其中RaH係以針罐高度 H 為基準所定義的無因次比值，通常稱為瑞里數 由對流邊界層的流動型態。通常，層流(laminar flow)過渡到紊流(turbulent flow)的臨界值(critical value)為
9 穩定狀態(steady state)，此時間達到最終時間之後，對流項與傳導項達到 能量平衡(energy balance)；摩擦項與浮力項則是達到動量平衡(momentum balance)。
除了熱邊界層厚度δT之外，在針罐周圍的壁面亦會形成黏性（速度）
邊界層，而速度邊界層的厚度δv(velocity boundary layer thickness)，可從
此區域中，浮力效應顯然變得是次要的驅動力，因此由其他二項（慣性 項與摩擦項）取得平衡，可得
~ 3 v v
v t v
ρδ µ δ
經整理可得
( )
Tv νt r δ
δ ~ 1/2 ~P 1/2 (3.18) 在穩定狀態（t>tf ）的情況下，針罐壁面將會出現兩層結構(two-layer
structure)：一個熱邊界層δT ,f 及一個速度邊界層δv,f =Pr1/2δT,f ，如圖 3.11 所示。
由於本論文探討的核心－針罐，實體為一個開口圓柱杯狀體，故採 用圓柱座標(cylindrical coordinate)描述較符合真實的情況。在數值方法 中，我們將會採用三維圓柱方式予以求解。有關圓柱座標的統御方程式，
將在【附錄 C】詳列。
第 3.3 節 數值方法
一般解析工程問題均先利用數學模式描述物理現象，而數學模式即 是藉由基礎法則與自然原理，針對欲討論之空間所推導的微分方程式組
－統御方程式(governing differential equations)，配合適當的邊界條件 (boundary condition)與初始條件(initial condition)，建構出完整的理論分析 模組。對於稍為複雜的物理現象或幾何形狀，通常數學模式必須要透過 數值方法予以處理，再經由電腦計算求出數值解，因此過程將極為繁複 且費時。此外，在推導微分方程式組的過程中，常因假設條件過多或失 真(distorted)，因此計算結果常悖離實際情況所產生的現象，這將是令人 不樂於見到的狀況！
ANSYS 套裝軟體
本論文研究直接採用 ANSYS 套裝軟體建立數學模型。ANSYS 是一 套計算及繪圖軟體，模組多而功能強，具有同步工程模組、零件分析、
高階塗彩、標準零件庫、高階曲面、工程師手冊、鈑金、焊接、管路配 置、電纜線及電線配置…等。先進的混合式 2D/3D 實體模型設計理念，
配合於強大的設計工具，能輕鬆的進入 3D 實體模型設計環境，提供最 佳的設計方案。ANASYS 套裝軟體運用其特有的「流暢設計技術」，工 程師可以節省比其他 CAD 工具至少 36%的繪圖時間。
ANSYS 為利用有限元素法(Finite Element Method，FEM)求解的泛用 型有限元素分析軟體(general-purpose finite element software)，屬於電腦輔 助工程(Computer-Aided Engineering，CAE）的應用軟體，可有效的運用 於本論文的熱傳遞研究分析。ANSYS 軟體具有前後處理的功能，可用以 建立分析所需的有限元素模型，以及相關的結果處理及圖形顯示。所以 利用 ANSYS 分析時，可獨立完成建立有限元素模型、解析計算、結果顯
示及處理等完整的分析工作，故為本論文研究的最佳抉擇。
最新 ANSYS Workbench Environment(AWE)所使用的介面，已整合 ANSYS 各項頂尖的功能，可簡單、快速的進行各項分析及前後處理(pre- and post-processor)操作，具備直接、清晰的工作管理介面，並與 CAD 系 統 中 的 實 體 及 曲 面 模 型 雙 向 連 結 ， 具 有 高 度 的 電 腦 輔 助 設 計 (Computer-Aided Design，CAD)幾何導入成功率，具有大幅縮短設計流程 的能力。
AWE 在大型、複雜物理模型的網格建立上獨具特色，擁有自動網格 生成技術可大大節省網格建立的時間。AWE 的智慧化網格建立技術，不 僅依據模型幾何形狀建立高品質的網格表現，並強化六面體元素的網格 能力，有效縮短求解運算的時間，並確保分析精度及準確性。AWE 以知 識為基礎的自動化分析過程，對網格建立具有下列優勢：
z 自適應網格劃分：對於精度要求高的區域會自動調整網格密度。
z 智慧化網格劃分：產生形狀、特性較好的元素，將可確保網格的高 品質。
z 自動收斂技術：是自動疊代過程，通過自適應網格劃分，以使指定 的結果達到要求的精度。例如，如果對裝配中某一個零件的最大應 力感興趣，可指定該零件的收斂精度。
z 自動求解器選擇：AWE 根據所求解問題的類型自動選擇適合的求 解器求解，智慧化的負載和邊界條件自動處理。
本研究課題因具有複雜的統御微分方程式和難以處理的初始條件及 邊界條件，故只能仰賴數值分析的近似解(approximation solutions)。由於 元素大小會影響數值計算結果的精確性，相對元素大小亦將涉及儲存容 量與計算執行時間，因此如何取得平衡點，這是本論文研究不可或缺的 課題。如何判斷元素大小已細微到足以獲得精確的解，最簡單的方式，
就是將針罐 3D 模型分割成一定數目的元素執行計算，然後再增加元素數 目（元素變小）重新計算，比較所得結果是否存在明顯的差異。若前後 二次結果差距過大，則須再繼續增加元素數目（元素變更小）重新計算；
若結果差距已在可接受之範圍，表示數值計算已達收歛解(convergent solution)。
ANSYS 程式具有誤差估算程序，因為相鄰元素具有共同的節點，根 據相鄰元素邊界熱通量(heat flux)的不連續性，元素分割直接攸關熱通量 不連續的程度，故可判斷計算結果的誤差等級。ANSYS 誤差計算以三種 形式呈現：
z 元素能量誤差(TERR)是根據元素中，節點熱通量之平均及非平均值 計算元素間的誤差。
z 能量值誤差百分比(TEPC)是計算所有元素中，能量值誤差總和以做 為數學模型整的體量測值。
z 節點分量變異(TDSG)是根據能量值誤差熱通量之平均及非平均 值，計算單一元素之局部誤差值。
ANASYS 是一個有限元素電腦軟體，具有超過 100,000 個程式，能 夠迅速且有效的解決我們在研究所面臨的問題，可符合本論文的計算需 求。現在的 ANASYS 均為結合圖形使用者介面(Graphical User Interface，
GUI)的多層視窗，具有下拉式選單、對話框及工具列，構成一個良好條 件的互動環境，從而去作出單向性或雙向性的信息傳遞。
本論文有關 ANASYS 有限元素法的基本步驟如下所列：
一、前處理階段
z 建立並分離解析區域成為有限元素：將本論文所探討的解析區域
（包括針罐、肌肉及鄰近空氣等）再細分成節點(node)與元素 (element)。
z 假設一個近似元素性質的解：若一個形狀函數表示一個元素的物理 矩陣(element stiffness matrix)。
z 施加邊界條件與熱負載：在本論文描述的問題中，假設針罐係絕熱 材料(insulated material)，意即 ′′ =0 =0
q x ，因此在針罐壁的邊界條件可 設定為∂T/∂xx=0 =0，如圖 3.12 所示；外界空氣溫度分別可假設為 15℃、20℃、25℃及 30℃等四種狀態。至於熱負載－電熱管，由於 設計為定溫控制，設定溫度將選擇 50℃、100℃、150℃及 200℃等 四種。
二、求解階段
同時解出代數方程式系統：由於描述本探討問題的統御方程式為非 線性(non-linear)，故前處理階段所建構完成的代數方程式亦為非線性。
三、後處理階段
ANASYS 程式具有二個基本層次：初始層(begin level)及處理層 (processor level)， ANASYS 程式的執行係在初始層；在初始層中可進入 處理層的任何一個處理器。處理器為特定目標所選用之功能與路徑的集 合，本論文使用到的處理器分別為：
z 前處理器(preprocessor)PRE7：建立模型所需的指令，包括定義元素
型式及選項、定義元素實體常數(real constant)、定義元素材料性質
（即為熱物理性質）、建立幾何模型、定義分割控制及分割建立之 物體。
z 求解處理器(solution processor)SOLUTION：提供求取數值結果之指 令，包括輸入邊界條件及初始條件，當提供求解處理器資料後，即 可求取節點的解。
z 一般後處理器(general postprocessor)POST1：可列示或顯示分析結果 的指令，包括從結果檔讀取資料、讀取元素有關資料、繪製圖形、
列示計算數據。
z 時間歷程後處理器(time-history postprocessor)POST26：可觀察暫態 解析過程中某特定時間的溫度場或流場的變化情形。
z 最佳化設計處理器(design optimization processor)OPT：可提供最佳 化的設計分析。
Solid Edge 套裝軟體
Solid Edge 與 Unigraphics(UG)相同，皆使用其軟體研發原廠 UGS PLM Solution Inc.所研發的 Parasolid 作為其核心技術的 3D CAD 軟 體。由於採用的核心技術為 Parasolid ，Solid Edge 可完成高階圓角、混 成、變化 R 角與導角的工作。另外，Solid Edge 高階薄殼功能，讓您無 論是使用何種曲面，或是曲線導角等所構成的幾何，都可以去做薄殼。。
Solid Edge 在製作 2D 文件上具有優異的能力，此套流程擁有絕佳的 繪圖工具、詳細的圖表說明、及尺寸控制，可自動符合我們選擇的機械 繪圖標準。Solid Edge 可自動由 3D 模型建立與更新繪圖，快速建立出標 準與輔助性的檢視，包括剖面圖、細部圖、局部圖與等量圖。我們亦可 選用不同的顯示方法，例如使用陰影等，確保文件能儘可能地清楚傳達 圖檔的原意。當零件或組件有變更時，相關的繪圖會自動更新。
Solid Edge 豐富的尺寸與詮釋工具，將以驚人的速度建立詳細的繪 圖。實用、智慧型的尺寸與詮釋工具，意味在極短時間內即可創造出全 尺寸的圖像。擁有 Solid Edge，我們將可完全掌控繪圖中的每個元件，使 元件能符合編制及國際標準的要求。同時，Solid Edge 讓我們可從草圖繪 製 2D 的設計圖，或是繼續使用您現有的 2D 歷史資料。
直覺精靈(intuitive wizards)可轉譯現有的 2D 檔案(如 AutoCAD)，同時 2D 製圖工具不但可模仿已知的工作流程，甚至還能提供額外的功能。
Solid Edge 同時也能提供類似的流程來從 2D 配置圖。與其它 2D 產品中 的模型及圖紙空間中的概念相似，您可以使用 1:1 的比例畫出一個 2D 設 計圖，然後在另外的圖紙上繪出設計圖的詳細檢視圖，每張檢視圖都能 依需要的比例調整，同時仍可保持正確的尺寸與註解，任何在原始 2D 設 計圖上的變更，都會自動反應在各細部檢視圖上。
本論文的會圖形繪製均採用 Solid Edge 軟體，主要的著眼點在於軟 體具備下列優點：
z 記錄大量的組件：Solid Edge 會自動為任何尺寸的模型建立爆炸 圖、氣球、零件表及用料單，有效加速組裝圖的生產工作。Solid Edge
z 記錄大量的組件：Solid Edge 會自動為任何尺寸的模型建立爆炸 圖、氣球、零件表及用料單，有效加速組裝圖的生產工作。Solid Edge