穩態規則網格案例驗證與模擬

本節為穩態案例之展示，將分為四個不同的案例進行數值驗證 與討論。案例 5.1-1 為無源流項且邊界設定對稱之均質案例；案例 5.1-2 則在邊界條件形狀上改為不對稱；案例 5.1-3 則另外增加一個抽水 井，用以驗證源流項(source)或沈流項(sink)；案例 5.1-4 除了增加抽 水井外，另外在含水層材質方面，則改變為非均質案例。

1. 案例 5.1-1 案例說明：

整體模擬區域如圖 5.1-1 所示，為 11 公尺乘上 13 公尺之垂向二 維方形薄板。網格切割上，由原點規則地每 1 公尺便配置一個計算節 點，透過 Voronoi Diagram 可以產生規則形狀之 11×13 矩形網格，因 此每格長與寬均為 1 公尺。在材質方面，整體區塊設定為相同材質，

其中土壤孔隙率設定為 0.38，水力傳導係數設定為 0.01( )，在 土壤壓密係數( )方面，本案例與後續案例均設定為 0。

day m / α'

在邊界條件的設定上，左方邊界之總水頭設定為 120(m)，右方 邊界之總水頭設定為 80(m)，上下方邊界則設定為無流量邊界(No

Flow Boundary)，因此本案例水位將由左往右逐步遞減，亦即水流方 向應為由左往右流動。本案例為穩態模擬，全體網格之初始猜值雖可 任意設定，但過於懸殊之設定值易影響模擬收斂性與效率，因此設定 為 100(m)，較為鄰近模擬結果。透過模式求解，各網格數值必逐步 依據邊界條件之設定值，而收斂於前述之水流型態。

本案例將探討不同之外迭代收斂標準對於模式模擬精度之影

響，以下將分別針對當外迭代收斂標準為 、 、 、

與 時進行探討。

10-4

1× 1×10^-5 1×10^-6 1×10^-7 10-8

1×

在內迭代收斂條件方面，最大內迭代次數設定為 30。此外，由 於內迭代收斂標準極為重要，其數值同時會影響精度與計算效率，因 此本研究並不直接設定一數值。第一次外迭代時，所有節點之內迭代 均以極小值作為內迭代收斂標準，因此其停止條件是以最大迭代次 數，其後的外迭代則採首次外迭代所有節點之平均守恆誤差，作為後 續內迭代收斂標準。

數值結果：

圖 5.1-2 為總水頭之模擬等值圖，從圖面看來總水頭由左向右逐 步遞減，且其等值線分佈均勻，顯示遞減趨勢趨於直線。圖 5.1-3 為 壓力水頭之模擬等值圖，由於壓力水頭為總水頭扣除位置水頭，因此 其數值由上而下遞增，因此等值線略呈傾斜。由於案例邊界條件設計 極為簡單，因此套用達西公式即可簡單計算左右兩方邊界之穿越流 量，其為質量流率，因此達西流速應再乘上穿越面積與水流密度。

表 5.1-1 為解析解與數值解於左右兩側邊界之穿越流量比較表，

數值解方面是將左右兩側網格所計算之穿越流量累加所得。由表上所 示，隨著外迭代收斂標準逐步降低，數值解與解析解之差異亦逐步降

低，當外迭代收斂標準為 時，其數值誤差已可滿足 0.01%之門

Opteron™ Processor 246，記憶體(ram)為 2GB 的個人電腦執行模式所 得出的時間。表中顯示隨著收斂標準之降低，數值模式需要以更多的

1× 452.4700(95.847%) -491.3430(104.081%) 10-5

1× 470.1291(99.587%) -474.0252(100.413%) 10-6

1× 471.8834(99.959%) -472.2711(100.041%) 10-7

1× 472.0580(99.996%) -472.0970(100.004%) 數值解

10-8

1× 472.0753(99.999%) -472.0790(100.000%)

解析解 無 472.077(100%) -472.077(100%)

表 5.1-2 外迭代收斂標準、計算效率與守恆誤差結果表

外迭代收斂標準 計算時間(s) 外迭代次數 平均守恆誤差 對數守恆誤差

10-4

1× 12 79 2.71841×10^-1 -0.57

10-5

1× 16 134 2.725×10^-2 -1.56

10-6

1× 19 188 2.711×10^-3 -2.57

10-7

1× 23 243 2.716×10^-4 -3.57

10-8

1× 47 297 2.9×10^-5 -4.54

圖 5.1-1 案例 5.1-1 格網與模式配置圖

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

圖 5.1-2 案例 5.1-1 總水頭等值圖

0 2 4 6 8 10 0

2 4 6 8 10 12

圖 5.1-3 案例 5.1-1 壓力水頭等值圖

-5 -4 -3 -2 -1 0

0 10 20 30 40 50

迭代時間(秒)

對數守恆誤差

對數守恆誤差與迭代時間比較圖

圖 5.1-4 外迭代收斂標準與對數守恆誤差趨勢圖 2. 案例 5.1-2

案例說明：

案例 5.1-1 為上下對稱的案例，水流流動極為簡單，案例 5.1-2 則以非對稱案例進行探討。整體模擬區域如圖 5.1-5 所示，模擬範圍、

模擬網格、材質設定等與案例 5.1-1 一樣。在邊界條件的設定上，左 下方邊界長度為 3 公尺的區塊，其總水頭設定為 10(m)，右上方邊界 長度為 3 公尺的區塊，其總水頭設定為 30(m)，其餘邊界則設定為無 流量邊界(No Flow Boundary)，因此本案例水流將由右上方往左下方 流動。本案例為穩態模擬，全體網格之初始猜值雖可任意設定，但過 於懸殊之設定值易影響模擬收斂性與效率，因此設定為 20(m)，較為 鄰近模擬結果。透過模式求解，各網格數值必逐步依據邊界條件之設 定值，而收斂於前述之水流型態。

由於案例 5.1-1 已經檢驗不同之外迭代收斂標準對於模式模擬精 度之影響，以下案例之外迭代收斂標準設定為1×10^-7。

數值結果：

圖 5.1-6 為總水頭之模擬等值圖，從圖面看來總水頭分佈由右上 向左下逐步遞減，且以對角線略顯對稱。若觀察等值線鄰近邊界部 分，於無流量邊界條件區域之等值線，則往往顯得與邊界近似垂直；

而在定水頭邊界條件區域之等值線，則鄰近設定之水頭數值，顯示模 擬結果的確依據邊界條件之設定，而有正確的模擬數值。

本案例因邊界條件之設定較為複雜，解析解較難求得，因此本 案例並無解析解配合驗證。本案例可以應用穩態模擬之進出水量需達 平衡之特點進一步檢驗，本案例右上方邊界之流入總量為 80.7653 (^{kg day})，左下方邊界之流出總量為 80.6871(^{kg day})，兩者之相對誤 差為 0.096871%，由此可知本案例符合進出平衡之條件，符合水質量 之守恆特性。

圖 5.1-5 案例 5.1-2 格網與模式配置圖

0 2 4 6 8 10 0

2 4 6 8 10 12

圖 5.1-6 案例 5.1-2 總水頭等值圖 3. 案例 5.1-3

案例說明：

案例 5.1-1 為無源流項案例，亦即無內部抽水的案例，案例 5.1-3 則進行源流項之探討。整體模擬區域如圖 5.1-7 所示，模擬範圍、模 擬網格、材質設定等與案例 5.1-1 一樣。在邊界條件的設定上，左右 邊界之總水頭均設定為 80(m)，上下邊界則設定為無流量邊界(No Flow Boundary)。於點位(5, 5)處配置抽水井，並以 500(kg/day)之抽水

量進行抽水。因此本案例本身並無背景水流流動，受到抽水行為，因 此總水頭將在以抽水井為中心，形成一個洩降錐。本案例為穩態模 擬，全體網格之初始猜值雖可任意設定，但過於懸殊之設定值易影響 模擬收斂性與效率，因此設定為 80(m)，較為鄰近模擬結果。透過模 式求解，各網格數值必逐步依據邊界條件之設定值，而收斂於前述之 水流型態。

由於案例 5.1-1 已經檢驗不同之外迭代收斂標準對於模式模擬精 度之影響，以下案例之外迭代收斂標準設定為1×10^-7。

數值結果：

圖 5.1-8 為總水頭之模擬等值圖，從圖面看來的確如預期一般，

形成一個橢圓形的洩降錐，其洩降錐頂的洩降量為 30(m)。此外，本 研究亦進一步作水平衡分析，由於系統中有個抽水井，且上下邊界設 定為無流量邊界，因此在穩態系統中，必須透過左右邊界之定水頭邊 界條件來補充水量，且其補充量必須等於抽水量。左右邊界之穿越流 量為 499.5716(kg/day)，與內部抽水量相比，其計算誤差約為 0.086%，

因此可以判定通過水平衡分析。

圖 5.1-7 案例 5.1-3 格網與模式配置圖

0 2 4 6 8 10 12

圖 5.1-8 案例 5.1-3 總水頭等值圖 4. 案例 5.1-4

案例說明：

相較於案例 5.1-3，本案例將均質含水層改為非均質含水層，兩 者之網格切割、邊界條件與抽水量等均一致。圖 5.1-9 為本案例之材 質設定圖，其中材質 1 與案例 5.1-3 之材質相同，其孔隙率為 0.38、

水力傳導係數為 0.01(m/day)；材質 2 之孔隙率維持為 0.38，其水力 傳導係數則更改為 0.001(m/day)，可以視為一層垂直的阻水層。其位

置位於抽水井之左方，厚度約一公尺。

由於案例 5.1-1 已經檢驗不同之外迭代收斂標準對於模式模擬精 度之影響，以下案例之外迭代收斂標準設定為1×10^-7。

數值結果：

圖 5.1-10 為案例 5.1-3 與案例 5.1-4 之總水頭之模擬等值圖，圖 面上實線為案例 5.1-3 之數據，而虛線是案例 5.1-4 之模擬結果。兩 者在抽水井位置均產生洩降錐，然案例 5.1-4 因受到抽水井左方阻水 層之阻礙，在抽水井左方之水力坡降較案例 5.1-3 為陡，意即阻水層 左方區域受到抽水井之影響極小，直至阻水層右方方迅速下降。此 外，有阻水層案例之最大洩降量約為 40(m)，而無阻水層案例之最 大洩降量約為 30(m)，其原因應為受到左方阻水層之影響，水源供 應來源僅剩右方，透過較深的洩降錐與較大的水力坡降，方可供應 相同之水量。

本研究亦進一步針對案例 5.1-4 作水平衡分析，由於系統中有個 抽水井，且上下邊界設定為無流量邊界，因此在穩態系統中，必須透 過左右邊界之定水頭邊界條件來補充水量，且其補充量必須等於抽水 量。左右邊界合計之穿越流量為 499.9744(kg/day)，與內部抽水量相 比，其計算誤差約為 0.00512%，因此可以判定通過水平衡分析，其 中左側(含阻水層側)流量為 137.4873(kg/day)，右側(無阻水層側)流量 為 362.4871(kg/day)，兩側流量因阻水層而相差了 225(kg/day)。

圖 5.1-9 案例 5.1-4 材質設定圖

0 2 4 6 8 10 0

2 4 6 8 10 12

圖 5.1-10 案例 5.1-3 與案例 5.1-4 之總水頭等值圖