暫態規則網格案例驗證與模擬

本節則展示暫態(transient)案例，以下將以四個不同的案例進行 驗證與討論。案例 5.2-1 具有一個源流項，左右邊界設定對稱，且其 整體材質為相同材質，與前述案例 5.1-3 配置相同，本案例除了驗證 模式的基本正確性外，亦針對完全隱示法(fully implicit method)與混 合隱示法(Crank Nicholson method)兩種對時間處理上的不同數值技 巧(numerical scheme)進行探討與分析。案例 5.2-2 與案例 5.2-1 大致均 相同，不同之處則是採取時變性的源流項。案例 5.2-3 則加入一個垂 直分佈的阻水層，藉此探討材質非均值之影響。案例 5.2-4 與案例 5.2-1 大致相同，但採取更細之規則網格進行模擬，藉此比較不同網格尺寸 對於模擬結果之影響。

5. 案例 5.2-1 案例說明：

本案例之網格配置與邊界條件均與案例 5.1-3 相同，為案例 5.1-3 之暫態案例，其左右邊界設定為。在邊界條件的設定上，左右邊界之 總水頭均設定為 80(m)，上下邊界則設定為無流量邊界(No Flow Boundary)。在初始條件上，所有位置之初始總水頭為 80(m)，意即初 始水位代表未經抽水時狀態，處於靜水壓分佈。於點位(5, 5)處配置 抽水井，並以 500(kg/day)之抽水量進行抽水。另外，模擬間距為 0.01 天(約 14.4 分鐘)，總模擬時刻數為 6 個時刻。因此單一時刻之抽水量 為 5(kg)。在時間離散上的處理，本案例將分別針對完全隱示法與混 合隱示法進行探討。

數值結果：

圖 5.2-1 為抽水井位置總水頭之時間變化圖，圖中同時顯示完全 隱示法與混合隱示法兩者。從圖面看來完全隱示法之數值結果是由初 始水位逐漸往下遞減，至總水頭 50(m)時趨於穩定，洩降錐約為 30(m) 深，相較於穩態案例 5.1-3 而言，穩定時之水位與穩態水位相近。相 較之下，混合隱示法則有震盪之問題，時刻 1 洩降錐頂水位約為 25(m)，時刻 2 洩降錐頂水位則躍升為 70(m)，極為不合理。

此外，圖 5.2-2 為透過達西公式計算抽水井所在網格與周遭網格 之瞬間穿越流率，顯現由混合隱示法所得之瞬間穿越流率亦有震盪情 形。圖 5.2-3 則是各時刻區間之穿越流量變化圖，然而從圖面顯示兩 數值技巧所得之穿越流量卻幾近一致，兩者一致的原因是因為控制方 程式必須符合水量守恆，因此穿越流量必須等於抽水量。然而在完全 隱示法中，穿越流量之計算是完全以後一時刻之瞬間流率乘上時間間 距長度；而在混合隱示法中，則是綜合前一時刻與後一時刻之瞬間流 率，以兩者之平均乘上時間間距長度。因此在混合隱示法中，為了使 時刻 1 的穿越流量等於該時刻之抽水量，必須透過時刻 0 與時刻 1 之 平均瞬間穿越流率，然本案例之初始條件為完全無流動之水流條件，

因此時刻 1 必須以更大之瞬間穿越流率，方可符合質量守恆之條件，

此為數值震盪之由來。

圖 5.2-4 為抽水井附近之水位剖面上視圖，圖 5.2-5 是線段CC'之 水位剖面圖，完全隱示法之水位剖面則逐步往抽水井位置下降，且時 刻 2 之水位低於時刻 1 之水位，其數值結果符合預期。然混合隱示法 之模擬結果則與震盪之情形，且時刻 2 之水位高於時刻 1 之水位。由 本案例結果顯示，在本問題中，完全隱示法是較適合的數值技巧。

圖 5.2-6 為完全隱示法之不同時刻邊界流量變化圖，由圖面顯示 邊界流量由低逐步增大，到時刻 3 之邊界流量趨近於抽水井之 5(kg)

之抽水量，其變化顯示抽水之影響範圍逐步往外延伸，直到時刻 3 方

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 20 40 60 80 100 時間(分)

瞬時流率(kg/day)

完全隱示法 混合隱示法

圖 5.2-2 抽水井所在網格之瞬時流率變化圖

0 1 2 3 4 5

14.4 28.8 43.2 57.6 72 86.4 時間(分)

流入流量(kg)

完全隱示法 混合隱示法

圖 5.2-3 抽水井所在網格之流量變化圖

圖 5.2-4 水位剖面上視圖

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本案例與案例 5.2-1 之差異在於抽水量之設定，本案例抽水量為 由無抽水逐步遞增，抽水量設定方式如圖 5.2-7 所示，抽水量隨時間 逐步增加。

數值結果：

圖 5.2-8 為本案例抽水井位置之各時刻水位變化圖，兩數值技巧 所得之結果均逐步下降，兩者水位相近，其下降趨勢亦相近，僅混合 隱示法之下降趨勢較不圓滑。相較於前述案例 5.2-1 混合隱示法之震 盪結果，在此有不同之結果，其原因在於案例 5.2-1 之初始水位為完 全沒有抽水之水流狀態，意即在時刻 0 之前的抽水量為 0，開始模擬 後則瞬間躍升為設定之抽水量，其抽水型態為脈衝函數(如圖 5.2-9 所 示)，因此對於混合隱示法而言形成震盪。在案例 5.2-2 而言，其抽水 量由小逐步遞增，減弱起始抽水所造成的衝擊，因此使用混合隱示法 不至於造成數值震盪。

圖 5.2-10 為本案例不同數值技巧在時刻 6 之水位剖面，完全隱 示法與混合隱示法之水位剖面均極為類似，亦可作為混合隱示法可應 用於本類型問題之依據。

0

0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

圖 5.2-9 脈衝函數示意圖

50 55 60 65 70 75 80

0 1 2 3 4 5 6 X座標

總水頭(m)

完全隱示法_時刻6 混合隱示法_時刻6

圖 5.2-10 不同數值技巧之水位剖面比較圖 7. 案例 5.2-3

案例說明：

本案例為穩態案例 5.1-4 之暫態版本，因此與案例 5.2-1 之差異，

在於附加的垂向阻水層。圖 5.1-9 為本案例之材質設定圖，其中材質 1 與案例 5.1-3 之材質相同，其孔隙率為 0.38、水力傳導係數為 0.01(m/day)；材質 2 之孔隙率維持為 0.38，其水力傳導係數則更改為 0.001(m/day)，因此可以視為一層垂直的阻水層。

其餘初始條件、邊界條件與抽水量則與暫態案例 5.2-1 一致。初 始條件設定為所有位置之初始總水頭為 80(m)。抽水井抽水量設定為 500(kg/day)。另外，前述已經比較完全隱示法與混合隱示法之優劣，

顯現完全隱示法較適合本案例型態之模擬，後續案例均以完全隱示法 進行模擬。

數值結果：

由於本案例因為材質分佈並非左右對稱，因此在水位剖面之擷 取上則分別取出抽水井左右兩方，圖 5.2-11 為本案例展示之水位剖 面。

圖 5.2-12 為本案例與案例 5.2-1 之水位剖面比較圖，由於系統於 時刻 3 之後漸趨穩態，因此本圖亦僅展現前三個時刻的水位剖面，由 圖面顯示案例 5.2-1 之水位剖面均左右對稱，本案例數據則顯現左右 不對稱，左方兩個節點之水力梯度極陡，從本案例之材質與網格配置 圖(圖 5.1-9)看來，前述的左方兩個節點均位於阻水層中，因此為了滿 足抽水之消耗，左方節點必須透過更大的水力梯度方能維持一定的穿 越流量。

圖 5.2-13 為左右邊界之穿越流量變化圖，從圖面顯示左方流量 約為右方流量之半。綜合前述之探討，本案例可以顯現本模式的確可 以應用於暫態非均質問題之模擬上。

圖 5.2-11 案例 5.2-3 水位剖面上視圖

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變，其網格為 0.33(m)見方的方形網格，其計算節點數量將增加 9 倍，

圖 5.2-14 為本案例的網格配置圖。本案例將與案例 5.2-1 進行比較探 討，進一步瞭解網格尺寸對於模擬結果之影響。

數值結果：

圖 5.2-15 為本案例與案例 5.2-1 之水位剖面，兩案例之差異在 於網格尺寸大小，案例 5.2-1 為粗網格案例，本案例為細網格案例，

其水位剖面上視圖如圖 5.2-4 所示，由圖面所示大部分區域之水位均 吻合，然在抽水井鄰近區域，細網格案例之水位低於粗網格案例，其 兩者最大洩降量約差異 10(m)。

此外，圖 5.2-16 為兩案例之邊界流量變化圖，不同網格尺寸均 可得到相同的邊界流量。表 5.2-2 為兩案例之相對系統守恆誤差表，

兩案例之相對系統守恆誤差均極小，表示各時刻之邊界流量、抽水量 與系統蓄水變化量均符合質量守恆定律。

這表示在不同網格尺寸案例中，模擬結果雖均可符合質量守恆 定律，但在水位的呈現上可能會有不同的結果。由於抽水井附近水位 變化較為劇烈，傳統模擬技巧多會建議配置較細之網格方可精確掌握 水位變化，因此可認定本案例之模擬結果較接近真值，而案例 5.2-1 之模擬結果則在洩降錐上有約 10(m)的誤差。

然在計算效率上，本案例的計算節點為案例 5.2-1 之九倍，因此 可以預期其需要耗費更多的計算時間，方可達到收斂。案例 5.2-1(粗 網格案例)需要耗費 82 秒，而本案例(細網格案例)則需要耗費 3945 秒，需要增加約 50 倍之計算時間。因此對於網格尺寸應該依據所需 精度與可接受之計算時間來衡量，藉此決定模式網格尺寸。

表 5.2-2 相對系統守恆誤差表(案例 5.2-1 與 5.2-4)

時刻編號 1 2 3 4 5 6

案例 5.2-1

守恆誤差(%) -0.023 0.030 0.022 0.038 0.014 -0.009 案例 5.2-4

守恆誤差(%) -0.103 -0.146 -0.148 -0.134 -0.124 -0.083

圖 5.2-14 案例 5.2-4 格網與模式配置圖

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案例5.2-4 案例5.2-1

圖 5.2-16 邊界流量變化圖(案例 5.2-1 與 5.2-4)

5.3 不規則網格之暫態飽和侷限含水層模擬

前述 5.2 節之案例 5.2-1 與 5.2-4 已經用規則矩形網格來驗證並 顯示網格尺寸對於模擬結果之影響，雖然計算精度大幅提昇，但是其 計算量亦暴增至將近 10 倍上下。此外，由於抽水井之影響，鄰近抽 水井之水流流速遠高於遠離抽水井位置之水流流速，其水位變化亦 然。因此僅需在抽水井周遭配置較細網格，在外圍區域仍可以較粗網 格節省計算量，如此可在一定的精度需求下，維持低計算量。

表 5.3-1 為本節案例之差異說明表，其中分為極座標佈點型態與 矩形佈點型態兩種，極座標佈點是以抽水井為圓心，環狀往外延伸佈 點；矩形佈點則在鄰近抽水井附近區域，以更密的矩形佈點附加在原 本網格上。圖 5.3-1 至圖 5.3-3 分別為三個案例的配置網格，加密後 之計算節點數量列於表 5.3-1 上。

表 5.3-2 為各案例的模擬結果比較表，若以案例 5.2-1 與 5.2-4 而 言，兩者網格數量將近十倍，所消耗之計算時間則將近五十倍，而兩 者之洩降錐深度差異將近 8 米深，顯現較細網格對於加強計算精度有 明顯效果，但其耗費之計算量亦大幅提昇。而本節所建立之加密格網 在計算節點方面分別為 147、255 與 255 個計算節點，在計算時間方 面則分別為 90、415 與 315 秒，其洩降錐誤差分別為 6.87、0.70 與 0.21 米深。由上述數據顯示，若在關鍵區域加強配置一定比例之計算 節點，並透過 Voronoi Diagram 的空間切割方法，可以在一定的增加

表 5.3-2 為各案例的模擬結果比較表，若以案例 5.2-1 與 5.2-4 而 言，兩者網格數量將近十倍，所消耗之計算時間則將近五十倍，而兩 者之洩降錐深度差異將近 8 米深，顯現較細網格對於加強計算精度有 明顯效果，但其耗費之計算量亦大幅提昇。而本節所建立之加密格網 在計算節點方面分別為 147、255 與 255 個計算節點，在計算時間方 面則分別為 90、415 與 315 秒，其洩降錐誤差分別為 6.87、0.70 與 0.21 米深。由上述數據顯示，若在關鍵區域加強配置一定比例之計算 節點，並透過 Voronoi Diagram 的空間切割方法，可以在一定的增加