1.1 前言
在數值模擬的領域內，基本的建構流程，均是先確立問題的概 念模式，再建立其對應的數學模式，接著再應用如有限差分、有限元 素或其它數值方法得出該數學模式的離散方程式，最後求解此離散方 程式，得出該問題的數值解。由於數值模式大多是以有限的節點代表 問題的整個解空間，因此許多的空間切割法因而產生，從基本的方形 網格、矩形網格演進至三角格網及其他格網形狀。而求解以節點上的 變數來表示的離散方程式，傳統上常見的方式有兩種，即是矩陣求解 或迭代求解。其中矩陣求解為將各運算節點之方程式組合成為矩陣方 程式，再以矩陣求解法，如高斯消去法進行求解，而矩陣求解因應節 點方程式的編排順序與特性，有各種增進時間效益的求解方法，如帶 狀矩陣求解法等；迭代求解則不將各運算節點之方程式組合成為矩陣 方程式，而每次僅以各節點之方程式更新該節點變數之值，更新時周 圍節點上之變數則採用其當下之值，如此重複更新各節點變數之值直 至達到設定之收斂標準為止，此類迭代求解也有各種的改良方式如以 內插為基礎的連續鬆弛法(Successive Over/Under Relaxation)。
解地下水流問題常用的數值方法有有限差分法(Finite Difference Method, FDM)、有限元素法(Finite Element Method, FEM)、有限體積 法(Finite Volume Method, FVM)及邊界元素法(Boundary Element Method, BEM)等，其中過去最常使用的兩種方法為有限差分法與有限 元素法，有限差分法的優點在於簡單直接且計算效率高，因此易於實 作，目前最被普遍應用的 Modular three-dimensional groundwater flow model., (MODFLOW) (1988) 模式即是應用有限差分法，以往有限差 分法最大的缺點，在於其格網形狀僅可是矩型而缺乏彈性，造成許多
實際應用上的不便或精度上的降低。相較於有限差分法，有限元素法 的最大優點則在於其網格形狀上的彈性，理論上可以是任意的多邊 形，可適應不規則邊界與需局部加密之情況，惟相對而言，其理論較 複雜且計算效率較低。有限體積法是針對控制方程式進行空間與時間 上之積分，再以此積分形式之控制方程式配合差分與空間內插方法，
建立有限體積法之離散方程式，其優點是所得數值解必定符合守恆條 件，是近年來較為流行的數值方法，惟目前多數以有限體積法發展的 數值模式多仍採用矩形網格，仍有如有限差分模式般在實際應用上的 不便。因此，若能延續有限差分法的簡單及高效率，克服矩形網格的 限制，並整合有限體積法符合守恆條件的精神，應可發展出更簡單、
精確、高效率及高應用彈性的數值模式。
1.2 研究目的
本研究的目的在以徐昇氏網格為基礎，配合守恆定律，針對地 下水流問題發展一新的地下水流數值模式。相對於有限體積法，本研 究發展的模式，概念上不需先進行控制方程式的積分，而是直接以徐 昇氏網格表達之控制體積，配合相關方程式進行(質量)守恆運算，因 此基本概念相對簡單，且可解決矩形網格實際建模上的不便，有相當 高的推廣應用價值。
1.3 文獻回顧
本節將介紹地下水模式的演進、Voronoi Diagram 的發展以及結 合上述兩者之研究。
1.3.1 地下水模式之演進
在地下水領域內，許多地下水數值模式曾先後被建立，美國地 質測量局(USGS)發展的地下水相關數值模式多是以有限差分法與有 限元素法為主。在有限差分法的發展上，由 Trescott, Pinder, and Larson (1976) 發展出以迭代法為求解方式的二維飽和地下水有限差分模 式，而後 Larson (1978) 針對此數值解法部分建立出四點矩陣直接求 解法以取代先前的迭代求解法減少模擬時間，Manteuffel, Grove, and Konikow (1983) 建立出共軛梯度法，增加了對求解稀疏矩陣的效率，
此處可看出在電腦處理速度並未如現今快速的年代，許多研究均投入 在增進求解效率。Ozbilgin and Dickerman (1984) 則使用了曼寧公 式，將地表水入滲加入了二維地下水有限差分模式的計算，Weeks (1 978) 使用以有限個二維侷限層(Confining Layers)切割含水層的概 念，建立擬三維的有限差分模式。
三維飽和地下水有限差分模式由 Trescott (1975) 發表，發表的 時間早於該作者二維之發表時間，此模式為 1970 至 1980 間的主要模 式之一。而後直到 McDonald and Harbaugh (1988) 發表了模組化的有 限差分模式即 MODFLOW，此模式為最被廣泛應用之地下水模式之 一，並且功能完備，可進行三維之地下水模擬，甚至拘限與非拘限含 水層混合的多層地下含水層系統也可模擬，且除地下水系統本身外，
區域補注、蒸發散、抽水井抽水、區域排水與河床水位變動都可模擬，
其後許多研究均以 MODFLOW 為基礎，如 Kuiper (1987) 於 MODFLOW 三維模式中加入前調式共軛梯度法 (Preconditioned Conjugate Gradient Method, PCG)，加速了 MODFLOW 的求解速度，
Leake and Prudic (1991) 則進行因抽水而造成含水層之下陷的研究與 模擬。
在污染傳輸上，Grove and Stollenwerk (1984) 發表了一維污染傳
輸模式，可模擬吸附與不可逆反應等問題，Konikow and Bredehoeft (1978)、 Goode and Konikow (1989) 推展出的二維污染傳輸模式，除 吸附外,尚可模擬傳流、延散與離子交換等現象。
有限元素法的發展則由 Dunlap, Lindgren and Carr (1984) 使用葛 勒金法 (Galerkin Method) 為求解方法建立出地下水之二維有限元素 模式，其後 Lewis, Voss and Rubin (1986) 發表了二維污染傳輸有限元 素模式，可解決傳流、延散與吸附等物理現象與離子交換與化學反應 平衡等化學現象。Glover (1988) 建立了模擬河流的動態方程式，
Cooley (1992)，Torak (1993)則模擬了暫態滲流的情形。三維的有限元 素模式則是由 Lin, Richards, Yeh, Cheng & Jones (1996) 發展出，其模 式稱為 FEMWATER，可模擬飽和、不飽和土壤內之地下水流、不定 邊界條件、海水入侵以及污染傳輸等問題，為目前最主要的有限元素 模式。
上述之模式均必須將各方程式整合出一控制方程式，才能給進 模式求解，而本研究於數值演算法上，以方程組運算並透過最佳化迭 代的方式，搜尋出最符合各點當時刻質量守恆的基本變數。此方法的 優點在於，僅需對守恆方程式演譯出各個組成方程式，各個組成方程 式與守恆方程式即可稱為一控制方程組。此方程組不需人工進行前置 之整合方程式的動作，更替內部其中任一方程式都不需重新進行整合 方程式的處理，使得在方程式的擴充上有顯著的便利性。
1.3.2 Voronoi Diagram 之演進
Voronoi Diagram 為一種自然的切割方式，代表了各節點控制的 區域內，區域中的其餘點必最靠近該控制節點，而區域間的交介面，
必定與控制節點間的連線是正交的，在數學的領域上，這是已被研究
許久的一個圖形，Voronoi Diagram 此圖形最早在 1644 年就已由法國 哲學家笛卡兒 (René Descartes) 所建構，而後由 Dirichlet (1850)在他 自己對於二次多項式研究中，使用了 Voronoi Diagram，再由 Voronoi (1907) 針對此圖形進行更深入的研究，將此圖形延伸往更高的維 度。而後此圖被用於各個領域上，如 Portela (2004) 以 Voronoi Diagram 界定出無線網路基地台的選擇，Overholt (2007) 使用 Voronoi
Diagram 作為機器人路徑規劃的依據，而在氣象與地理學之上，
Thiessen (1911)將 Voronoi Diagram 用於區域降雨量的推估，因此在水 文領域也稱此圖形為徐昇式多邊形 (Thiessen＇s Polygon)。Sukumar (2003)將 Voronoi Diagram 應用於延散方程式內之有限差分法，使 Voronoi Diagram 可以做為空間差分之網格。
1.3.3 Voronoi Diagram 結合於數值模式
近年來，已有研究將 Voronoi Diagram 做為數值模式內空間切割 的方法。Gregory E. Tucker (2001)將 Voronoi Diagram 應用於水文地質 模式，針對 Voronoi Diagram 進行探討，將 Voronoi Diagram 內網格間 的連線可視為可能之流線，並在數值解法上使用 Voronoi Polygons 為 有限體積的區塊(cell)進行質量守恆求解。而 Sukumar (2003) 則將 Voronoi Diagram 結合有限差分法發展數值延散模式，並完整推導對 應之有限差分式。A. Iske and M. Käser(2004)以應用 Voronoi Diagram 建立可適性非結構網格，其計算節點會依據傳流項(advection)而移 動，該研究亦針對移動前後的質量守恆問題進行改善。
本研究將以徐昇氏網格 (Voronoi Diagram) 作為垂向二維地下 水流數值模式之空間切割法，以此空間切割法進行局部加密，展示徐 昇氏網格的優點與適用性。