error
圖 4.5 隨機 4×2 系統不同階數下的等化器均方差變化
AVG 2-norm of error
圖 4.6 隨機 5×2 系統不同階數下的等化器均方差變化
由度 3&6)，則得到一階的平均誤差為 0.4077，2 階的誤差為 0.33419，
與 11 階時的狀況相比，可看出差距仍在 0.1 內，代表所假設系統反 矩陣在自由度 3 或 4 以上即會有不錯的反矩陣抑制雜訊的效果。而若 為了保險起見，則可將自由度選擇在 5 來選擇階數。
第五章模擬結果與分析
在本章中，主要將對於原本已知求得 FIR 等化器的方法與最小費 氏範數解法做一個比較，探討在不同形式的輸出雜訊干擾下，哪一種 等化器會有較好的抑制雜訊的效果，並以符元錯誤率(symbol error rate,SER)來判定等化器的優劣程度(以 BPSK(實數情況)及 QPSK(複 數情況)當作判定標準)。
另外，我們也要觀察在有不確定度存在下(階數及係數)，最小 2 次範數是否會比其他反矩陣有較好的抵抗效果。
5.1 在白色雜訊下系統等化器錯誤率比較
在本章節所做的模擬中，主要是想觀察在白色雜訊下，利用最小 2 次範數所得的等化器解與其他等化器的錯誤率比較，並分別以 4×2 及 5×2 的 2 階 FIR 系統來觀察，並且也會觀察系統係數分別為實數 以及複數時的錯誤率。
而我們將分別求出四個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)1 2 3 4 ，其中F (z)1 為設定σv2 =0.1所得到的 MMSE 等化器。F (z)2 為直接求係數解所得反矩
陣。F (z)3 為最小 2 次範數反矩陣解，而F (z)4 則是平均加權角度在
0, , ,3 , 4 2 4
π π π π 所得的最小費氏範數解。
5.1.1 實係數等化器對於雜訊錯誤率比較
在系統 G(z)以及等化器係數均為實數下，我們可以求得 BER 比較四 個等化器的優劣。
而對於 4×2 的 2 階系統 G(z)，其係數是以 cn=1×randn(4,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的係數。並且觀察輸出雜訊變化時的 BER 變
化，並以 vn=10^(-0.05×dd) ×randn(1,10000)，
dd=0,1,L,15,n=1,2,3,4 來分別產生 4 維白色雜訊。並可得到四個 等化器的錯誤比較次數如下(以 BPSK 做判定，輸入x x1, 2 各 10000 筆 資料)：
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 1648 1211 903 862 834 821 801 769 F (z) 2 1707 1235 898 543 311 133 64 19 F (z) 3 1521 1075 711 430 251 94 34 11 F (z) 4 1588 1152 749 462 277 116 42 13
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 753 741 729 711 702 698 695
F (z) 2 8 0 0 0 0 0 0
F (z) 3 5 0 0 0 0 0 0
F (z) 4 5 0 0 0 0 0 0
表 5.1 4×2 實數系統 1 所產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 3521 3247 2981 2694 2428 2270 2132 1926 F (z) 2 4551 3965 3454 2939 2402 1972 1496 1080 F (z) 3 3364 2804 2279 1748 1390 962 605 346 F (z) 4 3416 2814 2312 1788 1398 998 646 375
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 1911 1771 1695 1685 1644 1598 1564 F (z) 2 732 460 274 152 84 30 15 F (z) 3 216 99 58 16 5 1 0 F (z) 4 243 104 61 19 7 3 0
表 5.2 4×2 實數系統 2 產生等化器在雜訊下的錯誤次數比較
由上面的數據可以得知，最小 2 次範數解F (z)3 的確在白色雜訊干 擾之下，相對於其他等化器有較好的抑制效果，而 MMSE 等化器F (z)1 雖 然在雜訊變異數比所假設的雜訊變異數大時，雜訊抑制效果與最小 2 次範數解相近，不過卻由於本身不是 G(z)的反矩陣使得最後抑制雜 訊的能力會變差。
而為了觀察更多的例子，我們將系統改成 5×2，其餘不變的情況下分 析四個不同等化器的錯誤率如下。
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 1342 1016 806 575 335 212 120 64 F (z) 2 2511 2108 1912 1569 1265 988 743 554 F (z) 3 1312 985 752 513 285 149 94 53 F (z) 4 1392 1072 861 614 373 219 134 73
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15
F (z) 1 17 8 1 2 0 0 0
F (z) 2 382 229 101 51 22 8 2
F (z) 3 6 1 0 0 0 0 0
F (z) 4 17 10 2 2 1 0 0
表 5.3 5×2 實數系統 1 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 4947 4468 4080 3562 3000 2554 2188 1716 F (z) 2 7060 6748 6160 5934 5379 4971 4545 3948 F (z) 3 4951 4312 3989 3411 2845 2488 2006 1562 F (z) 4 5484 4945 4565 4083 3455 2976 2602 2075
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 1489 1132 869 643 481 359 222 F (z) 2 3423 2914 2385 1859 1342 994 663 F (z) 3 1281 989 703 393 253 112 86 F (z) 4 1733 1338 1068 739 512 358 213 表 5.4 5×2 實數系統 2 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
當系統由 4×2 改成 5×2 時，可以看出最小 2 次範數等化器仍然 有較低的錯誤率，代表其對於抑制白色雜訊的確有較好的效果，符合 我們所預期的結果。
5.1.2 複係數等化器對於雜訊錯誤率比較
在系統 G(z)以及等化器係數均為複數下，我們可以求得 SER 比較四 個等化器的優劣。
而對於 4×2 的 2 階系統 G(z)，其係數是以 cn=1×randn(4,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的實數部分係數，kn=1×randn(4,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的虛數部分係數。並且觀察輸出雜訊變化時 的 SER 變化，並以 vn1=10^(-0.05×dd) ×randn(1,10000)，
vn2=10^(-0.05*dd) ×randn(1,10000)，vn=vn1+vn2×i
dd=0,1,L,15,n=1,2,3,4 來分別產生 4 維複數雜訊，且 i 為虛數 (imaginary number)。並可得到四個等化器的錯誤次數如下(以 QPSK 做判定，輸入x x1, 2 各 10000 筆資料)：
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 735 580 478 414 367 321 292 247 F (z) 2 946 550 243 111 40 6 2 0
F (z) 3 57 16 5 0 0 0 0 0
F (z) 4 68 17 9 1 0 0 0 0
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15 F (z) 1 237 223 204 194 172 190 176
F (z) 2 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 3 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 4 0 0 0 0 0 0 0
表 5.5 4×2 複數系統 1 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 1241 880 591 389 249 156 101 39 F (z) 2 1275 894 440 201 138 80 9 1 F (z) 3 506 255 101 36 6 4 0 0 F (z) 4 540 300 115 45 10 7 2 0
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15
F (z) 1 33 17 5 5 0 2 0
F (z) 2 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 3 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 4 0 0 0 0 0 0 0
表 5.6 4×2 複數系統 2 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
為了得到更多複數等化器之間的比較，同樣的我們繼續求得 5×2 複 數系統等化器在輸出雜訊干擾下的錯誤次數比較。
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 193 137 100 84 56 22 16 9 F (z) 2 667 446 316 201 165 131 82 23
F (z) 3 89 21 10 1 1 0 0 0
F (z) 4 200 64 33 8 2 0 0 0
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15
F (z) 1 7 3 0 0 0 0 0
F (z) 2 17 6 2 1 0 0 0
F (z) 3 0 0 0 0 0 0 0
F (z) 4 0 0 0 0 0 0 0
表 5.7 5×2 複數系統 1 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
dd=1 dd=2 dd=3 dd=4 dd=5 dd=6 dd=7 dd=8 F (z) 1 1704 1143 728 410 221 102 34 10 F (z) 2 2460 1985 1622 1132 891 599 462 342 F (z) 3 1498 995 628 338 189 87 24 13 F (z) 4 2066 1456 928 530 333 182 71 32
dd=9 dd=10 dd=11 dd=12 dd=13 dd=14 dd=15
F (z) 1 3 0 0 0 0 0 0
F (z) 2 126 85 67 15 4 0 0
F (z) 3 2 0 0 0 0 0 0
F (z) 4 6 2 0 0 0 0 0
表 5.8 5×2 複數系統 2 產生之等化器在雜訊下的錯誤次數比較
模擬分析：從以上的模擬可以發現到，不論系統係數為實數或者 複數，以及系統的輸入輸出數目，最小 2 次範數等化器解F (z)3 都有最 好的抑制雜訊的效果，代表其對於白色雜訊的抑制能力確實有相當好 的效果產生，而其他三個等化器則因系統的不同有所優劣程度的差 距，另外，F (z)4 等化器略差於F (z)3 原因在於其加權角度只有 4 個，無 法顧全到所有 0~π 的角度，而使得抑制雜訊能力略低於F (z) 。 3
5.2 在不確定度下系統等化器錯誤率比較
在利用等化器還原輸入訊號的過程中，實際中系統 G(z)也會因 為某些因素產生不確定度例如階數的不匹配以及係數的不匹配等 等，而此不確定度也會導致最後輸出有錯誤的產生，而為了觀察最小 2 次範數解是否對於此不確定度有著較良好的抑制效果，因此我們將 觀察其與其他等化器對於不確定度所造成的錯誤率比較。
同樣的，我們將分別求出三個 3 階等化器F (z),F (z),F (z)1 2 3 ，其中
F 3.5e-5 0.051174 0.092561
)
2(z
F 0.00336 0.233962 0.413943
)
3(z
F 8e-5 0.087966 0.134429
表 5.9 4×2 實數系統所得的等化器對於不確定所得平均錯誤率比較
接下來，則繼續觀察 5×2 系統的等化器對於不確定度的錯誤率比較 如下：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F 0.000458 0.034251 0.080345
)
3(z
F 2e-5 0.009061 0.045976
表 5.10 5×2 實數系統所得的等化器對於不確定所得平均錯誤率比較
接下來，則繼續觀察 5×2 系統的等化器對於不確定度的錯誤率比較 如下：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F (z) 1 0 0.004992 0.027455
F (z) 2 0.000569 0.03544 0.091236
F (z) 3 1.1e-5 0.010632 0.032552
表 5.12 5×2 複數系統所得的等化器對於不確定所得平均錯誤率比較
模擬分析：複數例子仍然與實數例子有相同的結果，最小 2 次範 數等化器解仍然有較好的抑制不確定度的效果。另外，可以觀察到，
5×2 系統會比 4×2 的錯誤率低，這是因為由於自由度增加，最佳解也 會因此更好，也能更有效的讓錯誤率降低。
5.3 同時考慮輸出雜訊和不確定度下系統等化器錯誤率比較
在實際情況下，其實輸出雜訊和不確定度經常是同時存在的，所 以我們也須考慮此情況之下，不同等化器所造成的錯誤率大小，並觀 察最小 2 次範數等化器是否仍然有較好的效果。
而我們將分別求出四個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)1 2 3 4 ，其中F (z)1 為設定σv2 =0.1所得到的 MMSE 等化器。F (z)2 為直接求係數解所得反矩
陣。F (z)3 為最小 2 次範數反矩陣解，而F (z)4 則是平均加權角度在
0, , ,3 , 4 2 4
π π π π 所得的最小費氏範數解。
5.3.1 實係數等化器在同時考慮雜訊與不確定度下的錯誤率比較 在這節中，我們將對於 5×2 系統的 2 階系統，分別在系統 G(z) 中加入不確定度，並且於輸出加入雜訊，比較四個等化器對於還原訊
號後的錯誤率。
我們同樣的將固定不確定度以及輸出雜訊的值，而系統 G(z)係 數是以 cn=1×randn(5,2),n=0,1,2 分別產生 0 階,1 階,2 階的係數。
而不確定度則是 un=z×randn(5,2),n=0,1,2,z=0.1，0.3，0.5 分別 產生 0 階,1 階,2 階的不確定度係數。輸出雜訊則是
vn=0.1×randn(1,10000)，n=1,2,3,4,5 來分別產生 5 維雜訊，並且 隨機產生 100 個 5×2 系統 G(z)，每次輸入x x1, 2 各 5000 筆資料，觀 察 4 個等化器對於不確定度的平均位元錯誤率(以 BPSK 做判定)：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F (z) 1 3e-5 0.029654 0.096541
F (z) 2 0.001969 0.035546 0.092934
F (z) 3 1.2e-6 0.005717 0.034701
F (z) 4 1.6e-5 0.010405 0.052932
表 5.13 5×2 實數系統所得等化器同時考慮兩因素下所得平均錯誤率
可以觀察到，當兩個造成錯誤的因素同時考慮進去時，最小 2 次範數 等化器仍然優於其他等化器，但與表 5.10 相比較可以發現由於同時 考慮兩個因素，故其平均錯誤率比單純考慮不確定度下還要高。
5.3.2 複係數等化器在同時考慮雜訊與不確定度下的錯誤率比較 在複係數的模擬中，同樣固定不確定度與輸出雜訊的值，不確定 度是 un1=z×randn(5,2), un2=z×randn(5,2), un= un1+ un2×i，
n=0,1,2,z=0.1，0.3，0.5 分別產生 0 階,1 階,2 階的不確定度係數。
輸出雜訊則 vn1=0.1×randn(1,10000) ,vn2=0.1×randn(1,10000)，
vn= vn1+ vn2×i，n=1,2,3,4,5 來分別產生 5 維雜訊，並且隨機產生
100 個 5×2 系統 G(z)，每次輸入x x1, 2 各 5000 筆資料，觀察 4 個等 化器對於不確定度的平均符元錯誤率(以 QPSK 做判定)：
z=0.1 z=0.3 z=0.5
F (z) 1 4.8e-5 0.074621 0.132665
F (z) 2 0.002314 0.038521 0.116974
F (z) 3 3.1e-6 0.006713 0.039521
F (z) 4 4.6e-5 0.025194 0.089112
表 5.14 5×2 複數系統所得等化器同時考慮兩因素下所得平均錯誤率
模擬分析：最小 2 次範數等化器在兩個因素同時影響下，依舊有 最好的效果，然而與只單純雜訊的 5×2 系統相比較，MMSE 等化器F (z)1 因為無抑制不確定度的功效，導致錯誤率與最小 2 次範數解相差變 大，因此，可以看出，最小 2 次範數解無論在白色雜訊干擾下，抑或 是不確定度影響系統的情況下，都能有效的讓錯誤率降低，讓訊號還 原的成功率變高。
5.4 非白色雜訊下系統等化器錯誤率比較
在本節，將針對雜訊有相關性時(correlated)，系統等化器的比 較，設計讓白色雜訊通過一低通濾波器之後成為相關雜訊，且低通濾 波器 H(z)=1+0.5625z−1 +2.8917z−2 +2.1945z−3 +0.81z−4，觀察 5×2 2 階實 數系統所得等化器對於其錯誤率的比較。
而我們將分別求出三個 3 階等化器F (z),F (z),F (z),F (z)1 2 3 4 ，其中F (z)1 為設定R =1.5vv (根據 H(z)計算而得)所得到的 MMSE 等化器。F (z)2 為直 接求係數解所得反矩陣。F (z)3 則是平均加權角度在0, ,2 , ,
10 10 2
π π π
L 所得
的最小費氏範數解，其中F (z)3 是針對低通雜訊所設計。
而在數值設定方面，雜訊主要是以 vn=10^(-0.05×dd)
而在數值設定方面，雜訊主要是以 vn=10^(-0.05×dd)